Affinity Propogation最初是由Brendan Frey 和 Delbert Dueck于2007年在Science上提出的。相比其它的層次聚類算法，Affinity Propogation算法不需要預(yù)先指定聚類個數(shù)。

Affinity Propogation算法的原理可以簡單的概括為：每一個數(shù)據(jù)點(diǎn)都會給其它的多有點(diǎn)發(fā)送信息，告知其它所有點(diǎn)每個目標(biāo)對發(fā)送者（sender）的相對吸引力的目標(biāo)值（target）。

隨后，鑒于從所有其它sender收到信息的“attractiveness”，每個target所有sender一個回復(fù)，以告知與sender相聯(lián)系的每一個sender的可用性。sender會給target回復(fù)相關(guān)信息，以告知每一個target對sender修正的相對“attractiveness”（基于從所有target收到的關(guān)于可用性的信息）。信息傳遞的整個過程直到達(dá)成一致才會停止。

一旦sender與某個target相聯(lián)系，這個target就會稱為該點(diǎn)（sender）的“典型代表（exemplar）”。所有被相同exemplar標(biāo)記的點(diǎn)都被放置在一個聚類中。

算法

假定一個如下的數(shù)據(jù)集。每一個參與者代表一個五維空間的數(shù)據(jù)點(diǎn)。

相似性矩陣（C）

除了在對角線上的元素外，其它的元素是負(fù)的均方誤差作為兩個數(shù)據(jù)間的相似值。

計算公式如下：c(i, j) = -||X_i-X_y||^2c(i,j)=?∣∣Xi?Xy∣∣2以Alice和Bob為例，兩者間的相似性計算過程如下：(3-4)^2+(4-3)^2+(3-5)^2+(2-1)^2+(1-1)^2 = 7(3?4)2+(4?3)2+(3?5)2+(2?1)2+(1?1)2=7。

因此，Alice與Bob之間的相似值為-7。

相似性值的計算邊界出現(xiàn)在Bob和Edna間：(4-1)^2+(3-1)^2+(5-3)^2+(1-2)^2+(1-3)^2 = 22(4?1)2+(3?1)2+(5?3)2+(1?2)2+(1?3)2=22Bob和Edna之間的相似值為-22。

通過逐步的計算，最后得到的結(jié)果如下：

一般對角線上的元素取相似值中較小的數(shù)，在本例中取值為-22，因此，得到的相似性矩陣如下：

Responsibility Matrix ?

這里的responsibility matrix 是中間的過度步驟。通過使用如下的公式計算responsibility matrix：r(i, k ) \leftarrow s(i, k)- max_{k^{'} such\ that\ k^{'} \not= \ k} \{a(i, k^{'})+s(i, k^{'})\},r(i,k)←s(i,k)?maxk′such that k′= k{a(i,k′)+s(i,k′)},其中，i表示協(xié)同矩陣的行，k表示列的關(guān)聯(lián)矩陣。

例如，r(Alice, Bob)r(Alice,Bob)的值為-1， 首先提取similarity matrix中c(Alice, Bob)c(Alice,Bob)的值為-7， 減去similarity matrix中Alice行的最大值為-6，因此，得到r(Alice, Bob)=-1r(Alice,Bob)=?1。

取值的邊界為r(Cary, Doug)r(Cary,Doug)，其計算如下：

r(Cary, Doug) = -18-(-6)=-12r(Cary,Doug)=?18?(?6)=?12

根據(jù)上述公式計算得到的最終結(jié)果如下圖所示：

Availability Matrix (a)

Availability Matrix的初始值為矩陣中的所有元素均為0。

首先，計算對角線上的元素值：a(k,k) \leftarrow \sum_{i^{'}such \ that \ i^{'} \not= k} max\{0, r\{i^{'}, k\}\},a(k,k)←i′such that i′=k∑max{0,r{i′,k}},其中，i表示協(xié)同矩陣的行，k表示協(xié)同矩陣的列。

實(shí)際上，上面的公式只告訴你沿著列，計算所有行與0比較的最大值（除列序與行序相等時的情況除外）。

例如，a(Alice, Alice)a(Alice,Alice)的計算如下：a(Alice, Alice) = 10+11+0+0 = 21a(Alice,Alice)=10+11+0+0=21

其次，計算非對角線上的元素值，分別以a(Alice, Cary)a(Alice,Cary)和a(Doug, Edna)a(Doug,Edna)為例，其計算過程如下所示：

a(Alice, Cary) = 1+0+0+0 = 1 \\ a(Doug, Edna)

= 0+0+0+9 = 9a(Alice,Cary)

=1+0+0+0=1a(Doug,Edna)

=0+0+0+9=9

以下公式是用于更新Availability Matrix，其公式如下：a(i, k) \leftarrow min\{0, r(k,k)+\sum_{i^{'} such \ that \ i^{'} \notin \{i, k\}} max{\{0, r(i^{'}, k)}\}\}a(i,k)←min{0,r(k,k)+i′such that i′∈/{i,k}∑max{0,r(i′,k)}}

當(dāng)你想要更新a(Alice, Bob)a(Alice,Bob)的值時，其計算過程如下：a(Doug, Bob) = min\{{0,(-15)+0+0+0}\}=-15a(Doug,Bob)=min{0,(?15)+0+0+0}=?15最后得到的結(jié)果如下表所示：

Criterion Matrix ©

在得到上面的availability matrix后，將availability matrix和responsibility matrix的對應(yīng)元素相加，便可得到criterion matrix。

其計算公式如下：c(i, k) \leftarrow r(i,k)+a(i,k).c(i,k)←r(i,k)+a(i,k).最后得到的criterion matrix的結(jié)果如下：

以上便是Affinity Propogation算法的計算過程，這是我見過最淺顯易懂的講解了，詳見原文。

代碼示例如下：

首先，導(dǎo)入相關(guān)庫：

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
import seaborn as sns
sns.set()
from sklearn.datasets.samples_generator import make_blobs
from sklearn.cluster import AffinityPropagation

使用scikit-learn生成需要的數(shù)據(jù)集，詳見如下：

X, clusters = make_blobs(n_samples=300, centers=4, cluster_std=0.60, random_state=0)
plt.scatter(X[:,0], X[:,1], alpha=0.7, edgecolors='b') 

訓(xùn)練模型（因為是無監(jiān)督算法，因此不需要拆分訓(xùn)練集和測試集）：

af = AffinityPropagation(preference=-50)
clustering = af.fit(X) 

最后，將不同聚類的點(diǎn)可視化：

plt.scatter(X[:,0], X[:,1], 
c=clustering.labels_, cmap='rainbow', alpha=0.7, 
edgecolors='b') 

算法使用場景：

Affinity Propagation是一個無監(jiān)督的機(jī)器學(xué)習(xí)算法，它尤其適用于那些不知道最佳聚類數(shù)情況的算法。