數(shù)據(jù)分析|微信紅包金額分配的秘密

“微信紅包”是騰訊公司開發(fā)的社交軟件——微信的一個附加功能。它可以在一對一聊天當中發(fā)送，也可以在群聊中發(fā)送。在群聊當中，可以一次性發(fā)送多于1個的紅包，每個群成員可以領(lǐng)取至多1個，先領(lǐng)先得，發(fā)完為止（如果紅包數(shù)多于群成員數(shù)，則會有剩余）。騰訊公司宣稱，在這一情況下，每個紅包的金額是隨機分配的；也即，在紅包數(shù)目足夠的情況下，每位群成員得到的金額的期望值相等。

領(lǐng)紅包與教授共進午餐——引出的問題

北京大學(xué)-普林斯頓大學(xué)“當代中國社會”研討課7月11日-8月19日在北大舉辦，有12名北大本科生和15名普林斯頓大學(xué)本科生。作為課程的一個插曲，授課教師謝宇（普林斯頓大學(xué)教授、美國科學(xué)院院士）會不時地邀請一名學(xué)員共進午餐；邀請方式，就是在課程群中發(fā)放若干紅包（紅包數(shù)目多于課程人數(shù)），學(xué)員自愿領(lǐng)取，領(lǐng)到金額最高者與老師共進午餐。

這樣的活動進行若干次之后，出現(xiàn)了一個有趣的現(xiàn)象：領(lǐng)到金額最高者絕大多數(shù)都是北大學(xué)生；此外，只有兩位普林斯頓大學(xué)的學(xué)生領(lǐng)到過最高金額，這兩位的共同點是注冊微信賬號的時間都較早。針對這一現(xiàn)象，謝宇教授提出一個猜想：“參與者領(lǐng)到的紅包金額可能并非完全隨機，而是與用戶經(jīng)歷（注冊賬號早晚）有一定的關(guān)聯(lián)”。因為大多數(shù)北大學(xué)生注冊微信賬號的時間較早，而大部分普林斯頓學(xué)生都是7月初抵達北京之后才注冊微信賬號。為此，謝宇教授在課程的微信群中做了若干次重復(fù)實驗，并讓我對相關(guān)數(shù)據(jù)進行記錄和分析，試圖考察微信紅包金額與用戶經(jīng)歷之間的關(guān)系。

兩個變量：用戶經(jīng)歷長短，是否使用“蘋果”

這些數(shù)據(jù)都來自于上述課程微信群中的紅包記錄。共進行了10次紅包領(lǐng)取活動，每次發(fā)放的總金額固定為5元，但是每次的紅包個數(shù)在27-32個之間。由于領(lǐng)取紅包的學(xué)生為27人，且在單次活動中并非每一個學(xué)生都會領(lǐng)取，因而每一次的紅包數(shù)目，相對于學(xué)生人數(shù)而言都是足夠的。每次紅包領(lǐng)取活動中每位參與者得到的金額，是我們所關(guān)注的因變量。經(jīng)過標準化之后，這些金額彼此之間具有可比性，我們稱其為“標準化金額”，計量單位是人民幣分。而我們的核心解釋變量是用戶經(jīng)歷，也就是從注冊微信賬號之日起至2016年8月1日這中間經(jīng)歷的時間（計量單位為月）。此外，我們還將“領(lǐng)取紅包時是否使用的是蘋果設(shè)備”作為控制變量。這兩個解釋變量，我們通過調(diào)查表的方式獲得數(shù)據(jù)。

使用該微信群聊作為數(shù)據(jù)源有一個優(yōu)勢在于，在這一群聊中，紅包領(lǐng)取活動的參與者的用戶經(jīng)歷差異很大：最短的只有0.5月，最長的有58.5月（其注冊賬號的時間已經(jīng)接近騰訊公司推出微信軟件的時間）。這有助于我們發(fā)現(xiàn)其中可能存在的規(guī)律。（詳見表1.）

我們注意到，每次紅包領(lǐng)取活動中，發(fā)放的紅包數(shù)目都是過量的，也即存在尚未被領(lǐng)取的紅包。我們使用了一個簡單的假設(shè)檢驗，證明了未被領(lǐng)取的紅包與被領(lǐng)取的紅包在金額分布上沒有系統(tǒng)性差異，從而保證了之后的分析在這個意義上是無偏的。

