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機(jī)器學(xué)習(xí)故事匯-線性回歸算法
2018-03-23
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機(jī)器學(xué)習(xí)故事匯-線性回歸算法

今天咱們要來嘮的是機(jī)器學(xué)習(xí)中最基本也是最重要的算法之一線性回歸，正當(dāng)此時迪哥正在前往銀行的路上，準(zhǔn)備辦理貸款（低保），到了之后銀行問了我兩件事，年齡和工資都多少呀？（特征）當(dāng)?shù)玫搅私Y(jié)果后告訴我我們只能貸給你100塊，別問為什么！機(jī)器算的?。C(jī)器你拿毛線算的100快？）

這個圖就是機(jī)器如何進(jìn)行預(yù)測的（回歸）它會根據(jù)一票子兄弟貸款的歷史數(shù)據(jù)（年齡和工資分別對應(yīng)于X1與X2）找出來最好的擬合線（面）來進(jìn)行預(yù)測，這樣你的數(shù)據(jù)來了之后直接帶入進(jìn)去就可以得出來該給你多少錢了。

我們用兩個參數(shù)來分別對應(yīng)于工資和年齡，控制它們對結(jié)果的影響大小，這里做了一個整合是把偏置項(xiàng)和權(quán)重參數(shù)項(xiàng)放到了一起（加了個X0讓其都等于1）

要想讓銀行能開的下去，那就得少遇到點(diǎn)麻煩，迪哥這么大碗就給我100塊（真實(shí)的指標(biāo)應(yīng)該為200塊）肯定是要砸場子的，所以我們的目標(biāo)是要讓得到的預(yù)測值跟真實(shí)值越接近越好。

既然說到誤差了，咱們就來好好嘮一下，首先銀行的目標(biāo)得讓誤差越小越好，這樣才能夠使得我們的結(jié)果是越準(zhǔn)確的。那么這個誤差有什么規(guī)律可循嗎？

咱們先來說說這個誤差為啥會服從高斯分布呢，這個事就得從我們是怎么認(rèn)為一個事發(fā)生的概率來說了，正常情況下你去銀行貸款差不多都是一個符合你的數(shù)字吧，極小的情況下能出現(xiàn)類似迪哥的情況（100塊都不給我），還是極小的情況下能像對待馬云似的給你幾個億吧，所以銀行給你貸款的誤差項(xiàng)理論上都是在較小范圍內(nèi)浮動的，要么多了一點(diǎn)，要么少了一點(diǎn)。所以我們認(rèn)為該誤差是可以服從高斯分布的（正太分布）。

那為啥會獨(dú)立呢？獨(dú)立的意思就是說迪哥來貸款了，恰好馬云也來了，但是我倆不認(rèn)識啊（其實(shí)他認(rèn)識我，我不認(rèn)識他），所以我倆在貸款的時候不會因?yàn)轳R云而對我產(chǎn)生什么影響，也不會因?yàn)槲覍︸R云產(chǎn)生什么影響，這就是獨(dú)立！

同分布又是啥呢？我和馬云來的是一家銀行吧，這家銀行的系統(tǒng)只有一個，所以它在預(yù)測的時候是按照同樣的方式來的，這就是我們的數(shù)據(jù)是在同一個分布下去建模的。

既然誤差服從了高斯分布我們就把它進(jìn)行展開，上式的意思就是我去貸款，在它這兩組參數(shù)的控制下得到的貸款金額恰好是等于真實(shí)情況下就該給我這么多錢的概率。（預(yù)測值和真實(shí)值對應(yīng)的可能性大?。┠敲次覀儺?dāng)然希望這個概率越大越好呀，越大代表越準(zhǔn)確呀。

（怎么又來了一堆數(shù)學(xué)。。。沒人數(shù)學(xué)就不是機(jī)器學(xué)習(xí)啦）咱們繼續(xù)來看，咋又突然出來了個似然函數(shù)呀，咱們先來說一說它是個什么東西。比如說你今天去賭場了，然后你不知道能不能贏錢，你就在門口蹲著，出來一個人你就問一下，哥們贏錢了嗎（然后挨了一頓揍），連續(xù)出來5個人都告訴你贏錢了，那么你就會認(rèn)為我去賭錢也肯定會贏錢。這個的意思就是要利用樣本數(shù)據(jù)去估計(jì)你的參數(shù)應(yīng)該是什么，使得估計(jì)出來的參數(shù)盡可能的滿足（擬合）你的樣本。

對數(shù)似然它的意思和目標(biāo)很簡單，就是為了簡單求解，所以把比較復(fù)雜的乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)換成了比較簡單的加法運(yùn)算。


一頓化簡，其實(shí)就是把原式給展開了，然后我們的目標(biāo)是要求最大值吧（什么樣的參數(shù)能夠使得跟我數(shù)據(jù)組合完之后是真實(shí)值的概率越大越好），對于化簡后的結(jié)果左邊是一個常數(shù)不用去管，右邊是一個恒正的（因?yàn)橛衅椒巾?xiàng)）但是前面還有一個負(fù)號呀，讓這樣的數(shù)什么時候能取最大值呀？只有負(fù)號后面的取最小值才可以呀！

到這里我們終于推導(dǎo)出來了，銀行只需要做一件事就可以了，那就是最小化這個函數(shù)（目標(biāo)函數(shù)），其實(shí)說白了就是要讓我們的預(yù)測值和真實(shí)值之間的差異越小越好，這就是最小二乘法！

接下來就是如何求解呢？通常我們?nèi)デ笃珜?dǎo)就可以了，因?yàn)闃O值點(diǎn)通常都是在偏導(dǎo)處取得，對我們的目標(biāo)函數(shù)求偏導(dǎo)，并且讓其等于0，這樣我們就能找到最終參數(shù)的解應(yīng)該是什么了！到這里小伙伴們可能感覺到竟然真能求出這個解，那這個解不就是我們想要的參數(shù)嘛，得到了它銀行就有救啦！

至此我們通過了一系列的推導(dǎo)得出了線性回歸的最終解法，但是這個解可以說是數(shù)學(xué)上的一個巧合，并不是所有問題都可以直接求解的，下回咱們再談?wù)勅绾伍g接的求最優(yōu)解~

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