單因素下的方差分析

在方差分析中，有三個(gè)基本的假設(shè)：

　　(1) 正態(tài)假設(shè)。對(duì)于因素的每個(gè)水平，其觀測(cè)值都是來(lái)自正態(tài)總體的隨機(jī)樣本；
　　(2) 方差齊次假設(shè)。各個(gè)總體的方差相同；
　　(3) 獨(dú)立假設(shè)。觀測(cè)值之間都是獨(dú)立的。
　　設(shè)試驗(yàn)中的因素A，有r個(gè)水平A1,A2,...,An，在每個(gè)水平下進(jìn)行試驗(yàn)得到結(jié)果xi1,xi2,...,xini，i=1,2,...,r，其被看作是來(lái)自第i個(gè)正態(tài)總體xi～N(μi,σ2)，其中參數(shù)未知且每個(gè)樣本都獨(dú)立。從而單因素分析的數(shù)學(xué)模型可以表示為一種線性模型。
　
　　其中，μ是所有總體的均值，αi=μi?μ稱為第i個(gè)水平的效應(yīng)，Eij是隨機(jī)誤差。
　　1.正態(tài)性檢驗(yàn)
　　在R語(yǔ)言中，使用Shapiro.test(x)可以對(duì)數(shù)據(jù)x進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)，參數(shù)x是要檢驗(yàn)的數(shù)據(jù)集，它是長(zhǎng)度在3~5000之間的向量。
　　2.方差齊次性檢驗(yàn)
　　該方法是要檢驗(yàn)數(shù)據(jù)在不同水平下，其方差是否相等。在R語(yǔ)言中，使用Bartlett.test()來(lái)實(shí)現(xiàn)。
　　方差分析的目的是，要比較因素A的r個(gè)水平下，試驗(yàn)結(jié)果是否有顯著差異。以樣本均值作為檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)，寫出檢驗(yàn)假設(shè)：
　　　H0:α1=α2=...=αr,H1:α1,α2,...,αr不全相等
　　如果拒絕原假設(shè)H0，說(shuō)明樣本來(lái)自不同的正態(tài)總體，則由因素A的各個(gè)水平所造成均值的差異有統(tǒng)計(jì)意義；
　　如果不能拒絕原假設(shè)H0，說(shuō)明樣本來(lái)自相同的正態(tài)總體，因素的不同水平之間無(wú)差異。
　　案例1，某銀行規(guī)定VIP客戶的月均賬戶余額要達(dá)到100萬(wàn)元，并以此作為比較各個(gè)分行業(yè)績(jī)的一項(xiàng)指標(biāo)。這里的“分行”即為因子，賬戶余額是所要檢驗(yàn)的指標(biāo)，先從三個(gè)分行(對(duì)應(yīng)三個(gè)水平A1、A2、A3)中，分別隨機(jī)抽取7個(gè)VIP客戶的賬戶，數(shù)據(jù)列在表(1)中。

表(1) 銀行的三個(gè)分行A1、A2、A3

(a)正態(tài)性檢驗(yàn)
　　//zheng.R　　

x1=c(103,101,98,110,105,100,106)
x2=c(113,107,108,116,114,110,115)
x3=c(82,92,84,86,84,90,88)
shapiro.test(x1)
shapiro.test(x2)
shapiro.test(x3

效果如下：

圖(1) 正態(tài)性檢驗(yàn)的結(jié)果

　　由圖(1)知，P(A1)=0.948 > 0.05，不能拒絕原假設(shè)，
　　　P(A2)=0.4607 > 0.05，不能拒絕原假設(shè)，
　　　P(A3)=0.7724 > 0.05，不能拒絕原假設(shè)，
　　而原假設(shè)H0是變量x服從正態(tài)分布，即A1、A2、A3都服從正態(tài)分布。
　　(b)方差齊次性檢測(cè)

//qi.R　

#方差齊性檢驗(yàn)
x=c(x1,x2,x3)
account=data.frame(x,A=factor(rep(1:3,each=7)))
bartlett.test(x~A,data=account)

效果如下：

圖(2) 方差齊次性檢測(cè)

　　由于P=0.9341 > 0.05，不能拒絕原假設(shè)，而原假設(shè)H0是樣本是“齊次的”，即三個(gè)樣都是等方差的。
　　(c) 單因素分析
　　當(dāng)數(shù)據(jù)符合正態(tài)性，和方差齊次之后，使用aov()就可以進(jìn)行方差分析了。

//fen.R　

a.aov=aov(x~A,data=account)
summary(a.aov)
plot(account$x~account$A)

如圖(3)、圖(4)所示：

在圖(3)中，A表示因子，Residuals表示殘差，

　　　　Df 表示自由度
　　　　SumSq 表示平方和
　　　　Mean Sq 表示均方和
　　　　F value F 表示F檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值
　　　　Pr(>F) 表示概率。
　　由于P=8.446e-10 < 0.05，說(shuō)明拒絕原假設(shè)，即不同分行A1、A2、A3的經(jīng)濟(jì)業(yè)績(jī)有顯著差別。
　　同樣，在圖(4)中，可以看到三個(gè)分行的Me(中位數(shù)，箱線圖里最粗的黑線，就是中位數(shù)，記為Me)是明顯不同的，其中分行A1的Me=85，分行A2的Me=103，分行A3的Me=114,，也就是分行A1、A2、A3的經(jīng)濟(jì)業(yè)績(jī)有顯著差別。