2. 描述性統(tǒng)計(jì)

上一篇介紹了數(shù)據(jù)的分類、統(tǒng)計(jì)學(xué)是什么、以及統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)的大分類，本篇我們重點(diǎn)學(xué)習(xí)描述性統(tǒng)計(jì)學(xué)。

我們描述一組數(shù)據(jù)的時(shí)候，通常分三個(gè)方面描述：集中趨勢(shì)、離散趨勢(shì)、分布形狀。通俗來說，集中趨勢(shì)是描述數(shù)據(jù)集中在什么位置，離散趨勢(shì)描述的是數(shù)據(jù)分散的程度，分布形狀描述的是數(shù)據(jù)形狀。

首先，來看描述數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，使用的三個(gè)常見的統(tǒng)計(jì)量：

平均數(shù)

• 算術(shù)平均數(shù) 算術(shù)平均數(shù)是n個(gè)數(shù)求和后除以n得到的結(jié)果。廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，用于描述和分析數(shù)據(jù)的平均水平和集中趨勢(shì)

Excel求算術(shù)平均數(shù)的函數(shù)=AVERAGE(A1:A8)

PS：聰明的你肯定知道把上面8個(gè)數(shù)據(jù) 2,23,4,17,12,12,13,16，用左手復(fù)制到你Excel中的A1:A8單元格（記得豎著放?。?/p>

用Python求算術(shù)平均數(shù)

## 使用 numpy 庫里的 mean 函數(shù)
import numpy as np
data =  [2,23,4,17,12,12,13,16]
print(np.mean(data))
# 12.375

• 幾何平均數(shù) 幾何平均數(shù)就是n個(gè)數(shù)乘積的n次方根。在金融財(cái)務(wù)、投資和銀行業(yè)的問題中，幾何平均數(shù)的應(yīng)用尤為常見。當(dāng)你任何時(shí)候想確定過去幾個(gè)連續(xù)時(shí)期的平均變化率時(shí)，都能應(yīng)用幾何平均數(shù)。其他通常的應(yīng)用包括物種總體、農(nóng)作物產(chǎn)量、污染水平以及出生率和死亡率的變化。（在第8節(jié)案例8.1中會(huì)舉例說明）。 公式如下：

Excel求幾何平均數(shù)的函數(shù)=GEOMEAN(A1:A8)

用Python求幾何平均數(shù)

# 使用 scipy 庫里的 gmean 函數(shù)求幾何平均數(shù)
from scipy import stats as sts
data = [2,23,4,17,12,12,13,16]
print(sts.gmean(data))
# 9.918855683110795

• 調(diào)和平均數(shù)

n個(gè)數(shù)的倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)

Excel求調(diào)和平均數(shù)的函數(shù)=HARMEAN(A1:A8)

Python求調(diào)和平均數(shù)

# 使用 scipy 庫里的 hmean 函數(shù)求調(diào)和平均數(shù)
from scipy import stats as sts
data = [2,23,4,17,12,12,13,16]
print(sts.hmean(data))
# 6.906127821278071

還沒看暈吧？我們小結(jié)一下，三者的大小排序一般是算術(shù)平均值 ≥ 幾何平均值 ≥ 調(diào)和平均值。另外 數(shù)值類數(shù)據(jù)的均值一般用算術(shù)平均值，比例型數(shù)據(jù)的均值一般用幾何平均值，平均速度一般用調(diào)和平均數(shù)

中位數(shù)

中位數(shù)是把數(shù)據(jù)按照順序排列，處于中間位置的那個(gè)數(shù)

Excel求中位數(shù)的函數(shù)=MEDIAN(A1:A8)

Python求中位數(shù)

# 使用 numpy 庫里的 median 函數(shù)求中位數(shù)
import numpy as np
data =  [2,23,4,17,12,12,13,16]
print(np.median(data))
# 12.5

眾數(shù)

眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值。

Excel求眾數(shù)的函數(shù)=MODE(A1:A8)

Python求眾數(shù)

# 使用 scipy 庫里的 mode 函數(shù)求眾數(shù)
from scipy import stats as sts
data =  [2,23,4,17,12,12,13,16]
print(sts.mode(data))
# ModeResult(mode=array([12]), count=array([2]))

以上便是描述數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的幾個(gè)統(tǒng)計(jì)量，接下來我們來看描述數(shù)據(jù)離散趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量：

分位數(shù)

四分位數(shù)用3個(gè)分位數(shù)，將數(shù)據(jù)等分成4個(gè)部分。這3個(gè)四分位數(shù)，分別位于這組數(shù)據(jù)升序排序后的25%、50%和75%的位置上。另外，75%分位數(shù)與25%分位數(shù)的差叫做四分位距。

Excel求分位數(shù)的函數(shù)=QUARTILE(A1:A8,1) ，括號(hào)里面的參數(shù)：0代表最小值，1代表25%分位數(shù)，2代表50%分位數(shù)，3代表75%分位數(shù)，4代表最大值，

Python求該組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)與上四分位數(shù)

from scipy import stats as sts  
data =  [2,23,4,17,12,12,13,16]
print(sts.scoreatpercentile(data,25)) #25分位數(shù)
print(sts.scoreatpercentile(data,75)) #75分位數(shù)
10.0
16.25

補(bǔ)充一點(diǎn)，關(guān)于描述性統(tǒng)計(jì)部分的圖表可視化，本系列教程不做展開，唯一值得一提的是箱線圖，不論是描述數(shù)據(jù)、還是判斷異常都是你應(yīng)該掌握的數(shù)據(jù)分析利器（在第8節(jié)案例8.2中會(huì)詳細(xì)舉例說明）這里先簡(jiǎn)單舉例如下