轉(zhuǎn)折點：約35個月

首先我們使用LOWESS方法繪制出領(lǐng)取到的“標準化金額”與用戶經(jīng)歷之間的趨勢線，如下圖所示。由這條趨勢線可以看出，標準化金額與用戶經(jīng)歷之間是一個先增后減的關(guān)系，大致以35個月為轉(zhuǎn)折點。轉(zhuǎn)折點之前，用戶經(jīng)歷越長，領(lǐng)到的紅包金額傾向于變多；轉(zhuǎn)折點之后，用戶經(jīng)歷越長，領(lǐng)到的紅包金額傾向于變少。

為了更為嚴格地驗證這種關(guān)系，我們做了回歸分析。在回歸模型中，用戶經(jīng)歷以一次項和平方項的形式出現(xiàn)，而“是否使用蘋果設(shè)備”作為控制變量。我們分別使用普通最小二乘法和tau=0.25, 0.5, 0.75的分位數(shù)回歸對模型的參數(shù)進行了估計。得到的結(jié)果較為一致：無論是否加入控制變量，“用戶經(jīng)歷”平方項的系數(shù)都顯著為負，而“用戶經(jīng)歷”項的系數(shù)都顯著為正。也就是說，紅包金額與用戶經(jīng)歷之間的關(guān)系可以用一個開口向下的拋物線去擬合。而在這8個回歸中，我們估算出的這條拋物線的對稱軸都落在31-38個月之間，與之前所說的轉(zhuǎn)折點在35個月附近也是吻合的。有趣的是，我們的結(jié)果還發(fā)現(xiàn)，“是否使用蘋果設(shè)備”對于領(lǐng)到的紅包金額沒有顯著影響，詳見下表。

得到極端金額的可能性

以上分析關(guān)注的重點，是領(lǐng)到的紅包金額本身，而我們還想探究用戶經(jīng)歷是否影響領(lǐng)到極端金額的可能性。所謂極端金額，我們定義：如果領(lǐng)到的標準化金額小于5分，則算作領(lǐng)到極端低值；如果領(lǐng)到的標準化金額大于或等于28分，則算作領(lǐng)到極端高值。我們使用了logistic回歸去分別估計用戶經(jīng)歷對于出現(xiàn)這兩種情況的可能性的影響。結(jié)果表明，用戶經(jīng)歷對于領(lǐng)到極端低值的可能性沒有顯著影響；但對于領(lǐng)到極端高值的可能性存在顯著性影響，而且影響的模式同樣是先增后減，可以擬合為一條開口向下的拋物線；轉(zhuǎn)折點的位置也落在35個月附近。（詳見表3.）

以上是對統(tǒng)計分析結(jié)果的簡單描述，對細節(jié)感興趣的讀者可以參看文末正式的統(tǒng)計報告。

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總結(jié)一下

總結(jié)起來，領(lǐng)取的紅包金額與用戶經(jīng)歷之間存在先增后減的關(guān)系。對于使用微信賬號時間較短的用戶，其在紅包領(lǐng)取活動中得到的金額隨著其用戶經(jīng)歷的增加而增加；但在經(jīng)過一個拐點之后，隨著用戶經(jīng)歷的增加，其在紅包領(lǐng)取活動中得到的金額會減少。這一拐點落在30-40個月之間（用戶經(jīng)歷）。與此同時，得到極端高金額的可能性與用戶經(jīng)歷之間也存在著同樣的關(guān)系和類似的拐點位置。但得到極端低金額的可能性與用戶經(jīng)歷之間并無顯著關(guān)系。這些結(jié)果在加入了控制變量（是否使用蘋果設(shè)備）之后沒有受到影響。

因此，對于最近注冊微信的用戶和使用年限很長的微信用戶，其在紅包領(lǐng)取活動中得到的金額相對更低；而用戶經(jīng)歷在30-40個月之間的用戶，平均而言其在紅包領(lǐng)取活動中得到的金額最高。

由此可以推測，在微信群聊中發(fā)放多個微信紅包的情形下，各個紅包的金額并非完全隨機分配。但是由于微信紅包背后的程序未知，所以我們只能夠注意到這一現(xiàn)象；其原因可能需要從騰訊公司的程序設(shè)計中尋找。

