6. 方差分析

單因素多水平方差分析

例6.1 不同裝配方式對(duì)生產(chǎn)的過(guò)濾系統(tǒng)數(shù)量的差異性檢驗(yàn)

某城市過(guò)濾水系統(tǒng)生產(chǎn)公司，有A、B、C3種方式進(jìn)行過(guò)濾水系統(tǒng)的裝配，該公司為了研究三種裝配方式生產(chǎn)的過(guò)濾系統(tǒng)數(shù)量是否有差異，從全體裝配工人中抽取了15名工人，然后隨機(jī)地指派一種裝配方式，這樣每個(gè)裝配方式就有5個(gè)工人。在指派裝配方法和培訓(xùn)工作都完成后，一周內(nèi)對(duì)每名工人的裝配過(guò)濾系統(tǒng)數(shù)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)如下：

請(qǐng)根據(jù)數(shù)據(jù)判斷3種裝配方式有無(wú)差異

分析過(guò)程：由于目標(biāo)是判斷3種裝配方式有無(wú)差異，多樣本的檢驗(yàn)用方差分析

于是我們有了原假設(shè)和備擇假設(shè)

:均值不全相等

import pandas as pd
import numpy as np
from scipy import stats

# 數(shù)據(jù)
A = [58,64,55,66,67]
B = [58,69,71,64,68]
C = [48,57,59,47,49]

data = [A, B, C]
# 方差的齊性檢驗(yàn)
w, p = stats.levene(*data)
if p < 0.05:
    print('方差齊性假設(shè)不成立')
 
 
# 成立之后， 就可以進(jìn)行單因素方差分析
f_value, p_value = stats.f_oneway(*data)
# 輸出結(jié)果
print("F_value:", f_value)
print("p_value:", p_value)
F_value: 9.176470588235295
p_value: 0.0038184120755124806

結(jié)論 選擇顯著性水平 0.05 的話，p = 0.0038 < 0.05，故拒絕原假設(shè)。支持三種裝配方式裝配數(shù)量均值不全相等的備則假設(shè)。

例6.2 不同優(yōu)惠金額對(duì)購(gòu)買(mǎi)轉(zhuǎn)化率的差異性檢驗(yàn)

某公司營(yíng)銷(xiāo)中心為了提升銷(xiāo)量，針對(duì)某產(chǎn)品設(shè)計(jì)了3種不同金額的優(yōu)惠，想測(cè)試三種優(yōu)惠方式對(duì)于用戶的購(gòu)買(mǎi)轉(zhuǎn)化率是否有顯著影響，先收集到了三種不同方式在6個(gè)月內(nèi)的轉(zhuǎn)化率數(shù)據(jù)

請(qǐng)根據(jù)數(shù)據(jù)判斷3種不同優(yōu)惠金額的轉(zhuǎn)化率有無(wú)差異

分析過(guò)程：由于目標(biāo)是判斷3種不同金額的優(yōu)惠券對(duì)于轉(zhuǎn)化率有無(wú)差異，多樣本的檢驗(yàn)用方差分析

于是我們有了原假設(shè)和備擇假設(shè)

:認(rèn)為這幾組之間的購(gòu)買(mǎi)率不一樣

P < 0.05 拒絕原假設(shè)，傾向于支持不同優(yōu)惠金額購(gòu)買(mǎi)率不一樣的備擇假設(shè)。認(rèn)為不同優(yōu)惠金額會(huì)對(duì)購(gòu)買(mǎi)率產(chǎn)生影響 P > 0.05 無(wú)法拒絕原假設(shè)。認(rèn)為不同優(yōu)惠金額不會(huì)對(duì)購(gòu)買(mǎi)率產(chǎn)生影響

import pandas as pd
import numpy as np
from scipy import stats

A = [0.043 , 0.047 , 0.051 , 0.049 , 0.045 , 0.0469]
B = [0.05  , 0.048 , 0.045 , 0.055 , 0.048 , 0.0491]
C = [0.048 , 0.05  , 0.047 , 0.056 , 0.054 , 0.0509]

data = [A, B, C]
# 方差的齊性檢驗(yàn)
w, p = stats.levene(*data)
if p < 0.05:
    print('方差齊性假設(shè)不成立')
 
 
# 成立之后， 就可以進(jìn)行單因素方差分析
f_value, p_value = stats.f_oneway(*data)
# 輸出結(jié)果
print("F_value:", f_value)
print("p_value:", p_value)

# F_value: 2.332956563862427
# p_value: 0.13116820340181937

結(jié)論 選擇顯著性水平 0.05 的話，p = 0.1311 > 0.05，故無(wú)法拒絕原假設(shè)。認(rèn)為不同優(yōu)惠金額不會(huì)對(duì)購(gòu)買(mǎi)率產(chǎn)生影響

雙因素方差分析

1.雙因素方差分析（等重復(fù)實(shí)驗(yàn)）

這里的等重復(fù)實(shí)驗(yàn)，意思就是針對(duì)每個(gè)組合做大于等于兩次的實(shí)驗(yàn)，比如下方例子中表里A1和B1的組合里面有2個(gè)數(shù)字，即說(shuō)明做了兩次實(shí)驗(yàn)，如果是3個(gè)數(shù)字則說(shuō)明3次實(shí)驗(yàn)，依次類(lèi)推。

