機(jī)器學(xué)習(xí)中的損失函數(shù) （著重比較：hinge loss vs softmax loss）

1. 損失函數(shù)

損失函數(shù)（Loss function）是用來(lái)估量你模型的預(yù)測(cè)值f(x)

與真實(shí)值Y的不一致程度，它是一個(gè)非負(fù)實(shí)值函數(shù)，通常用L(Y,f(x))

來(lái)表示。損失函數(shù)越小，模型的魯棒性就越好。損失函數(shù)是經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)的核心部分，也是結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)的重要組成部分。模型的風(fēng)險(xiǎn)結(jié)構(gòu)包括了風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)和正則項(xiàng)，通常如下所示：

其中，前面的均值函數(shù)表示的是經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)，L代表的是損失函數(shù)，后面的Φ是正則化項(xiàng)（regularizer）或者叫懲罰項(xiàng)（penalty term），它可以是L1，也可以是L2，或者其他的正則函數(shù)。整個(gè)式子表示的意思是找到使目標(biāo)函數(shù)最小時(shí)的θ值。

2. 常用損失函數(shù)

常見(jiàn)的損失誤差有五種：
1.鉸鏈損失（Hinge Loss）：主要用于支持向量機(jī)（SVM） 中；
2.互熵?fù)p失 （Cross Entropy Loss，Softmax Loss ）：用于Logistic 回歸與Softmax 分類(lèi)中；
3.平方損失（Square Loss）：主要是最小二乘法（OLS）中；
4.指數(shù)損失（Exponential Loss）：主要用于Adaboost 集成學(xué)習(xí)算法中；
5.其他損失（如0-1損失，絕對(duì)值損失）

2.1 Hinge loss

Hinge loss 的叫法來(lái)源于其損失函數(shù)的圖形，為一個(gè)折線，通用的函數(shù)表達(dá)式為：

表示如果被正確分類(lèi)，損失是0，否則損失就是1?mi(w)。

在機(jī)器學(xué)習(xí)中，Hing 可以用來(lái)解間距最大化的問(wèn)題，最有代表性的就是SVM 問(wèn)題，最初的SVM 優(yōu)化函數(shù)如下：

將約束項(xiàng)進(jìn)行變形，則為：

則損失函數(shù)可以進(jìn)一步寫(xiě)為：

因此，SVM 的損失函數(shù)可以看作是 L2-norm 和 Hinge loss 之和。

2.2 Softmax Loss

有些人可能覺(jué)得邏輯回歸的損失函數(shù)就是平方損失，其實(shí)并不是。平方損失函數(shù)可以通過(guò)線性回歸在假設(shè)樣本是高斯分布的條件下推導(dǎo)得到，而邏輯回歸得到的并不是平方損失。在邏輯回歸的推導(dǎo)中，它假設(shè)樣本服從伯努利分布（0-1分布），然后求得滿足該分布的似然函數(shù)，接著取對(duì)數(shù)求極值等等。而邏輯回歸并沒(méi)有求似然函數(shù)的極值，而是把極大化當(dāng)做是一種思想，進(jìn)而推導(dǎo)出它的經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)為：最小化負(fù)的似然函數(shù)（即maxF(y,f(x))→min?F(y,f(x)))

。從損失函數(shù)的視角來(lái)看，它就成了Softmax 損失函數(shù)了。

log損失函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式：

剛剛說(shuō)到，取對(duì)數(shù)是為了方便計(jì)算極大似然估計(jì)，因?yàn)樵贛LE中，直接求導(dǎo)比較困難，所以通常都是先取對(duì)數(shù)再求導(dǎo)找極值點(diǎn)。損失函數(shù)L(Y,P(Y|X))表達(dá)的是樣本X在分類(lèi)Y的情況下，使概率P(Y|X)達(dá)到最大值（換言之，就是利用已知的樣本分布，找到最有可能（即最大概率）導(dǎo)致這種分布的參數(shù)值；或者說(shuō)什么樣的參數(shù)才能使我們觀測(cè)到目前這組數(shù)據(jù)的概率最大）。因?yàn)閘og函數(shù)是單調(diào)遞增的，所以logP(Y|X)也會(huì)達(dá)到最大值，因此在前面加上負(fù)號(hào)之后，最大化P(Y|X)就等價(jià)于最小化L了。

邏輯回歸的P(Y=y|x)

表達(dá)式如下（為了將類(lèi)別標(biāo)簽y統(tǒng)一為1和0

）：

其中

最小二乘法是線性回歸的一種，OLS將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了一個(gè)凸優(yōu)化問(wèn)題。在線性回歸中，它假設(shè)樣本和噪聲都服從高斯分布（中心極限定理），最后通過(guò)極大似然估計(jì)（MLE）可以推導(dǎo)出最小二乘式子。最小二乘的基本原則是：最優(yōu)擬合直線應(yīng)該是使各點(diǎn)到回歸直線的距離和最小的直線，即平方和最小。

平方損失（Square loss）的標(biāo)準(zhǔn)形式如下：

當(dāng)樣本個(gè)數(shù)為n

時(shí)，此時(shí)的損失函數(shù)為：

Y?f(X)表示殘差，整個(gè)式子表示的是殘差平方和，我們的目標(biāo)就是最小化這個(gè)目標(biāo)函數(shù)值，即最小化殘差的平方和。

在實(shí)際應(yīng)用中，我們使用均方差（MSE）作為一項(xiàng)衡量指標(biāo)，公式如下：

損失函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式是：

exp-loss，主要應(yīng)用于 Boosting 算法中，在Adaboost 算法中，經(jīng)過(guò)m次迭代后，可以得到fm(x)：

Adaboost 每次迭代時(shí)的目的都是找到最小化下列式子的參數(shù)α和G：

易知，Adabooost 的目標(biāo)式子就是指數(shù)損失，在給定n個(gè)樣本的情況下，Adaboost 的損失函數(shù)為：

關(guān)于Adaboost的詳細(xì)推導(dǎo)介紹，可以參考Wikipedia：AdaBoost或者李航《統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)方法》P145。