附：正式統(tǒng)計報告

1.數(shù)據(jù)與變量

1.1  數(shù)據(jù)來源

我們使用的數(shù)據(jù)主要來自于上述的課程微信群中的紅包記錄。該群聊總共進行了10次紅包領(lǐng)取活動，每次發(fā)放的總金額固定為5元，但是每次的紅包個數(shù)在27-32個之間。由于領(lǐng)取紅包的學(xué)生為27人，且在單次活動中并非每一個學(xué)生都會領(lǐng)取，因而每一次的紅包數(shù)目相對于學(xué)生人數(shù)而言都是足夠的。為了得到用戶經(jīng)歷等信息，我們使用調(diào)查表對27名學(xué)生進行了調(diào)查，采集了微信賬號、注冊時間和手機類型等信息。在每次活動中，每位參與者的表現(xiàn)作為一個觀測；通過這10次活動的記錄，我們總共得到了217個有效觀測。

1.2  變量

1.2.1  因變量

因變量為在每次活動中每位參與者得到的紅包金額。雖然每次活動的總金額都固定為5元，但是由于紅包數(shù)目有變化，因此在不同的活動中，每位參與者領(lǐng)取到金額的期望會有差異。為了消除這一差異帶來的偏誤，我們對領(lǐng)到的紅包金額做了標準化。標準化的方法如下。

其中yij為第i次活動中參與者j得到的金額，ni為第i次活動中的紅包個數(shù)revenueij代表標準化金額，是我們最終使用的因變量，其度量單位為人民幣分（1分=0.01元）。經(jīng)過這樣的標準化，我們將每次活動中發(fā)放的紅包個數(shù)統(tǒng)一為了30個，也即每次活動中每個紅包的金額期望值為1/6元（約為16.667分）；這樣，我們的217個觀測中的因變量具有可比性。

在后一階段的分析中，為了探求領(lǐng)取金額的極端值與用戶經(jīng)歷之間可能存在的關(guān)系，我們使用了另外2個因變量：lower-tail和upper-tail，它們都是二分變量。

1.2.2  解釋變量

核心解釋變量是用戶經(jīng)歷experience，也即每個用戶從注冊微信賬號之日起至2016年8月1日所經(jīng)歷的時間，以月作為度量單位，精度為0.5月。

由于微信賬號本身不能識別國籍（個人信息中的“所在地區(qū)”可以任意填寫），而所有學(xué)員微信綁定的手機號都是中國大陸的號碼，加之絕大多數(shù)紅包領(lǐng)取活動都在同一間教室進行，因而我們能夠考察到的唯一的可以對領(lǐng)取金額造成影響的解釋變量是手機類型。因此我們選擇手機類型作為控制變量iphone。它也是二分變量，如果使用iPhone或者iPad等蘋果產(chǎn)品參與領(lǐng)取紅包活動，則變量iphone=1；如果使用其它品牌的移動設(shè)備，則變量iphone=0。

1.2.3  變量的描述性統(tǒng)計

以上因變量與解釋變量的描述性統(tǒng)計結(jié)果參見表1。

1.3  一個說明

需要說明的問題是，由于在每一次紅包領(lǐng)取活動中，發(fā)放的紅包個數(shù)都是過量的，因此我們的217個觀測中沒有包含未領(lǐng)取的紅包。從表1中可以看出，217次觀測中的標準化領(lǐng)取金額為16.516分。在虛擬假設(shè)H0：“revenue的均值=16.667”之下做假設(shè)檢驗，得到，因此不能拒絕虛擬假設(shè)H0。我們有理由認為，領(lǐng)取的紅包與未領(lǐng)取的紅包在金額分布上沒有顯著的系統(tǒng)性差異，從而我們的觀測在這種意義上是無偏的。

2.統(tǒng)計分析結(jié)果

2.1  LOWESS結(jié)果

為了考察因變量（revenue）隨著核心解釋變量（experience）大致的變化趨勢，我們首先繪制了散點圖，并使用局部加權(quán)散點擬合方法（Locally Weighted Scatterplot Smoothing, LOWESS）添加了擬合曲線。其結(jié)果顯示在圖1中。

