7. 相關(guān)性分析

前面的假設(shè)檢驗(yàn)、方差分析基本上都是圍繞差異性分析，不論是單個(gè)總體還是兩個(gè)總體及以上，總之都是屬于研究“區(qū)別”，從本節(jié)開始，我們關(guān)注“聯(lián)系”，變量之間的關(guān)系分為 函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系。 本節(jié)這里重點(diǎn)探討的是不同類型變量之間的相關(guān)性，千萬記住一點(diǎn)相關(guān)性不代表因果性。除表中列出的常用方法外，還有Tetrachoric、相關(guān)系數(shù)等。

連續(xù)型變量 vs 連續(xù)型變量 : Pearson / Spearmanr

Pearson

Pearson相關(guān)系數(shù)度量了兩個(gè)連續(xù)變量之間的線性相關(guān)程度；

import random 
import numpy as np
import pandas as pd

np.random.seed(10)
df = pd.DataFrame({'商品曝光量':[1233,1333,1330,1323,1323,1142,1231,1312,1233,1123],
     '購買轉(zhuǎn)化率':[0.033,0.034,0.035,0.033,0.034,0.029,0.032,0.034,0.033,0.031]})
df

• Pandas計(jì)算Pearson相關(guān)系數(shù)

pd.Series.corr(df['商品曝光量'], df['購買轉(zhuǎn)化率'],method = 'pearson') # pearson相關(guān)系數(shù)
# 0.885789300493948

• scipy計(jì)算Pearson相關(guān)系數(shù)

import scipy.stats as stats

# 假設(shè)有兩個(gè)變量X和Y
X = df['商品曝光量']
Y = df['購買轉(zhuǎn)化率']

# 使用spearmanr函數(shù)計(jì)算斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)和p值
corr, p_value = stats.pearsonr(X, Y)

print("Pearson相關(guān)系數(shù):", corr)
print("p值:", p_value)
# Pearson相關(guān)系數(shù): 0.8857893004939478
# p值: 0.0006471519603654732

Spearman等級(jí)相關(guān)系數(shù)

Spearman等級(jí)相關(guān)系數(shù)可以衡量非線性關(guān)系變量間的相關(guān)系數(shù)，是一種非參數(shù)的統(tǒng)計(jì)方法，可以用于定序變量或不滿足正態(tài)分布假設(shè)的等間隔數(shù)據(jù)；

import random 
import numpy as np
import pandas as pd

np.random.seed(10)
df = pd.DataFrame({'品牌知名度排位':[9,4,3,6,5,8,1,7,10,2],
     '售后服務(wù)質(zhì)量評(píng)價(jià)排位':[8,2,5,4,7,9,1,6,10,3]})
df

• Pandas計(jì)算spearman相關(guān)系數(shù)

pd.Series.corr(df['品牌知名度排位'], df['售后服務(wù)質(zhì)量評(píng)價(jià)排位'],method = 'spearman') # spearman秩相關(guān)
# 0.8787878787878788

• scipy計(jì)算spearman相關(guān)系數(shù)

import scipy.stats as stats

# 假設(shè)有兩個(gè)變量X和Y
X = df['品牌知名度排位']
Y = df['售后服務(wù)質(zhì)量評(píng)價(jià)排位']

# 使用spearmanr函數(shù)計(jì)算斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)和p值
corr, p_value = stats.spearmanr(X, Y)

print("斯皮爾曼相關(guān)系數(shù):", corr)
print("p值:", p_value)
# 斯皮爾曼相關(guān)系數(shù): 0.8787878787878788
# p值: 0.0008138621117322101