2.5 其他損失

0-1 損失函數(shù)

絕對(duì)值損失函數(shù)

上述幾種損失函數(shù)比較的可視化圖像如下：

3. Hinge loss 與 Softmax loss

SVM和Softmax分類(lèi)器是最常用的兩個(gè)分類(lèi)器。

1. SVM將輸出f(xi,W)

1. 作為每個(gè)分類(lèi)的評(píng)分(沒(méi)有規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn),難以直接解釋)；
2. 與SVM 不同，Softmax 分類(lèi)器可以理解為邏輯回歸分類(lèi)器面對(duì)多個(gè)分類(lèi)的一般話歸納，其輸出(歸一化的分類(lèi)概率)更加直觀,且可以從概率上解釋。

在Softmax分類(lèi)器中, 函數(shù)映射f(xi,W)

保持不變,但將這些評(píng)分值看做每個(gè)分類(lèi)未歸一化的對(duì)數(shù)概率,且將折葉損失替換為交叉熵?fù)p失(cross-entropy loss),公式如下:

或等價(jià)的

表示分類(lèi)評(píng)分向量f中的第i

個(gè)元素,和SVM一樣,整個(gè)數(shù)據(jù)集的損失值是數(shù)據(jù)集中所有樣本數(shù)據(jù)的損失值Li的均值和正則化損失之和。

概率論解釋:

解釋為給定數(shù)據(jù)xi

，W參數(shù),分配給正確分類(lèi)標(biāo)簽yi

的歸一化概率。

實(shí)際操作注意事項(xiàng)——數(shù)值穩(wěn)定: 編程實(shí)現(xiàn)softmax函數(shù)計(jì)算的時(shí)候,中間項(xiàng)efyi

和∑jefj因?yàn)榇嬖谥笖?shù)函數(shù),所以數(shù)值可能非常大,除以大數(shù)值可能導(dǎo)致數(shù)值計(jì)算的不穩(wěn)定,所以得學(xué)會(huì)歸一化技巧.若在公式的分子和分母同時(shí)乘以一個(gè)常數(shù)C

，并把它變換到求和之中,就能得到一個(gè)等價(jià)公式:

C的值可自由選擇,不會(huì)影響計(jì)算結(jié)果,通過(guò)這個(gè)技巧可以提高計(jì)算中的數(shù)值穩(wěn)定性.通常將C設(shè)為:

該技巧就是將向量f中的數(shù)值進(jìn)行平移,使得最大值為0。

準(zhǔn)確地說(shuō)，SVM分類(lèi)器使用的是鉸鏈損失（hinge loss），有時(shí)候又被稱(chēng)為最大邊界損失（max-margin loss）。Softmax分類(lèi)器使用的是交叉熵?fù)p失（corss-entropy loss）。Softmax分類(lèi)器的命名是從softmax函數(shù)那里得來(lái)的，softmax函數(shù)將原始分類(lèi)評(píng)分變成正的歸一化數(shù)值，所有數(shù)值和為1，這樣處理后交叉熵?fù)p失才能應(yīng)用。

Example：圖像識(shí)別

針對(duì)給出的圖像，SVM分類(lèi)器可能給你的是一個(gè)[?2.85,0.86,0.28]

對(duì)應(yīng)分類(lèi)“貓”，“狗”，“船”，而softmax分類(lèi)器可以計(jì)算出這三個(gè)標(biāo)簽的”可能性“是[0.,0160.631,0.353]

，這就讓你能看出對(duì)于不同分類(lèi)準(zhǔn)確性的把握。

這里Hinge Loss計(jì)算公式為：

這里Δ是一個(gè)閾值，表示即使誤分類(lèi)，但是沒(méi)有達(dá)到閾值，也不存在損失 。上面的公式把錯(cuò)誤類(lèi)別(j≠yi)都遍歷一遍，求值加和。

設(shè)xi

的正確類(lèi)別是”船”，閾值Δ=1

，則對(duì)應(yīng)的Hinge loss 為：

下圖是對(duì)Δ的理解，藍(lán)色表示正確的類(lèi)別，Δ表示一個(gè)安全范圍，就算是有其他的得分，只要沒(méi)有到達(dá)紅色的Δ范圍內(nèi),，對(duì)損失函數(shù)都沒(méi)有影響。這就保證了SVM 算法的解的稀疏性。

而Softmax 損失則是對(duì)向量fyi

指數(shù)正規(guī)化得到概率，再求對(duì)數(shù)即可。

機(jī)器學(xué)習(xí)作為一種優(yōu)化方法，學(xué)習(xí)目標(biāo)就是找到優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)——損失函數(shù)和正則項(xiàng)的組合；有了目標(biāo)函數(shù)的“正確的打開(kāi)方式”，才能通過(guò)合適的機(jī)器學(xué)習(xí)算法求解優(yōu)化。

不同機(jī)器學(xué)習(xí)方法的損失函數(shù)有差異，合理理解各種損失優(yōu)化函數(shù)的的特點(diǎn)更有利于我們對(duì)相關(guān)算法的理解。