由擬合曲線可以看出，revenue與experience之間的關(guān)系可以大致以experience=35為界分為兩段：在分界點以左，revenue隨著experience遞增；在分界點以右，revenue隨著experience遞減。也即如果用戶使用時長小于35月，則用戶經(jīng)歷越長，平均而言領(lǐng)取的金額數(shù)越高；如果用戶時長大于35月，則用戶經(jīng)歷越長，平均而言領(lǐng)取的金額數(shù)越低。

2.2  回歸分析結(jié)果

LOWESS擬合的曲線顯示revenue與experience之間存在一個先增后減的凹函數(shù)關(guān)系，為了更為準確地研究這一關(guān)系，我們考慮添加平方項experience2，進行回歸分析?；净貧w的方程如下。

在該模型當中，我們只考察experience及其平方項對于revenue的影響。

為了研究手機類型對revenue可能造成的干擾，我們在第2個回歸模型中增加了控制變量iphone，模型如下。

表2的第（1）列和第（2）列分別顯示了使用最小二乘方法（OLS）對這兩個模型的回歸結(jié)果。Experience平方項的系數(shù)為負且在統(tǒng)計上顯著，experience項系數(shù)為正且在統(tǒng)計上顯著，控制變量iphone的加入沒有改變這一結(jié)果，且控制變量iphone的系數(shù)在統(tǒng)計上不顯著。這表明revenue與experience之間可能存在一個二次函數(shù)關(guān)系。根據(jù)平方項與一次項的系數(shù)，可以估算出由增轉(zhuǎn)為減的拐點位置在experience=33.91（回歸（1））或experience=34.28（回歸（2）），這與LOWESS的圖形也基本吻合。

為了進一步驗證這種二次函數(shù)關(guān)系，我們使用了分位數(shù)回歸方法（quantile regression），分別取tau=0.25，0.5，0.75?；貧w結(jié)果顯示在表2的第（3）列至第（8）列。這6個分位數(shù)回歸的結(jié)果顯示，experience平方項系數(shù)為負且顯著，experience項系數(shù)為正且顯著，控制變量iphone的加入不改變它們系數(shù)的符號和顯著性，且iphone的系數(shù)本身不顯著。由平方項和一次項估算出的拐點位置依次為experience=36.33, 37.88, 30.90, 31.09, 33.17, 33.71。這與OLS的結(jié)果以及LOWESS的結(jié)果吻合。

2.3 對極端值的分析結(jié)果

以上分析主要針對各個解釋變量對于標準化領(lǐng)取金額的影響。下面，我們想考察這些解釋變量是否會影響在紅包領(lǐng)取活動中得到極端金額的可能性。為此，我們引入了2個因變量：lower-tail和upper-tail，它們都是二分變量。如果標準化領(lǐng)取金額小于5分，則lower-tail取1，否則取0；如果標準化領(lǐng)取金額大于或等于28分，則upper-tail取1，否則取0。由于因變量為二分變量，我們使用了Logistic回歸方法；回歸結(jié)果中各解釋變量的系數(shù)代表了該變量對機會比率（odds ratio）的自然對數(shù)的邊際影響率。

表3的第（1）列和第（2）列顯示了以lower-tail為因變量的logistic回歸結(jié)果；可以發(fā)現(xiàn)，experience及其平方項的系數(shù)在統(tǒng)計上與0沒有顯著性差異，控制變量iphone的系數(shù)也不顯著。因此這些解釋變量對領(lǐng)到極端低值金額的可能性沒有顯著性影響。

表3的第（3）列和第（4）列顯示了以upper-tail為因變量的logistic回歸結(jié)果；可以發(fā)現(xiàn)，experience平方項的系數(shù)為負且顯著，experience項的系數(shù)為正且顯著。也即，在用戶經(jīng)歷較短的時候，隨著experience的增加，在領(lǐng)取紅包活動中得到極端高金額的可能性會增加；但是在一個拐點之后，隨著experience增加，在領(lǐng)取紅包活動中得到極端高金額的可能性會減低。根據(jù)系數(shù)可以估算出這個拐點的位置是experience=32.60（回歸（3））或experience=32.07（回歸（4））?？刂谱兞縤phone的加入不改變這一結(jié)果，而且是否使用蘋果設(shè)備對于領(lǐng)到極端高金額的可能性沒有顯著的影響。