R語言中的概率論和數(shù)理統(tǒng)計

一、隨機變量

（一）、什么是隨機變量？

1.定義

隨機變量（random variable）表示隨機現(xiàn)象各種結(jié)果的實值函數(shù)。隨機變量是定義在樣本空間S上，取值在實數(shù)域上的函數(shù)，由于它的自變量是隨機試驗的結(jié)果，而隨機實驗結(jié)果的出現(xiàn)具有隨機性，因此，隨機變量的取值具有一定的隨機性。

2.R程序：生成一個在(0,1,2,3,4,5)的隨機變量

> S<-1:5
> sample(S,1)
[1] 2
> sample(S,1)
[1] 3
> sample(S,4)
[1] 3 5 4 1

#sample(x=x,size=5,replace=T)，其中size指定抽樣的次數(shù)，“replace”就是重復(fù)的意思。即可以重復(fù)對元素進行抽樣，也就是所謂的有放回抽樣。

（二）、離散型隨機變量

1.定義

如果隨機變量X的全部可能的取值只有有限多個或可列無窮多個，則稱X為離散型隨機變量。

2.R程序：生成樣本空間為(1,2,3)的隨機變量X，X的取值是有限的

> S<-1:3
> X<-sample(S,1);X
[1] 2

（三）、連續(xù)型隨機變量

1.定義

隨機變量X，取值可以在某個區(qū)間內(nèi)取任一實數(shù)，即變量的取值可以是連續(xù)的，這隨機變量就稱為連續(xù)型隨機變量

2.定義R程序：生成樣本在空間(0,1)的連續(xù)隨機函數(shù)，取10個值

> runif(10,0,1)
 [1] 0.3819569 0.7609549 0.6692581 0.6314708 0.5552201 0.8225527 0.7633086 0.4667188 0.1883553
[10] 0.> runif(10,0,1)
 [1] 0.3819569 0.7609549 0.6692581 0.6314708 0.5552201 0.8225527 0.7633086 0.4667188 0.1883553
[10] 0.3741653

#1.runif(n,min=0,max=1)函數(shù)的規(guī)則：
n表示生成的隨機數(shù)數(shù)量，min表示均勻分布的下限，max表示均勻分布的上限；若省略參數(shù)min、max,則默認生成[0,1]上的均勻分布隨機數(shù)。

（一）、數(shù)學(xué)期望(mathematical expectation)

1.離散型隨機變量：一切可能的取值xi與對應(yīng)的概率Pi(=xi)之積的和稱為該離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望，記為E(x)。數(shù)學(xué)期望是最基本的數(shù)學(xué)特征之一。它反映隨機變量平均取值的大小。

R程序：計算樣本(1,2,3,7,21)的數(shù)學(xué)期望

> S<-c(1,2,3,7,21)
> mean(S)
[1] 6.8

2.連續(xù)型隨機變量：若隨機變量X的分布函數(shù)F(x)可表示成一個非負可積函數(shù)f(x)的積分，則稱X為連續(xù)性隨機變量，f(x)稱為X的概率密度函數(shù)，積分值為X的數(shù)學(xué)期望，記為E(X)。

（二）、方差(Variance)

方差是各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方的平均數(shù)。在概率論和數(shù)理統(tǒng)計中，方差用來度量隨機變量和其數(shù)學(xué)期望（即均值）之間的偏離程度。

設(shè)X為隨機變量，如果E{[X-E(X)]^2}存在，則稱E{[X-E(X)]^2}為X的方差，記為Var(X)。

R程序：計算樣本(1,2,3,7,21)的方差

> S<-c(1,2,3,7,21)
> var(S)
[1] 68.2

（三）、標準差(Standard Deviation)

標準差是方差的算術(shù)平方根sqrt(var(X))。標準差能反映一個數(shù)據(jù)集的離散程度。平均數(shù)相同的，標準差未必相同。

R程序：計算樣本(1,2,3,7,21)標準差

> S<-c(1,2,3,7,21)
> sd(S)
[1] 8.258329

（四）、各種分布的期望和方差

離散型分布：兩點分布，二項分布，泊松分布等
連續(xù)型分布：均勻分布，指數(shù)分布，正態(tài)分布，伽馬分布等

對于某一特定場景，其所符合的分布規(guī)律一般先驗給出

（五）、常用統(tǒng)計量

1.眾數(shù)(Mode):

一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值，叫眾數(shù)，有時眾數(shù)在一組數(shù)中有好幾個。

R程序：計算樣本(1,2,3,3,3,7,7,7,7,9,10,21)的眾數(shù)

> S<-c(1,2,3,3,3,7,7,7,7,9,10,21)
> names(which.max(table(S)))
[1] "7"

#table()的輸出可以看成是一個帶名字的數(shù)字向量。可以用names()和as.numeric()分別得到名稱和頻數(shù)

> x <- sample(c("a", "b", "c"), 100, replace=TRUE)
> names(table(x))
[1] "a" "b" "c"
> as.numeric(table(x))
[1] 42 25 33

