
作者:丁點helper
來源:丁點幫你
今天我們開始講什么是卡方分布及卡方檢驗。
第一個問題是,卡方為什么有平方?
還記得我們在第一篇講兩類錯誤中談過的賭場的例子嗎,小金賭色子輸了很多錢,為了看色子是否有問題,他偷了一顆拿回家想偷偷驗證一下是否有人動手腳。
小金悶在家丟了一天,一共丟了902次,而且每一次都做了記錄(丟的是昏天黑地,可腦補這個畫面)。
下面表格就是小金記錄的獲得的點數(shù)情況,比如一共有242次(27%)出現(xiàn)1點,有56次(6%)出現(xiàn)2點……有196次(22%)出現(xiàn)6點。
實際情況的色子點數(shù)
小金怎樣通過”狂丟色子“來判斷其是否有問題呢?
這就需要用到卡方檢驗了,實際上也是假設檢驗的大邏輯。
我們知道小金一共丟了902次,假設這顆色子是正常均勻的,那么每次丟色子,每一點出現(xiàn)的可能性都是1/6,所以理論上每一點出現(xiàn)的次數(shù)應該都是:150.33=902/6次。
如下表:我們把每一點實際出現(xiàn)的次數(shù)與理論情況下應該出現(xiàn)的次數(shù)做一個對比,其中實際觀察次數(shù)用A表示,理論次數(shù)用T表示:
色子點數(shù):理論VS實際
采用假設檢驗的標準語言來驗證就是:
H0:這顆色子是均勻公平,每一點出現(xiàn)的可能性都為1/6;
H1:這顆色子不是均勻公平的,每一點點數(shù)出現(xiàn)的概率不都相同;
如果H0假設成立,那么“觀察次數(shù)”和“理論次數(shù)”之間不會差很多;可是如果兩者的差距過大,達到我們規(guī)定的某個水平,就認為在H0假設成立的情況下是不會出現(xiàn)的,此時就會拒絕原假設,即認為這個色子不是均勻的。
那怎么來計算這個差呢?
依照我們講標準差的思路,如果直接將實際情況的點數(shù)與理論情況點數(shù)相減再加和取平均數(shù),基本會得到0的結(jié)果,沒有什么意義,而取絕對值運算又不方便,所以還是得通過平方。這就是卡方中平方的由來。
卡方值計算
上面這個計算公式,A代表“實際頻數(shù)”,T代表“理論頻數(shù)”。
如果把這個公式應用到小金丟色子的例子,就會得到:
卡方值為274.92,其對應的P值小于0.01,也就意味著,如果原假設成立(色子沒問題),那么“理論與現(xiàn)實”出現(xiàn)這么大的差距的可能低于5%,我們認為這是不可能,因此,要拒絕原假設,認為“色子有問題”。
所以“十賭九輸”是有原因的。
好了,回到今天的正題,小伙伴們可能覺得上面的例子和平常用到的卡方檢驗好像不太一樣。
實際上,原理完全一致。
卡方檢驗最常用的是檢驗兩個率是否一致,對照上述“丟色子”的例子,我們會先假設這兩個率(注意是指總體率)相等,通過相等的總體率,再反推理論發(fā)生的頻數(shù),然后計算實際的觀察頻數(shù)與理論頻數(shù)的卡方值來判斷差距是否足夠大,從而決定假設是否可以被拒絕。
下面以新冠肺炎為例,說明一下卡方檢驗的應用。
為比較A、B兩個城市新冠肺炎病例的檢出情況,分別隨機抽取A地377人,B地301人,進行核酸檢測。結(jié)果見下表(數(shù)據(jù)純屬虛構(gòu)),現(xiàn)判斷兩個城市的新冠肺炎檢出率是否相同?
如上表,A地的檢出率是19.89%;B地的檢出率是32.89%,卡方檢驗就要來判斷這兩個樣本率所代表的總體率是否相等。
現(xiàn)在我們假設它們相等,那怎么計算理論頻數(shù)呢?
此時就需要用到“合計檢出率——25.66% “來算,這個數(shù)據(jù)就相當于上述色子例子中的1/6,是一個標準。
所以,如果兩城市新冠肺炎檢出率沒有區(qū)別,且大概都為25.66%,那理論上A地會檢出多少例呢?96.75(377*25.66%),而未檢出的就為280.25(377-96.75)。
同理,B地會檢出77.25(301*25.66%),未檢出的就為223.75(301-77.25)。
現(xiàn)在我們就得到了各城市檢出與未檢出的理論頻數(shù),從而就能計算卡方值。
該卡方值對應的P值小于0.05,所以可以認為A、B兩個城市新冠肺炎的檢出率不一致,B地檢出率更高,感染情況更嚴重。
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