作者：丁點(diǎn)helper

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今天將以單向（one-way）方差分析為例，具體梳理方差分析的整個(gè)過(guò)程。

單向（one-way）方差分析，就是大家很熟悉的單因素方差分析（教科書(shū)上叫單向）, 一般也稱完全隨機(jī)設(shè)計(jì)(completely randomized design)的方差分析，是指將研究對(duì)象通過(guò)完全隨機(jī)化方法，分配至多個(gè)不同的處理組，比較多組的效應(yīng)指標(biāo)是否存在差別。

先看如下案例：

為了解大骨節(jié)病與糧食中微量元素硒含量之間的關(guān)系，某研究團(tuán)隊(duì)調(diào)查了A（渭源縣）、B（青州市）兩個(gè)大骨節(jié)病區(qū)和C（泰山區(qū)）、D（長(zhǎng)清區(qū)）兩個(gè)非大骨節(jié)病區(qū)。

每個(gè)病區(qū)隨機(jī)抽取20戶農(nóng)戶并采集面粉，檢測(cè)面粉中硒元素含量(μg/kg)，試分析這4個(gè)地區(qū)面粉中硒含量是否存在差異。具體的數(shù)據(jù)情況如下表1。

表1 四地區(qū)面粉硒元素含量樣本數(shù)據(jù)表

 我們將上述數(shù)據(jù)繪制成圖形（如下圖，每個(gè)空心小圓圈代表一個(gè)樣本值），可以很直觀地看到，這80個(gè)樣本值（20*4）各不相同，即它們存在差異。

暫時(shí)忽略其他潛在的混雜因素，這種差異的原因可能是由于它們來(lái)自不同的地區(qū)，但因?yàn)樗膫€(gè)小組內(nèi)部的數(shù)值也都一一不同，所以，差異也可能僅僅是因?yàn)殡S機(jī)誤差，通俗地理解就是人們說(shuō)的運(yùn)氣導(dǎo)致的。

不過(guò)，仔細(xì)地觀察發(fā)現(xiàn)兩個(gè)病區(qū)的數(shù)據(jù)好像明顯要低一些，這便提示地區(qū)的不同確實(shí)有可能造成了目前的差異。

為了驗(yàn)證我們的猜測(cè)，就可以采用方差分析來(lái)檢驗(yàn)：病區(qū)與非病區(qū)面粉硒含量的差異是否具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

這里需要再明確一點(diǎn)的是，我們的目標(biāo)是比較這四個(gè)地區(qū)面粉中硒含量是否有差異，在實(shí)際操作中，我們比較的是四個(gè)地區(qū)硒含量的總體平均數(shù)，因此，只要總體平均數(shù)有差異，我們就說(shuō)四地區(qū)硒含量有差異。

要進(jìn)行方差分析，當(dāng)然，我們首先要進(jìn)行假設(shè)：這四組數(shù)據(jù)都沒(méi)有差異，注意是都沒(méi)有！

在這個(gè)假設(shè)下，我們可以把這四組數(shù)據(jù)看做是一個(gè)大組，即將上述80個(gè)數(shù)據(jù)視為一個(gè)整體。對(duì)于這個(gè)整體，我們可以計(jì)算一個(gè)平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，即表1中72.22和20.00。

可是實(shí)際情況下，這80個(gè)數(shù)據(jù)是分屬于四個(gè)小組的，因此我們也可以分別計(jì)算這四個(gè)小組的平均數(shù)，即57.11、55.58、85.62、90.55。

如果假設(shè)成立（即四組數(shù)據(jù)都沒(méi)有差異），那么這四個(gè)小組的平均數(shù)應(yīng)該是圍繞著整體平均數(shù)（即72.22）上下波動(dòng)的，互相差異應(yīng)該不是很大。

但現(xiàn)在我們實(shí)際獲得的數(shù)據(jù)卻顯示，小組中最低的均數(shù)為57.11、最大的為90.55，直觀上看都與72.22的距離不小，所以我們就會(huì)懷疑不能把它們看做一個(gè)整體（更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋磉_(dá)是，它們不是來(lái)自同一個(gè)總體），從而拒絕它們相同的假設(shè)。

