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參數(shù)估計(jì)之點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)
2020-04-09
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參數(shù)估計(jì)之點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)

作者 | CDA數(shù)據(jù)分析師


參數(shù)估計(jì)（parameter estimation）是根據(jù)從總體中抽取的樣本估計(jì)總體分布中包含的未知參數(shù)的方法。人們常常需要根據(jù)手中的數(shù)據(jù)，分析或推斷數(shù)據(jù)反映的本質(zhì)規(guī)律。即根據(jù)樣本數(shù)據(jù)如何選擇統(tǒng)計(jì)量去推斷總體的分布或數(shù)字特征等。統(tǒng)計(jì)推斷是數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究的核心問(wèn)題。所謂統(tǒng)計(jì)推斷是指根據(jù)樣本對(duì)總體分布或分布的數(shù)字特征等作出合理的推斷。它是統(tǒng)計(jì)推斷的一種基本形式，分為點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)兩部分。


一、點(diǎn)估計(jì)


點(diǎn)估計(jì)是依據(jù)樣本估計(jì)總體分布中所含的未知參數(shù)或未知參數(shù)的函數(shù)。簡(jiǎn)單的來(lái)說(shuō)，指直接以樣本指標(biāo)來(lái)估計(jì)總體指標(biāo)，也叫定值估計(jì)。通常它們是總體的某個(gè)特征值，如數(shù)學(xué)期望、方差和相關(guān)系數(shù)等。點(diǎn)估計(jì)問(wèn)題就是要構(gòu)造一個(gè)只依賴于樣本的量，作為未知參數(shù)或未知參數(shù)的函數(shù)的估計(jì)值。構(gòu)造點(diǎn)估計(jì)常用的方法是：


①矩估計(jì)法，用樣本矩估計(jì)總體矩

②最大似然估計(jì)法。利用樣本分布密度構(gòu)造似然函數(shù)來(lái)求出參數(shù)的最大似然估計(jì)。

③最小二乘法。主要用于線性統(tǒng)計(jì)模型中的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題。

④貝葉斯估計(jì)法。


可以用來(lái)估計(jì)未知參數(shù)的估計(jì)量很多，于是產(chǎn)生了怎樣選擇一個(gè)優(yōu)良估計(jì)量的問(wèn)題。首先必須對(duì)優(yōu)良性定出準(zhǔn)則，這種準(zhǔn)則是不唯一的，可以根據(jù)實(shí)際問(wèn)題和理論研究的方便進(jìn)行選擇。優(yōu)良性準(zhǔn)則有兩大類(lèi)：一類(lèi)是小樣本準(zhǔn)則，即在樣本大小固定時(shí)的優(yōu)良性準(zhǔn)則；另一類(lèi)是大樣本準(zhǔn)則，即在樣本大小趨于無(wú)窮時(shí)的優(yōu)良性準(zhǔn)則。


最重要的小樣本優(yōu)良性準(zhǔn)則是無(wú)偏性及與此相關(guān)的一致最小方差無(wú)偏估計(jì)，其次有容許性準(zhǔn)則，最小化最大準(zhǔn)則，最優(yōu)同變準(zhǔn)則等。大樣本優(yōu)良性準(zhǔn)則有相合性、最優(yōu)漸近正態(tài)估計(jì)和漸近有效估計(jì)等。下面介紹一下最常用的矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法。


1、矩估計(jì)法


矩估計(jì)法, 也稱“矩法估計(jì)”，就是利用樣本矩來(lái)估計(jì)總體中相應(yīng)的參數(shù)。它是由英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家皮爾遜Pearson于1894年提出的，也是最古老的一種估計(jì)法之一。對(duì)于隨機(jī)變量來(lái)說(shuō)，矩是其最廣泛，最常用的數(shù)字特征，主要有中心矩和原點(diǎn)矩。 由辛欽大數(shù)定律知，簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的原點(diǎn)矩依概率收斂到相應(yīng)的總體原點(diǎn)矩，這就啟發(fā)我們想到用樣本矩替換總體矩，進(jìn)而找出未知參數(shù)的估計(jì)，基于這種思想求估計(jì)量的方法稱為矩法。用矩法求得的估計(jì)稱為矩法估計(jì)，簡(jiǎn)稱矩估計(jì)。最簡(jiǎn)單的矩估計(jì)法是用一階樣本原點(diǎn)矩來(lái)估計(jì)總體的期望而用二階樣本中心矩來(lái)估計(jì)總體的方差。


2、最大似然估計(jì)法


此法作為一種重要而普遍的點(diǎn)估計(jì)法，由英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家R.A.費(fèi)希爾在1912年提出。后來(lái)在他1921年和1925年的工作中又加以發(fā)展。設(shè)樣本X=(X1,X2,…,Xn)的分布密度為L(zhǎng)(X，θ)，若固定X而將L視為θ的函數(shù)，則稱為似然函數(shù)，當(dāng)X是簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本時(shí)，它等于?(X1，θ）?(X2，θ）…?(Xn，θ），其中，?(X，θ）是總體分布的密度函數(shù)或概率函數(shù)（見(jiàn)概率分布）。一經(jīng)得到樣本值x，就確定x，然后使用估計(jì)g（θ），這就是g（θ）的最大似然估計(jì)。


二、區(qū)間估計(jì)


通過(guò)從總體中抽取的樣本，根據(jù)一定的正確度與精確度的要求，構(gòu)造出適當(dāng)?shù)膮^(qū)間，以作為總體的分布參數(shù)(或參數(shù)的函數(shù))的真值所在范圍的估計(jì)。用數(shù)軸上的一段經(jīng)歷或一個(gè)數(shù)據(jù)區(qū)間，表示總體參數(shù)的可能范圍。這一段距離或數(shù)據(jù)區(qū)間稱為區(qū)間估計(jì)的置信區(qū)間。下面分別介紹一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)和兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)。


1、一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)


參數(shù)估計(jì)之點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)


總體均值適用的統(tǒng)計(jì)量及其置信區(qū)間：


參數(shù)估計(jì)之點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)


總體比例適用的統(tǒng)計(jì)量及其置信區(qū)間：


參數(shù)估計(jì)之點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)


2、兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)


參數(shù)估計(jì)之點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)

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