作者：丁點(diǎn)helper

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今天我們開(kāi)始講什么是卡方分布及卡方檢驗(yàn)。

第一個(gè)問(wèn)題是，卡方為什么有平方？

還記得我們?cè)诘谝黄v兩類(lèi)錯(cuò)誤中談過(guò)的賭場(chǎng)的例子嗎，小金賭色子輸了很多錢(qián)，為了看色子是否有問(wèn)題，他偷了一顆拿回家想偷偷驗(yàn)證一下是否有人動(dòng)手腳。

小金悶在家丟了一天，一共丟了902次，而且每一次都做了記錄（丟的是昏天黑地，可腦補(bǔ)這個(gè)畫(huà)面）。

下面表格就是小金記錄的獲得的點(diǎn)數(shù)情況，比如一共有242次（27%）出現(xiàn)1點(diǎn)，有56次（6%）出現(xiàn)2點(diǎn)……有196次（22%）出現(xiàn)6點(diǎn)。

實(shí)際情況的色子點(diǎn)數(shù)

小金怎樣通過(guò)”狂丟色子“來(lái)判斷其是否有問(wèn)題呢？

這就需要用到卡方檢驗(yàn)了，實(shí)際上也是假設(shè)檢驗(yàn)的大邏輯。

我們知道小金一共丟了902次，假設(shè)這顆色子是正常均勻的，那么每次丟色子，每一點(diǎn)出現(xiàn)的可能性都是1/6，所以理論上每一點(diǎn)出現(xiàn)的次數(shù)應(yīng)該都是：150.33=902/6次。

如下表：我們把每一點(diǎn)實(shí)際出現(xiàn)的次數(shù)與理論情況下應(yīng)該出現(xiàn)的次數(shù)做一個(gè)對(duì)比，其中實(shí)際觀察次數(shù)用A表示，理論次數(shù)用T表示：

色子點(diǎn)數(shù)：理論VS實(shí)際

采用假設(shè)檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)語(yǔ)言來(lái)驗(yàn)證就是：

H0：這顆色子是均勻公平，每一點(diǎn)出現(xiàn)的可能性都為1/6；

H1：這顆色子不是均勻公平的，每一點(diǎn)點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的概率不都相同；

如果H0假設(shè)成立，那么“觀察次數(shù)”和“理論次數(shù)”之間不會(huì)差很多；可是如果兩者的差距過(guò)大，達(dá)到我們規(guī)定的某個(gè)水平，就認(rèn)為在H0假設(shè)成立的情況下是不會(huì)出現(xiàn)的，此時(shí)就會(huì)拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為這個(gè)色子不是均勻的。

那怎么來(lái)計(jì)算這個(gè)差呢？

依照我們講標(biāo)準(zhǔn)差的思路，如果直接將實(shí)際情況的點(diǎn)數(shù)與理論情況點(diǎn)數(shù)相減再加和取平均數(shù)，基本會(huì)得到0的結(jié)果，沒(méi)有什么意義，而取絕對(duì)值運(yùn)算又不方便，所以還是得通過(guò)平方。這就是卡方中平方的由來(lái)。

卡方值計(jì)算

上面這個(gè)計(jì)算公式，A代表“實(shí)際頻數(shù)”，T代表“理論頻數(shù)”。

如果把這個(gè)公式應(yīng)用到小金丟色子的例子，就會(huì)得到：

卡方值為274.92，其對(duì)應(yīng)的P值小于0.01，也就意味著，如果原假設(shè)成立（色子沒(méi)問(wèn)題），那么“理論與現(xiàn)實(shí)”出現(xiàn)這么大的差距的可能低于5%，我們認(rèn)為這是不可能，因此，要拒絕原假設(shè)，認(rèn)為“色子有問(wèn)題”。

所以“十賭九輸”是有原因的。

好了，回到今天的正題，小伙伴們可能覺(jué)得上面的例子和平常用到的卡方檢驗(yàn)好像不太一樣。

實(shí)際上，原理完全一致。

卡方檢驗(yàn)最常用的是檢驗(yàn)兩個(gè)率是否一致，對(duì)照上述“丟色子”的例子，我們會(huì)先假設(shè)這兩個(gè)率（注意是指總體率）相等，通過(guò)相等的總體率，再反推理論發(fā)生的頻數(shù)，然后計(jì)算實(shí)際的觀察頻數(shù)與理論頻數(shù)的卡方值來(lái)判斷差距是否足夠大，從而決定假設(shè)是否可以被拒絕。

下面以新冠肺炎為例，說(shuō)明一下卡方檢驗(yàn)的應(yīng)用。

為比較A、B兩個(gè)城市新冠肺炎病例的檢出情況，分別隨機(jī)抽取A地377人，B地301人，進(jìn)行核酸檢測(cè)。結(jié)果見(jiàn)下表（數(shù)據(jù)純屬虛構(gòu)），現(xiàn)判斷兩個(gè)城市的新冠肺炎檢出率是否相同？

如上表，A地的檢出率是19.89%；B地的檢出率是32.89%，卡方檢驗(yàn)就要來(lái)判斷這兩個(gè)樣本率所代表的總體率是否相等。

現(xiàn)在我們假設(shè)它們相等，那怎么計(jì)算理論頻數(shù)呢？

此時(shí)就需要用到“合計(jì)檢出率——25.66% “來(lái)算，這個(gè)數(shù)據(jù)就相當(dāng)于上述色子例子中的1/6，是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。

所以，如果兩城市新冠肺炎檢出率沒(méi)有區(qū)別，且大概都為25.66%，那理論上A地會(huì)檢出多少例呢？96.75（377*25.66%），而未檢出的就為280.25（377-96.75）。

同理，B地會(huì)檢出77.25（301*25.66%），未檢出的就為223.75（301-77.25）。

現(xiàn)在我們就得到了各城市檢出與未檢出的理論頻數(shù)，從而就能計(jì)算卡方值。

該卡方值對(duì)應(yīng)的P值小于0.05，所以可以認(rèn)為A、B兩個(gè)城市新冠肺炎的檢出率不一致，B地檢出率更高，感染情況更嚴(yán)重。