結(jié)論:p = 0.0008＜0.05，表明兩變量之間的正向關(guān)系很顯著。

二分類變量（自然）vs 連續(xù)型變量 :Point-biserial

假設(shè)我們想要研究性別對(duì)于某種疾病是否存在影響。我們有一個(gè)二元變量“性別”（男、女）和一個(gè)連續(xù)型變量“疾病指數(shù)”。我們想要計(jì)算性別與疾病指數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)，就需要用到Point-biserial相關(guān)系數(shù)。

import scipy.stats as stats

# 創(chuàng)建一個(gè)列表來存儲(chǔ)數(shù)據(jù)
gender = [0, 1, 0, 1, 1, 0]
disease_index = [3.2, 4.5, 2.8, 4.0, 3.9, 3.1]

# 使用pointbiserialr函數(shù)計(jì)算Point-biserial相關(guān)系數(shù)和p值
corr, p_value = stats.pointbiserialr(gender, disease_index)

print("Point-biserial相關(guān)系數(shù):", corr)
print("p值:", p_value)
# Point-biserial相關(guān)系數(shù): 0.9278305692406299
# p值: 0.007624695507848026

結(jié)論:p = 0.007＜0.05，表明兩變量之間的正向關(guān)系很顯著。即性別與疾病指數(shù)正相關(guān)

無序分類變量 vs 連續(xù)型變量 ： ANOVA

假設(shè)我們想要比較不同教育水平的學(xué)生在CDA考試成績上是否存在顯著差異。我們有一個(gè)無序分類變量“教育水平”（高中、本科、研究生）和一個(gè)連續(xù)型變量“考試成績”。

import pandas as pd
import statsmodels.api as sm
from statsmodels.formula.api import ols

# 創(chuàng)建一個(gè)DataFrame來存儲(chǔ)數(shù)據(jù)
data = pd.DataFrame({
    '教育水平': ['高中', '本科', '本科', '研究生', '高中', '本科', '研究生'],
    '考試成績': [80, 90, 85, 95, 75, 88, 92]
})

# 使用ols函數(shù)創(chuàng)建一個(gè)線性模型
model = ols('考試成績 ~ C(教育水平)', data=data).fit()

# 使用anova_lm函數(shù)進(jìn)行方差分析
anova_table = sm.stats.anova_lm(model, typ=2)
anova_table

結(jié)論:p = 0.0102＜0.05，拒絕原假設(shè)，表明兩變量之間的正向關(guān)系很顯著。教育水平與考試成績正相關(guān)

有序分類變量 vs 連續(xù)型變量

將連續(xù)型變量離散化后當(dāng)做有序分類，然后用 有序分類變量 VS 有序分類變量的方法

二分類變量 vs 二分類變量 ：檢驗(yàn) 聯(lián)合 Cramer's V

一項(xiàng)研究調(diào)查了不同性別的成年人對(duì)在公眾場(chǎng)合吸煙的態(tài)度，結(jié)果如表所示。那么，性別與對(duì)待吸煙的態(tài)度之間的相關(guān)程度

import numpy as np
from scipy.stats import chi2_contingency

observed = np.array([[15, 10],
                     [10, 26]])
observed

chi2, p, dof, expected = chi2_contingency(observed,correction =False) # correction =False
# 卡方值 
# P值 
# 自由度： 
# 與原數(shù)據(jù)數(shù)組同維度的對(duì)應(yīng)期望值

chi2, p
#(6.3334567901234555, 0.011848116168529757)

結(jié)論:p = 0.0118＜0.05，拒絕原假設(shè)，表明兩變量之間的正向關(guān)系很顯著。

phi = np.sqrt(chi2/n)
print("phi's V:", phi)
# phi's V: 0.3222222222222222

卡方檢驗(yàn)時(shí)有多種指標(biāo)可表示效應(yīng)量，可結(jié)合數(shù)據(jù)類型及交叉表格類型綜合選擇

• 第一：如果是2*2表格，建議使用 指標(biāo)
• 第二：如果是33,或 44表格，建議使用列聯(lián)系數(shù)；
• 第三：如果是n*n(n>4)表格，建議使用 校正列聯(lián)系數(shù)；
• 第四：如果是m*n(m不等于n)表格，建議使用 Cramer V指標(biāo)；
• 第五：如果X或Y中有定序數(shù)據(jù)，建議使用 指標(biāo)；