也可以直接把輸出結(jié)果轉(zhuǎn)化為數(shù)據(jù)框，as.data.frame()：
> as.data.frame(table(x))
  x Freq
1 a   42
2 b   25
3 c   33

> table(S)
S
 1  2  3  7  9 10 21
 1  1  3  4  1  1  1
2.最小值(minimum):
在給定情形下可以達到的最小數(shù)量或最小數(shù)值
3.最大值(maximum):
在給定情形下可以達到的最大數(shù)量或最大數(shù)值
4.中位數(shù)(Medians):
是指將統(tǒng)計總體當中的各個變量值按大小順序排列起來，形成一個數(shù)列，處于變量數(shù)列中間位置的變量值就稱為中位數(shù)
5.四分位數(shù)(Quartile):
用于描述任何類型的數(shù)據(jù)，尤其是偏態(tài)數(shù)據(jù)的離散程度,即將全部數(shù)據(jù)從小到大排列，正好排列在上1/4位置叫上四分位數(shù)，下1/4位置上的數(shù)就叫做下四分位數(shù)
R程序：計算樣本(1,2,3,4,5,6,7,8,9)的四分位數(shù)
> S<-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9)
> quantile(S)
  0%  25%  50%  75% 100%
   1    3    5    7    9
> fivenum(S)
[1] 1 3 5 7 9

6.通用的計算統(tǒng)計函數(shù)：

R程序：計算樣本(1,2,3,4,5,6,7,8,9)的統(tǒng)計函數(shù)

> S<-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9)
> summary(S)
   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max.
      1       3       5       5       7       9

（六）、協(xié)方差(Covariance)

協(xié)方差用于衡量兩個變量的總體誤差。而方差是協(xié)方差的一種特殊情況，即當兩個變量是相同的情況。設(shè)X,Y為兩個隨機變量，稱E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}為X和Y的協(xié)方差，記錄Cov(X,Y)。

R程序：計算X(1,2,3,4)和Y(5,6,7,8)的協(xié)方差

> X<-c(1,2,3,4)
> Y<-c(5,6,7,8)
> cov(X,Y)
[1] 1.666667

（七）、相關(guān)系數(shù)(Correlation coefficient)

相關(guān)系數(shù)是用以反映變量之間相關(guān)關(guān)系密切程度的統(tǒng)計指標。相關(guān)系數(shù)是按積差方法計算，同樣以兩變量與各自平均值的離差為基礎(chǔ)，通過兩個離差相乘來反映兩變量之間相關(guān)程度。當Var(X)>0, Var(Y)>0時，稱Cov(X,Y)/sqrt(Var(X)*Var(Y))為X與Y的相關(guān)系數(shù)。

R程序：計算X(1,2,3,4)和Y(5,7,8,9)的相關(guān)系數(shù)

> X<-c(1,2,3,4)
> Y<-c(5,7,8,9)
> cor(X,Y)
[1] 0.9827076

八）、矩

1.原點矩(moment about origin)

2.中心矩(moment about centre)

均值和方差分別就是一階原點矩和二階中心矩，具體定義和概念，可詳見陳希孺《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》P132-133

3.偏度(skewness):

是統(tǒng)計數(shù)據(jù)分布偏斜方向和程度的度量，是統(tǒng)計數(shù)據(jù)分布非對稱程度的數(shù)字特征。設(shè)分布函數(shù)F(x)有中心矩μ2=E(X ?E(X))^2, μ3 = E(X ?E(X))^3，則Cs=μ3/μ2^(3/2)為偏度系數(shù)。

當Cs>0時，概率分布偏向均值右則,Cs<0時，概率分布偏向均值左則。 R語言：計算10000個正態(tài)分布的樣本的偏度

> library(PerformanceAnalytics)
> S<-rnorm(10000)
> skewness(S)
[1] -0.00178084
> hist(S,breaks=100)

#hist() 函數(shù)：繪制直方圖

4.峰度(kurtosis): 又稱峰態(tài)系數(shù)。

表征概率密度分布曲線在平均值處峰值高低的特征數(shù)。峰度刻劃不同類型的分布的集中和分散程序。設(shè)分布函數(shù)
F(x)有中心矩μ2=E(X ?E(X))^2, μ4=E(X ?E(X))^4，則Ck=μ4/(u2^2-3)為峰度系數(shù)。

R語言：計算10000個正態(tài)分布的樣本的峰度，(同偏度的樣本數(shù)據(jù))

> library(PerformanceAnalytics)
> kurtosis(S)
[1] -0.02443549
> hist(S,breaks=100)

（九）、協(xié)方差矩陣(covariance matrix)

可以理解成不同維度上的協(xié)方差

> x=as.data.frame(matrix(rnorm(10),ncol=2))
> x
           V1          V2
1 -2.11315384 -2.55189840
2 -0.96631271 -1.36148355
3 -0.02835058 -0.82328774
4 -1.86669567 -0.07201353
5  0.27324957 -2.23835218