用四分位數(shù)繪制的箱線圖

import seaborn as sns
data = [2,23,4,17,12,12,13,16]
# 使用sns.boxplot()函數(shù)繪制箱線圖
sns.boxplot(data=data)

箱線圖可以很直觀地看到：數(shù)據(jù)的最大值、最小值、以及大部分?jǐn)?shù)據(jù)集中在什么區(qū)間。

具體來說就是： 異常值、上邊緣 Q3+1.5(Q3-Q1)、上四分位數(shù) Q3、中位數(shù) Q2 下四分位數(shù) Q1、下邊緣 Q1-1.5(Q3-Q1)

• 極差

極差又稱范圍誤差或全距，是指一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差

Excel求極差的函數(shù)=MAX(A1:A8) - MIN(A1:A8)

Python 求極差

import numpy as np
data =  [2,23,4,17,12,12,13,16]
print(np.ptp(data))
# 21

• 四分位距

四分位距是上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差，一般用表示

Excel求分位數(shù)的函數(shù)=QUARTILE(A1:A8,3)-QUARTILE(A1:A8,1) Python 求四分位距

from scipy import stats as sts
data =  [2,23,4,17,12,12,13,16]
print(sts.scoreatpercentile(data,75)-sts.scoreatpercentile(data,25))
# 6.25

方差

方差是一組數(shù)據(jù)中的各數(shù)據(jù)值與該組數(shù)據(jù)算術(shù)平均數(shù)之差的平方的算術(shù)平均數(shù)。

Excel求方差的函數(shù)=VAR(A1:A8)

Python求方差

from scipy import stats as sts
data =  [2,23,4,17,12,12,13,16]
print(sts.tvar(data,ddof = 1))# ddof=1時(shí),分母為n-1;ddof=0時(shí),分母為n
#46.55357142857143

標(biāo)準(zhǔn)差

標(biāo)準(zhǔn)差為方差的開方?？傮w標(biāo)準(zhǔn)差常用σ表示，樣本標(biāo)準(zhǔn)差常用S表示。 Excel求方差的函數(shù)=STDEV(A1:A8) Python求標(biāo)準(zhǔn)差:

from scipy import stats as sts
data = [2,23,4,17,12,12,13,16]
print(sts.tstd(data,ddof = 1))# ddof=1時(shí),分母為n-1;ddof=0時(shí),分母為n
# 6.823017765517794

變異系數(shù)

對(duì)不同變量或不同數(shù)組的離散程度進(jìn)行比較時(shí)，如果它們的平均水平和計(jì)量單位都相同，才能利用上述指標(biāo)進(jìn)行分析，否則需利用變異系數(shù)來比較它們的離散程度。

變異系數(shù)又稱為離散系數(shù)，是一組數(shù)據(jù)中的極差、四分位差或標(biāo)準(zhǔn)差等離散指標(biāo)與算術(shù)平均數(shù)的比率。

Excel求變異系數(shù)的函數(shù)=STDEV(A1:A8)/AVERAGE(A1:A8)

Python求標(biāo)準(zhǔn)差變異系數(shù)：

from scipy import stats as sts
data = [2,23,4,17,12,12,13,16]
print(sts.tstd(data)/sts.tmean(data))
# 0.5513549709509329

看完了描述數(shù)據(jù)離散程度的幾個(gè)統(tǒng)計(jì)量，我們接著看描述數(shù)據(jù)分布形狀的偏度和峰度：

偏度

偏度系數(shù)是對(duì)分布偏斜程度的測(cè)度，通常用SK表示。偏度衡量隨機(jī)變量概率分布的不對(duì)稱性，是相對(duì)于平均值不對(duì)稱程度的度量。

當(dāng)偏度系數(shù)為正值時(shí)，表示正偏離差數(shù)值較大，可以判斷為正偏態(tài)或右偏態(tài)；反之，當(dāng)偏度系數(shù)為負(fù)值時(shí)，表示負(fù)偏離差數(shù)值較大，可以判斷為負(fù)偏態(tài)或左偏態(tài)。偏度系數(shù)的絕對(duì)值越大，表示偏斜的程度就越大。

Excel求偏度的函數(shù)=SKEW(A1:A8)

Python如何求偏度:

from scipy import stats as sts
data = [2,23,4,17,12,12,13,16]
print(sts.skew(data,bias=False)) # bias=False 代表計(jì)算的是總體偏度，bias=True 代表計(jì)算的是樣本偏度
# -0.21470003988916822

峰度

峰度描述的是分布集中趨勢(shì)高峰的形態(tài)，通常與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相比較。在歸一化到同一方差時(shí)，若分布的形狀比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布更“瘦”、更“高”，則稱為尖峰分布；若比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布更“矮”、更“胖”，則稱為平峰分布。

峰度系數(shù)是對(duì)分布峰度的測(cè)度，通常用K表示：

由于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的峰度系數(shù)為0，所以當(dāng)峰度系數(shù)大于0時(shí)為尖峰分布，當(dāng)峰度系數(shù)小于0時(shí)為平峰分布。

Excel求峰度的函數(shù) =KURT(A1:A8)

Python如何求峰度:

from scipy import stats as sts
data = [2,23,4,17,12,12,13,16]
print(sts.kurtosis(data,bias=False)) # bias=False 代表計(jì)算的是總體峰度，bias=True 代表計(jì)算的是樣本峰度
# -0.17282884047242897

下期預(yù)告：《Python統(tǒng)計(jì)學(xué)極簡(jiǎn)入門》第3節(jié) 數(shù)據(jù)分布

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