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如何衡量多元線性回歸模型優(yōu)劣
2018-05-30
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如何衡量多元線性回歸模型優(yōu)劣

最近再做一些多元回歸分析方面的分析，但對(duì)于得出的回歸模型的好壞不知道如何才判斷，于是查找了一下相關(guān)的教材書(shū)籍，找到了張文彤老師寫(xiě)的《SPSS統(tǒng)計(jì)分析高級(jí)教程》這本書(shū)，里面對(duì)于回歸模型的優(yōu)劣評(píng)價(jià)給出來(lái)了幾點(diǎn)看法，我在此做了摘錄分享一下。

當(dāng)供建立回歸模型的自變量有p 個(gè)時(shí)，僅考慮各因素的主效應(yīng)，可以建立2^P 個(gè)模型(包括僅含常數(shù)項(xiàng)的模型)。如果來(lái)衡量這些模型的好壞?常用有以下幾種標(biāo)準(zhǔn):

1.復(fù)相關(guān)系數(shù)R

復(fù)相關(guān)系數(shù)(Multiple Correlation Coefficient) 又稱多元相關(guān)系數(shù)，表示模型中所有自變量xi間與反應(yīng)變量y之間線性回歸關(guān)系的密切程度大小。實(shí)際上它是Yi 與其估計(jì)值的簡(jiǎn)單線性相關(guān)系數(shù)，即Pearson 相關(guān)系數(shù)。但其取值范圍為(0 ，1)，沒(méi)有負(fù)值。R 值越大，說(shuō)明線性回歸關(guān)系越密切。但R值直大至多少才算足夠好?不同學(xué)科的研究其判斷標(biāo)準(zhǔn)也不一樣。如社會(huì)科學(xué)研究學(xué)者可能認(rèn)為R >0.4 己經(jīng)足夠好了(想想對(duì)股價(jià)的預(yù)測(cè)吧) ，而醫(yī)學(xué)研究學(xué)者認(rèn)為R =0.8 仍嫌偏小，這可能是因?yàn)樯鐣?huì)科學(xué)研究中存在較多的對(duì)反應(yīng)變量確有影響卻無(wú)法進(jìn)行測(cè)量的變量，當(dāng)然也就無(wú)法對(duì)其進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。此外，用復(fù)相關(guān)系數(shù)評(píng)價(jià)多元線性回歸模型優(yōu)劣時(shí)存在不足，即使向模型中增加的變量沒(méi)有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義， R 值仍會(huì)增大。

2. 決定系數(shù)R2

模型的決定系數(shù)(Determinate Coefficient) 等于復(fù)相關(guān)系數(shù)的平方。與簡(jiǎn)單線性回歸中的決定系數(shù)相類似，它表示反應(yīng)變量y 的總變異中可由回歸模型中自變量解釋的部分所占的比例，是衡量所建立模型效果好壞的指標(biāo)之一。顯然， R2 越大越好，但是也存在與復(fù)相關(guān)系數(shù)一樣的不足。決定系數(shù)的計(jì)算公式如下：

3. 校正的決定系數(shù)R_adj^2
由于用R2評(píng)價(jià)擬合模型的好壞具有一定的局限性，即使向模型中增加的變量沒(méi)有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義， R2值仍會(huì)增大。因此需對(duì)其進(jìn)行校正，從而形成了校正的決定系數(shù)(Adjusted R Square) 。 校正的決定系數(shù)總小于決定系數(shù)。校正的決定系數(shù)公式如下：

與R2不同的是，當(dāng)模型中增加的變量沒(méi)有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義時(shí)，校正決定系數(shù)會(huì)減小，因此校正R2 是衡量所建模型好壞的重要指標(biāo)之一，校正R2 越大，模型擬合得越好。但當(dāng)p/n 很小時(shí)，如小于0.05 時(shí)，校正作用趨于消失。

實(shí)際應(yīng)用中，R2、R_adj^2值的大小還與研究中實(shí)際觀測(cè)到的自變量取值范圍有關(guān)，一種可能的情況是，某個(gè)實(shí)際觀測(cè)的自變量取值范圍很窄，但此時(shí)所建模型的R2 很大，但這并不代表模型在外推應(yīng)用時(shí)的效果肯定會(huì)很好。此外，有時(shí)雖然校正決定系數(shù)(或決定系數(shù))很大，但誤差均方仍很大，這會(huì)導(dǎo)致估計(jì)的?可信區(qū)間很寬，從而失去實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

4. 剩余標(biāo)準(zhǔn)差

剩余標(biāo)準(zhǔn)差(Std. Error Of The Estimate) ，等于誤差均方MSE 的算術(shù)平方根，就是殘差之標(biāo)準(zhǔn)差，其大小反應(yīng)了用建立的模型預(yù)測(cè)因變量時(shí)的精度。剩余標(biāo)準(zhǔn)差越小，說(shuō)明建立的模型效果越好。與校正決定系數(shù)相類似地，當(dāng)模型中增加無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義的自變量時(shí)，剩余標(biāo)準(zhǔn)差反而會(huì)增大。此外，剩余標(biāo)準(zhǔn)差還在因變量估值的可信區(qū)間估計(jì)、自變量的選擇等很多方面有著重要作用。

上面介紹的4項(xiàng)可以在SPSS軟件上直接輸出，除此之外還有一些常用的衡量多元回歸模型優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)在這里點(diǎn)一下，有興趣的讀者可參考相關(guān)參考書(shū)。

5、赤池信息準(zhǔn)則

赤池信息準(zhǔn)則也被稱為AIC 準(zhǔn)則(Akaike’s Information Criterion) ，由日本學(xué)者赤池于1973年提出，除應(yīng)用于一般線性模型、廣義線性模型的變量篩選外，還被應(yīng)用于時(shí)間序列分析中自回歸階數(shù)的確定。AIC 由兩部分組成，一部分反映模型的擬合精度，一部分反映了模型中參數(shù)的個(gè)數(shù)，即模型的繁簡(jiǎn)程度。其計(jì)算公式為:

n 為樣本含量，與前面走義不同的是，這里的p 為模型中參數(shù)個(gè)數(shù)(包括常數(shù)項(xiàng)) ，L 為模型的最大似然函數(shù)。一昧地增加模型中自變量的個(gè)數(shù)雖然能使前半部分減小，而后一部分卻不斷增大，當(dāng)模型中納入無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義的自變量時(shí)，前半部分減小的幅度小于后一部分增大的幅度，虧本的生意當(dāng)然沒(méi)人去做。AIC 值越小，說(shuō)明擬合的模型既精度高又簡(jiǎn)潔。

應(yīng)用不同的方法擬合的回歸模型其AIC 值是不一樣的，因此，在應(yīng)用AIC 準(zhǔn)則對(duì)不同的模型進(jìn)行比較時(shí)，不同擬合方法得到的模型不能進(jìn)行比較，AIC 準(zhǔn)則只能用于比較同一種方法擬合得到的回歸模型。

6、C_p 統(tǒng)計(jì)量

Cp 統(tǒng)計(jì)量由C. L. Mallows 于1964 年提出。

MSE_p 指模型中含有p 個(gè)參數(shù)(包括常數(shù)項(xiàng))時(shí)的誤差均方， MSE_p 為所有自變量均引入模型時(shí)的誤差均方。用Cp 統(tǒng)計(jì)量選擇模型的標(biāo)準(zhǔn)是選擇Cp 最接近p 的那個(gè)模型。

7、其他標(biāo)準(zhǔn)

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