> var(x)
            V1          V2
V1  1.13470650 -0.09292042
V2 -0.09292042  1.03172261

> cov(x)
            V1          V2
V1  1.13470650 -0.09292042
V2 -0.09292042  1.03172261

三、極限定理

引言：
　　我們知道，隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計性規(guī)律是在相同條件下進行大量重復(fù)試驗時呈現(xiàn)出來的，常見的兩種統(tǒng)計規(guī)律性為：
　　頻率的穩(wěn)定性，即在大量重復(fù)試驗中，事件發(fā)生的頻率總是在它的概率附近擺動，且隨著試驗次數(shù)的增多，該頻率總是越來越明顯地穩(wěn)定在其概率附近；
　　平均值的穩(wěn)定性，即在多次重復(fù)測量中，測量平均值總是在它的真實值附近擺動，且隨著測量次數(shù)的增加，測量平均值總是越來越明顯地穩(wěn)定在其真實值附近。
　　對以上兩種規(guī)律，人們不僅研究觀測值趨向于哪個穩(wěn)定值，而且還分析了觀測值在穩(wěn)定值周圍的擺動形式(分布情況)。
　　針對觀測值趨向于哪個穩(wěn)定值，用數(shù)學(xué)語言及理論來分析研究，就引出了大數(shù)定律。其中關(guān)于頻率穩(wěn)定性的大數(shù)定律稱為伯努利大數(shù)定律，關(guān)于均值穩(wěn)定性的大數(shù)定律稱為辛欽大數(shù)定律。
　　針對觀測值在穩(wěn)定值周圍的擺動形式，用數(shù)學(xué)理論進行研究，就得出了中心極限定理．所謂的中心極限定理，就是把和的分布收斂于正態(tài)分布的那些定理的一個統(tǒng)稱。
　　注　在概率論中，“定律”與“定理”是一樣的意思．“定理”一般用于指那些能用數(shù)學(xué)工具嚴格證明的結(jié)論；而“定律”是指人們通過觀察分析得出來一種經(jīng)驗結(jié)論，如牛頓三大定律，熱力學(xué)定律等．因為概率論中的“大數(shù)定律”不僅是在實踐中總結(jié)出來的經(jīng)驗結(jié)論，而且也可以用數(shù)學(xué)工具嚴格地去證明，所以叫“大數(shù)定律”或叫“大數(shù)定理”都可以。

（一）、大數(shù)定理

R語言：假設(shè)投硬幣，正面概率是0.5，投4次時，計算得到2次正面的概率？根據(jù)大數(shù)定律，如果投是10000次，計算5000次正面的概率？

#計算2次正面的的概率
> choose(4,2)/2^4 #choose組合數(shù)的計算：從4中選擇2個
[1] 0.375

#計算5000次正面的的概率
> pbinom(5000, 10000, 0.5)
[1] 0.5039893

#pbinom二向分布，5000為分位數(shù)，產(chǎn)生10000個隨機數(shù)，每個概率0.5

（二）、中心極限定理(central limit theorem)

中心極限定理是概率論中的一組定理。中心極限定理說明，大量相互獨立的隨機變量，其均值的分布以正態(tài)分布為極限。

1.林德伯格-列維(Lindburg-Levy)

是棣莫佛－拉普拉斯定理的擴展，討論獨立同分布隨機變量序列的中央極限定理。它表明，獨立同分布、且數(shù)學(xué)期望和方差有限的隨機變量序列的標準化和以標準正態(tài)分布為極限：

2.棣莫佛-拉普拉斯(de Movire - Laplace)

棣莫佛-拉普拉斯（de Moivre - Laplace）定理是中央極限定理的最初版本，討論了服從二項分布的隨機變量序列。它指出，參數(shù)為n, p的二項分布以nρ為均值、nρ(1-ρ)為方差的正態(tài)分布為極限。

R語言：中心極限定理模擬，從指數(shù)分布到正態(tài)分布

if (!require(animation)) install.packages("animation")
library(animation)
ani.options(interval = 0.1, nmax = 100)
par(mar = c(4, 4, 1, 0.5))
clt.ani()


#
1.library和require都可以載入包，但二者存在區(qū)別。在一個函數(shù)中，如果一個包不存在，執(zhí)行到library將會停止執(zhí)行，require則會繼續(xù)執(zhí)行。
require將會根據(jù)包的存在與否返回true或者false。
2.interval：a positive number to set the time interval of the animation (unit in seconds); default to be 1.
3.nmax：maximum number of steps in a loop (e.g. iterations) to create animation frames. Note: the actual number of frames can be less than this number, depending on specific animations. Default to be 50.
4.mar設(shè)置圖形空白邊界行數(shù)，mar = c(bottom, left, top, right)
5.clt.ani：Demonstration of the Central Limit Theorem
6.shapiro.test檢驗，P值大于0.05說明數(shù)據(jù)正態(tài)分布