例6.3 不同燃料種類(lèi)和推進(jìn)器的火箭射程差異性檢驗(yàn)

火箭的射程與燃料的種類(lèi)和推進(jìn)器的型號(hào)有關(guān)，現(xiàn)對(duì)四種不同的燃料與三種不同型號(hào)的推進(jìn)器進(jìn)行試驗(yàn)，每種組合各發(fā)射火箭兩次，測(cè)得火箭的射程如表（以海里計(jì)）（設(shè)顯著性水平為0.05）

import numpy as np
import pandas as pd 

d = np.array([[58.2, 52.6, 56.2, 41.2, 65.3, 60.8],
    [49.1, 42.8, 54.1, 50.5, 51.6, 48.4],
    [60.1, 58.3, 70.9, 73.2, 39.2, 40.7],
    [75.8, 71.5, 58.2, 51.0, 48.7,41.4]
])
data = pd.DataFrame(d)
data.index=pd.Index(['A1','A2','A3','A4'],name='燃料')
data.columns=pd.Index(['B1','B1','B2','B2','B3','B3'],name='推進(jìn)器')

# pandas寬表轉(zhuǎn)長(zhǎng)表
data = data.reset_index().melt(id_vars =['燃料'])
data = data.rename(columns={'value':'射程'})
data.sample(5)

import statsmodels.api as sm
from statsmodels.formula.api import ols

# 進(jìn)行雙因素方差分析
model = ols('射程~C(燃料) + C(推進(jìn)器)+C(燃料):C(推進(jìn)器)', data =data).fit()
# 打印方差分析表
anova_table = sm.stats.anova_lm(model, typ=2)
anova_table

結(jié)論:

對(duì)燃料因素來(lái)說(shuō)，其p = 0.0259 < 0.05 所以拒絕，認(rèn)為燃料對(duì)射程影響顯著；

對(duì)推進(jìn)器因素來(lái)說(shuō)，其p = 0.0035 < 0.05,所以拒絕，認(rèn)為推進(jìn)器對(duì)射程影響顯著；

對(duì)燃料和推進(jìn)器的交互因素來(lái)說(shuō)，其p = 0.000062< 0.05,所以拒絕，認(rèn)為交互因素其對(duì)射程影響顯著。

2.雙因素方差分析（無(wú)重復(fù)實(shí)驗(yàn)）

在等重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，我們?yōu)榱藱z驗(yàn)實(shí)驗(yàn)中兩個(gè)因素的交互作用，針對(duì)每對(duì)組合至少要做2次以上實(shí)驗(yàn)，才能夠?qū)⒔换プ饔门c誤差分離開(kāi)來(lái)，在處理實(shí)際問(wèn)題時(shí)候，如果我們一直不存在交互作用，或者交互作用對(duì)實(shí)驗(yàn)指標(biāo)影響極小，則可以不考慮交互作用，此時(shí)每對(duì)組合只做一次實(shí)驗(yàn)，類(lèi)似下方例子中的表中數(shù)據(jù)：

例6.4 不同時(shí)間、不同地點(diǎn)顆粒狀物含量差異性檢驗(yàn) 無(wú)重復(fù)實(shí)驗(yàn)

下面給出了在5個(gè)不同地點(diǎn)、不同時(shí)間空氣中的顆粒狀物(單位：mg/m°)含 量的數(shù)據(jù)記錄于表中，試在顯著性水平下檢驗(yàn)不同時(shí)間、不同地點(diǎn)顆粒狀物含量有無(wú)顯著差異？（假設(shè)兩者沒(méi)有交互作用〉

import numpy as np
import pandas as pd 

d = np.array([
    [76,67,81,56,51],
    [82,69,96,59,70],
    [68,59,67,54,42],
    [63,56,64,58,37]])
data = pd.DataFrame(d)
data.index=pd.Index(['1995年10月','1996年01月','1996年05月','1996年08月'],name='時(shí)間')
data.columns=pd.Index(['B1','B2','B3','B4','B5'],name='地點(diǎn)')
# pandas寬表轉(zhuǎn)長(zhǎng)表
data = data.reset_index().melt(id_vars =['時(shí)間'])
data = data.rename(columns={'value':'顆粒狀物含量'})
data.sample(5)

隨機(jī)查看5條轉(zhuǎn)化后的數(shù)據(jù)：

import statsmodels.api as sm
from statsmodels.formula.api import ols

# 進(jìn)行雙因素方差分析
model = ols('顆粒狀物含量~C(時(shí)間) + C(地點(diǎn))', data =data).fit()
# 打印方差分析表
anova_table = sm.stats.anova_lm(model, typ=2)
anova_table

結(jié)論:

對(duì)時(shí)間因素來(lái)說(shuō)，其p = 0.001033 < 0.05 所以拒絕，認(rèn)為時(shí)間對(duì)顆粒狀物含量影響顯著；

對(duì)地點(diǎn)因素來(lái)說(shuō)，其p = 0.000234 < 0.05,所以拒絕，認(rèn)為地點(diǎn)對(duì)顆粒狀物含量影響顯著；

下期將為大家?guī)?lái)《統(tǒng)計(jì)學(xué)極簡(jiǎn)入門(mén)》之相關(guān)分析

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