這里只列出 指標(biāo) 和 Cramer V指標(biāo) 的計(jì)算，其他計(jì)算方式請(qǐng)讀者自行研究。

# 計(jì)算Cramer's V
contingency_table = observed
n = contingency_table.sum().sum()
phi_corr = np.sqrt(chi2 / (n * min(contingency_table.shape) - 1))
v = phi_corr / np.sqrt(min(contingency_table.shape) - 1)

print("Cramer's V:", v)
# Cramer's V: 0.22878509151645754

二分類變量（有序） 連續(xù)型變量： Biserial

import numpy as np
from scipy.stats import pearsonr

# 生成隨機(jī)的二元變量
binary_variable = np.random.choice([0, 1], size=100)

# 生成隨機(jī)的連續(xù)變量
continuous_variable = np.random.normal(loc=0, scale=1, size=100)


# 注：此處的代碼未經(jīng)嚴(yán)格考證，請(qǐng)謹(jǐn)慎使用
def biserial_correlation(binary_variable, continuous_variable):
    binary_variable_bool = binary_variable.astype(bool)
    binary_mean = np.mean(binary_variable_bool)
    binary_std = np.std(binary_variable_bool)
    
    binary_variable_norm = (binary_variable_bool - binary_mean) / binary_std
    
    corr, _ = pearsonr(binary_variable_norm, continuous_variable)
    biserial_corr = corr * (np.std(continuous_variable) / binary_std)
    
    return biserial_corr

# 計(jì)算Biserial相關(guān)系數(shù)
biserial_corr = biserial_correlation(binary_variable, continuous_variable)

print("Biserial相關(guān)系數(shù):", biserial_corr)
Biserial相關(guān)系數(shù): -0.2061772328681707

無序分類變量 vs 無序分類變量

參考 檢驗(yàn)

有序分類變量 vs 無序分類變量

參考 檢驗(yàn)

有序分類變量 vs 有序分類變量

Kendall秩相關(guān)系數(shù)

Kendall秩相關(guān)系數(shù)也是一種非參數(shù)的等級(jí)相關(guān)度量，類似于Spearman等級(jí)相關(guān)系數(shù)。

import random 
import numpy as np
import pandas as pd

np.random.seed(10)
df = pd.DataFrame({'品牌知名度排位':[9,4,3,6,5,8,1,7,10,2],
     '售后服務(wù)質(zhì)量評(píng)價(jià)排位':[8,2,5,4,7,9,1,6,10,3]})
df

pd.Series.corr(df['品牌知名度排位'], df['售后服務(wù)質(zhì)量評(píng)價(jià)排位'],method = 'kendall') # Kendall Tau相關(guān)系數(shù)
# 0.7333333333333333

from scipy.stats import kendalltau

# 兩個(gè)樣本數(shù)據(jù)
x = df['品牌知名度排位']
y = df['售后服務(wù)質(zhì)量評(píng)價(jià)排位']

# 計(jì)算Kendall Tau相關(guān)系數(shù)
correlation, p_value = kendalltau(x, y)

print("Kendall Tau相關(guān)系數(shù):", correlation)
print("p值:", p_value)
# Kendall Tau相關(guān)系數(shù): 0.7333333333333333
# p值: 0.002212852733686067

浮生皆縱，恍如一夢(mèng)，讓我們只爭(zhēng)朝夕,不負(fù)韶華！

下期將為大家?guī)?a href="http://www.3lll3.cn/bigdata/205068.html" style="text-decoration: none; color: #1e6bb8; word-wrap: break-word; font-weight: bold; border-bottom: 1px solid #1e6bb8;">《統(tǒng)計(jì)學(xué)極簡(jiǎn)入門》之 再看t檢驗(yàn)、F檢驗(yàn)、檢驗(yàn)

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