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數(shù)字信號處理中均值、方差、均方值、均方差計算和它們的物理意義
2018-03-06
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數(shù)字信號處理中均值、方差、均方值、均方差計算和它們的物理意義

1 均值

均值表示信號中直流分量的大小，用E(x)表示。對于高斯白噪聲信號而言，它的均值為0，所以它只有交流分量。

2 均值的平方

均值的平方，用{E(x)}^2表示，它表示的是信號中直流分量的功率。

3 均方值

均方值表示信號平方后的均值，用E(x^2)表示。均方值表示信號的平均功率。信號的平均功率 = 信號交流分量功率 + 信號直流分量功率

例如：x、y、z 3項求均方值。均方值=（x的平方+y的平方+z的平方）/3
4 均方根值

均方根值，用RMS（root mean square）,既均方值的開根號         

      

5 均方差

均方差（mean square error），用MSE表示。均方差是各數(shù)據(jù)偏離真實值的距離平方和的平均數(shù)，也即誤差平方和的平均數(shù)，計算公式形式上接近方差，它的開方叫均方根誤差，均方根誤差才和標(biāo)準(zhǔn)差形式上接近。均方差有時候被認為等同于方差

        

6 均方根誤差       

均方根誤差用RMSE（root mean square error）表示。它是觀測值與真值偏差的平方和觀測次數(shù)n比值的平方根，在實際測量中，觀測次數(shù)n總是有限的，真值只能用最可信賴（最佳）值來代替.方根誤差對一組測量中的特大或特小誤差反映非常敏感，所以，均方根誤差能夠很好地反映出測量的精密度。均方根誤差有時候被認為是標(biāo)準(zhǔn)差

6 方差

方差用variance或deviation 或Var表示。 方差描述信號的波動范圍，表示信號中交流分量的強弱，即交流信號的平均功率。

注意上面除以的是n-1，只有這樣由樣本值估計出的方差才是無偏的，即上面式子的期望才是X的方差。但是有的地方也有用除以n來表示方差，只不過這樣求出的結(jié)果不是方差的無偏估計，計算結(jié)果的數(shù)學(xué)期望并不是X的方差，而是X方差的倍。

7 標(biāo)準(zhǔn)差

標(biāo)準(zhǔn)差（Standard Deviation）用σ表示，有的時候標(biāo)準(zhǔn)差又可以被稱為均方根誤差RMSE。 標(biāo)準(zhǔn)差是各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的距離的平均數(shù)，它是離均差平方和平均后的方根，用σ表示，標(biāo)準(zhǔn)差能反映一個數(shù)據(jù)集的離散程度。

標(biāo)準(zhǔn)差σ， 反映了測量數(shù)據(jù)偏離真實值的程度，σ越小，表示測量精度越高，因此可用σ作為評定這一測量過程精度的標(biāo)準(zhǔn)。

有了方差為什么要使用標(biāo)準(zhǔn)差？標(biāo)準(zhǔn)差比方差有什么優(yōu)勢？

因為方差與我們要處理的數(shù)據(jù)的量綱是不一致的，雖然能很好的描述數(shù)據(jù)與均值的偏離程度，但是處理結(jié)果是不符合我們的直觀思維的。
舉個例子：一個班級里有60個學(xué)生，平均成績是70分，標(biāo)準(zhǔn)差是9，方差是81，成績服從正態(tài)分布，那么我們通過方差不能直觀的確定班級學(xué)生與均值到底偏離了多少分，通過標(biāo)準(zhǔn)差我們就很直觀的得到學(xué)生成績分布在[61,79]范圍的概率為0.6826，即約等于下圖中的34.2%*2 。

總結(jié)：

（1）總的來說，均方差，均方根誤差和方差，標(biāo)準(zhǔn)差是不能夠等同的，盡管它們的公式相似。我們需要從真實值和均值之間的關(guān)系來區(qū)分它們

（2）對于方差和標(biāo)準(zhǔn)差而言，它們反映的是數(shù)據(jù)序列與均值的關(guān)系。

（3）對于均方差和均方根誤差而言，它們反映的是數(shù)據(jù)序列與真實值之間的關(guān)系。

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