順著這個(gè)思路，我們獲得下面這張表格（表2）：

表2 方差分析一般結(jié)果表

上述表格中涉及的具體的計(jì)算過(guò)程大家不需要細(xì)看，只需大概了解所謂的“離均差平方和（SS）”和“均方（MS）”的計(jì)算方法。

然后對(duì)照前面我們談到的方差的概念和計(jì)算方法，你是否會(huì)發(fā)現(xiàn)，不明所以的“均方（MS）”其實(shí)可以看做是一種特殊類型的“方差”！

對(duì)照下圖方差的計(jì)算公式：左邊是離均差平方和，右邊是自由度。

我們首先看衡量“組內(nèi)變異”的均方（MS組內(nèi)），在各個(gè)小組內(nèi)部因?yàn)闆](méi)有地區(qū)差異，所以MS組內(nèi)的大小大小僅反映了隨機(jī)誤差（即運(yùn)氣）的情況。

而當(dāng)假設(shè)四組總體均數(shù)相同時(shí)，組間均方（MS組間）的大小也僅僅反映隨機(jī)誤差的大小。

如何理解這里的談到的“隨機(jī)誤差”呢？

對(duì)于來(lái)自同一個(gè)總體的兩個(gè)或多個(gè)樣本的差異我們可以簡(jiǎn)單理解為隨機(jī)誤差，也就是說(shuō)，雖然表面上它們不同，但這種不同并沒(méi)有意義，也不會(huì)反映額外的信息，僅僅是因?yàn)檫\(yùn)氣導(dǎo)致的。

好比你和別人擲色子比大小，雖然你們獲得的點(diǎn)數(shù)不同，但這種不同完全是因?yàn)檫\(yùn)氣，不能說(shuō)明任何其他的問(wèn)題，同時(shí)也不會(huì)出現(xiàn)一個(gè)人總贏、另一個(gè)總輸?shù)木置妗?

但是如果對(duì)方悄悄在色子上做了點(diǎn)手腳，知道怎樣擲可以獲得大的點(diǎn)數(shù)，這個(gè)時(shí)候，你們點(diǎn)數(shù)的差異就不再僅僅因?yàn)檫\(yùn)氣，還有色子的原因。

用統(tǒng)計(jì)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，就是你們的差異不僅包含了隨機(jī)誤差，還包含了其他因素。所以，下次如果感覺(jué)自己總是在輸，就要看看是不是色子出現(xiàn)了問(wèn)題。

回到本例，既然MS組間和MS組內(nèi)這兩者都僅反映隨機(jī)誤差的大小，那么其攜帶的信息量就應(yīng)該沒(méi)有差異（提示：方差的大小決定了數(shù)據(jù)的信息量）。

由此，在數(shù)值上MS組間與MS組內(nèi)差異不大，所以使用MS組間除以MS組內(nèi)時(shí)，所獲得F值原則上應(yīng)該在1附近。

如果現(xiàn)在我們獲得的數(shù)據(jù)計(jì)算出來(lái)的F值比1大很多（對(duì)應(yīng)的P值會(huì)很?。?，則意味著MS組間遠(yuǎn)大于MS組內(nèi)，從而表示，MS組間攜帶了多余的信息，因此，可以證明MS組間的差異不僅僅包含隨機(jī)誤差，還包含其他因素（比如地區(qū)不同），結(jié)合本例，即意味著四地區(qū)間面粉硒含量不都相同！

將上述數(shù)據(jù)用SPSS運(yùn)算后獲得結(jié)果如下表3。很顯然，F(xiàn)值超過(guò)46，遠(yuǎn)大于1（注意，在正式情況下F值并非和1比較，這里僅為了方便理解），其對(duì)應(yīng)的P值遠(yuǎn)小于0.05，由此拒絕零假設(shè)，差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，可以認(rèn)為這四個(gè)地區(qū)硒含量的總體均數(shù)不全相等，也就是說(shuō)至少有兩個(gè)地區(qū)總體均數(shù)不等。

表3 四地區(qū)硒含量方差分析結(jié)果表

單向方差分析僅告訴我們這四個(gè)總體均數(shù)不全相等，但具體哪幾個(gè)不等，哪幾個(gè)相等呢？這就涉及到兩兩比較了。