矩陣分解在協(xié)同過(guò)濾推薦算法中的應(yīng)用

推薦系統(tǒng)是當(dāng)下越來(lái)越熱的一個(gè)研究問(wèn)題，無(wú)論在學(xué)術(shù)界還是在工業(yè)界都有很多優(yōu)秀的人才參與其中。近幾年舉辦的推薦系統(tǒng)比賽更是一次又一次地把推薦系統(tǒng)的研究推向了高潮，比如幾年前的Neflix百萬(wàn)大獎(jiǎng)賽，KDD CUP 2011的音樂(lè)推薦比賽，去年的百度電影推薦競(jìng)賽，還有最近的阿里巴巴大數(shù)據(jù)競(jìng)賽。這些比賽對(duì)推薦系統(tǒng)的發(fā)展都起到了很大的推動(dòng)作用，使我們有機(jī)會(huì)接觸到真實(shí)的工業(yè)界數(shù)據(jù)。我們利用這些數(shù)據(jù)可以更好地學(xué)習(xí)掌握推薦系統(tǒng)，這些數(shù)據(jù)網(wǎng)上很多，大家可以到網(wǎng)上下載。

推薦系統(tǒng)在工業(yè)領(lǐng)域中取得了巨大的成功，尤其是在電子商務(wù)中。很多電子商務(wù)網(wǎng)站利用推薦系統(tǒng)來(lái)提高銷售收入，推薦系統(tǒng)為Amazon網(wǎng)站每年帶來(lái)30%的銷售收入。推薦系統(tǒng)在不同網(wǎng)站上應(yīng)用的方式不同，這個(gè)不是本文的重點(diǎn)，如果感興趣可以閱讀《推薦系統(tǒng)實(shí)踐》（人民郵電出版社，項(xiàng)亮）第一章內(nèi)容。下面進(jìn)入主題。

       為了方便介紹，假設(shè)推薦系統(tǒng)中有用戶集合有6個(gè)用戶，即U={u1,u2,u3,u4,u5,u6}，項(xiàng)目（物品）集合有7個(gè)項(xiàng)目，即V={v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7}，用戶對(duì)項(xiàng)目的評(píng)分結(jié)合為R，用戶對(duì)項(xiàng)目的評(píng)分范圍是[0, 5]。R具體表示如下：

推薦系統(tǒng)的目標(biāo)就是預(yù)測(cè)出符號(hào)“？”對(duì)應(yīng)位置的分值。推薦系統(tǒng)基于這樣一個(gè)假設(shè)：用戶對(duì)項(xiàng)目的打分越高，表明用戶越喜歡。因此，預(yù)測(cè)出用戶對(duì)未評(píng)分項(xiàng)目的評(píng)分后，根據(jù)分值大小排序，把分值高的項(xiàng)目推薦給用戶。怎么預(yù)測(cè)這些評(píng)分呢，方法大體上可以分為基于內(nèi)容的推薦、協(xié)同過(guò)濾推薦和混合推薦三類，協(xié)同過(guò)濾算法進(jìn)一步劃分又可分為基于基于內(nèi)存的推薦（memory-based）和基于模型的推薦（model-based），本文介紹的矩陣分解算法屬于基于模型的推薦。

矩陣分解算法的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)是矩陣的行列變換。在《線性代數(shù)》中，我們知道矩陣A進(jìn)行行變換相當(dāng)于A左乘一個(gè)矩陣，矩陣A進(jìn)行列變換等價(jià)于矩陣A右乘一個(gè)矩陣，因此矩陣A可以表示為A=PEQ=PQ（E是標(biāo)準(zhǔn)陣）。

       矩陣分解目標(biāo)就是把用戶-項(xiàng)目評(píng)分矩陣R分解成用戶因子矩陣和項(xiàng)目因子矩陣乘的形式，即R=UV，這里R是n×m， n =6， m =7，U是n×k，V是k×m。直觀地表示如下：

高維的用戶-項(xiàng)目評(píng)分矩陣分解成為兩個(gè)低維的用戶因子矩陣和項(xiàng)目因子矩陣，因此矩陣分解和PCA不同，不是為了降維。用戶i對(duì)項(xiàng)目j的評(píng)分r_ij =innerproduct(u_i, v_j)，更一般的情況是r_ij =f(U_i, V_j)，這里為了介紹方便就是用u_i和v_j內(nèi)積的形式。下面介紹評(píng)估低維矩陣乘積擬合評(píng)分矩陣的方法。

首先假設(shè)，用戶對(duì)項(xiàng)目的真實(shí)評(píng)分和預(yù)測(cè)評(píng)分之間的差服從高斯分布，基于這一假設(shè)，可推導(dǎo)出目標(biāo)函數(shù)如下：

最后得到矩陣分解的目標(biāo)函數(shù)如下：

從最終得到得目標(biāo)函數(shù)可以直觀地理解，預(yù)測(cè)的分值就是盡量逼近真實(shí)的已知評(píng)分值。有了目標(biāo)函數(shù)之后，下面就開始談優(yōu)化方法了，通常的優(yōu)化方法分為兩種：交叉最小二乘法（alternative least squares）和隨機(jī)梯度下降法（stochastic gradient descent）。

首先介紹交叉最小二乘法，之所以交叉最小二乘法能夠應(yīng)用到這個(gè)目標(biāo)函數(shù)主要是因?yàn)長(zhǎng)對(duì)U和V都是凸函數(shù)。首先分別對(duì)用戶因子向量和項(xiàng)目因子向量求偏導(dǎo)，令偏導(dǎo)等于0求駐點(diǎn)，具體解法如下：

上面就是用戶因子向量和項(xiàng)目因子向量的更新公式，迭代更新公式即可找到可接受的局部最優(yōu)解。迭代終止的條件下面會(huì)講到。

接下來(lái)講解隨機(jī)梯度下降法，這個(gè)方法應(yīng)用的最多。大致思想是讓變量沿著目標(biāo)函數(shù)負(fù)梯度的方向移動(dòng)，直到移動(dòng)到極小值點(diǎn)。直觀的表示如下：

其實(shí)負(fù)梯度的負(fù)方向，當(dāng)函數(shù)是凸函數(shù)時(shí)是函數(shù)值減小的方向走；當(dāng)函數(shù)是凹函數(shù)時(shí)是往函數(shù)值增大的方向移動(dòng)。而矩陣分解的目標(biāo)函數(shù)L是凸函數(shù)，因此，通過(guò)梯度下降法我們能夠得到目標(biāo)函數(shù)L的極小值（理想情況是最小值）。

     言歸正傳，通過(guò)上面的講解，我們可以獲取梯度下降算法的因子矩陣更新公式，具體如下：

（3）和（4）中的γ指的是步長(zhǎng)，也即是學(xué)習(xí)速率，它是一個(gè)超參數(shù)，需要調(diào)參確定。對(duì)于梯度見（1）和（2）。

下面說(shuō)下迭代終止的條件。迭代終止的條件有很多種，就目前我了解的主要有

1）    設(shè)置一個(gè)閾值，當(dāng)L函數(shù)值小于閾值時(shí)就停止迭代，不常用

2）    設(shè)置一個(gè)閾值，當(dāng)前后兩次函數(shù)值變化絕對(duì)值小于閾值時(shí)，停止迭代

3）    設(shè)置固定迭代次數(shù)

另外還有一個(gè)問(wèn)題，當(dāng)用戶-項(xiàng)目評(píng)分矩陣R非常稀疏時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)過(guò)擬合（overfitting）的問(wèn)題，過(guò)擬合問(wèn)題的解決方法就是正則化（regularization）。正則化其實(shí)就是在目標(biāo)函數(shù)中加上用戶因子向量和項(xiàng)目因子向量的二范數(shù)，當(dāng)然也可以加上一范數(shù)。至于加上一范數(shù)還是二范數(shù)要看具體情況，一范數(shù)會(huì)使很多因子為0，從而減小模型大小，而二范數(shù)則不會(huì)它只能使因子接近于0，而不能使其為0，關(guān)于這個(gè)的介紹可參考論文Regression Shrinkage and Selection via the Lasso。引入正則化項(xiàng)后目標(biāo)函數(shù)變?yōu)椋?

（5）中λ_1和λ_2是指正則項(xiàng)的權(quán)重，這兩個(gè)值可以取一樣，具體取值也需要根據(jù)數(shù)據(jù)集調(diào)參得到。優(yōu)化方法和前面一樣，只是梯度公式需要更新一下。

矩陣分解算法目前在推薦系統(tǒng)中應(yīng)用非常廣泛，對(duì)于使用RMSE作為評(píng)價(jià)指標(biāo)的系統(tǒng)尤為明顯，因?yàn)榫仃嚪纸獾哪繕?biāo)就是使RMSE取值最小。但矩陣分解有其弱點(diǎn)，就是解釋性差，不能很好為推薦結(jié)果做出解釋。

后面會(huì)繼續(xù)介紹矩陣分解算法的擴(kuò)展性問(wèn)題，就是如何加入隱反饋信息，加入時(shí)間信息等。