R之組間差異的非參數(shù)檢驗(yàn)

# t 檢驗(yàn)
# 在研究中最常見的行為就是對兩個(gè)組進(jìn)行比較。接受某種新藥治療的患者是否較使用某種現(xiàn)
# 有藥物的患者表現(xiàn)出了更大程度的改善？某種制造工藝是否較另外一種工藝制造出的不合格品
# 更少？兩種教學(xué)方法中哪一種更有效？如果你的結(jié)果變量是類別型的，那么可以直接使用7.3節(jié)
# 中闡述的方法。這里我們將關(guān)注結(jié)果變量為連續(xù)型的組間比較，并假設(shè)其呈正態(tài)分布。
# 為了闡明方法，我們將使用MASS包中的UScrime數(shù)據(jù)集。它包含了1960年美國47個(gè)州的刑
# 罰制度對犯罪率影響的信息。我們感興趣的結(jié)果變量為Prob（監(jiān)禁的概率）、U1（14~24歲年齡
# 段城市男性失業(yè)率）和U2（35~39歲年齡段城市男性失業(yè)率）。類別型變量So（指示該州是否位
# 于南方的指示變量）將作為分組變量使用。數(shù)據(jù)的尺度已被原始作者縮放過
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    <span style="font-family:SimHei;font-size:18px;">library(MASS)</span> 
獨(dú)立樣本的t檢驗(yàn)
如果你在美國的南方犯罪，是否更有可能被判監(jiān)禁？我們比較的對象是南方和非南方各州，
因變量為監(jiān)禁的概率。一個(gè)針對兩組的獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)可以用于檢驗(yàn)兩個(gè)總體的均值相等的假設(shè)
這里假設(shè)兩組數(shù)據(jù)是獨(dú)立的，并且是從正態(tài)總體中抽得。檢驗(yàn)的調(diào)用格式為:

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    <span style="font-family:SimHei;font-size:18px;">    
    t.test(y~X,data)  
      
    其中的y是一個(gè)數(shù)值型變量，x是一個(gè)二分變量  
      
    t.test(y1,y2)  
      
    其中的y1和y2為數(shù)值型向量（即各組的結(jié)果變量）。可選參數(shù)data的取值為一個(gè)包含了這些  
    變量的矩陣或數(shù)據(jù)框,里的t檢驗(yàn)?zāi)J(rèn)假定方差不相等，并使  
    用Welsh的修正自由度。你可以添加一個(gè)參數(shù)var.equal=TRUE以假定方差相等，并使用合并方  
    差估計(jì)。默認(rèn)的備擇假設(shè)是雙側(cè)的（即均值不相等，但大小的方向不確定）。你可以添加一個(gè)參  
    數(shù)alternative="less"或alternative="greater"來進(jìn)行有方向的檢驗(yàn)。</span> 
我們使用了一個(gè)假設(shè)方差不等的雙側(cè)檢驗(yàn)，比較了南方（group 1）和非南
方（group 0）各州的監(jiān)禁概率
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    <span style="font-family:SimHei;font-size:18px;">t.test(Prob~So,data = UScrime)</span>  

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    <span style="font-family:SimHei;font-size:18px;">#   
    # > t.test(Prob~So,data = UScrime)  
    #   
    # Welch Two Sample t-test  
    #   
    # data:  Prob by So  
    # t = -3.8954, df = 24.925, p-value = 0.0006506  
    # alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0  
    # 95 percent confidence interval:  
    #   -0.03852569 -0.01187439  
    # sample estimates:  
    #   mean in group 0 mean in group 1   
    # 0.03851265      0.06371269 </span>  

你可以拒絕南方各州和非南方各州擁有相同監(jiān)禁概率的假設(shè)（p < .001）。
非獨(dú)立樣本的t檢驗(yàn)
再舉個(gè)例子，你可能會問：較年輕（14~24歲）男性的失業(yè)率是否比年長（35~39歲）男性的
失業(yè)率更高？在這種情況下，這兩組數(shù)據(jù)并不獨(dú)立。你不能說亞拉巴馬州的年輕男性和年長男性
的失業(yè)率之間沒有關(guān)系。在兩組的觀測之間相關(guān)時(shí)，你獲得的是一個(gè)非獨(dú)立組設(shè)計(jì)（dependent
groups design）。前—后測設(shè)計(jì)（pre-post design）或重復(fù)測量設(shè)計(jì)（repeated measures design）同樣
也會產(chǎn)生非獨(dú)立的組。
非獨(dú)立樣本的t檢驗(yàn)假定組間的差異呈正態(tài)分布,對于本例，檢驗(yàn)的調(diào)用的格式為:
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    <span style="font-family:SimHei;font-size:18px;">t.text(y1,y2,pairred=TRUE)  
      
    其中的y1和y2為兩個(gè)非獨(dú)立組的數(shù)值向量  
      
    sapply(UScrime[c("U1","U2")],function(x){c(mean=mean(x),sd=sd(x))})  
      
    with(UScrime,t.test(U1,U2,paired = TRUE))  
      
    #   
    # > sapply(UScrime[c("U1","U2")],function(x){c(mean=mean(x),sd=sd(x))})  
    # U1       U2  
    # mean 95.46809 33.97872  
    # sd   18.02878  8.44545  
    # > with(UScrime,t.test(U1,U2,paired = TRUE))  
    #   
    # Paired t-test  
    #   
    # data:  U1 and U2  
    # t = 32.407, df = 46, p-value < 2.2e-16  
    # alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0  
    # 95 percent confidence interval:  
    #   57.67003 65.30870  
    # sample estimates:  
    #   mean of the differences   
    # 61.48936   
    </span>  

差異的均值（61.5）足夠大，可以保證拒絕年長和年輕男性的平均失業(yè)率相同的假設(shè)。
年輕男性的失業(yè)率更高。事實(shí)上，若總體均值相等，獲取一個(gè)差異如此大的樣本的概率小于
0.000 000 000 000 000 22（即2.2e?16）

組間差異的非參數(shù)檢驗(yàn)
如果數(shù)據(jù)無法滿足t檢驗(yàn)或ANOVA的參數(shù)假設(shè)，可以轉(zhuǎn)而使用非參數(shù)方法
兩組的比較
若兩組數(shù)據(jù)獨(dú)立，可以使用Wilcoxon秩和檢驗(yàn)（更廣為人知的名字是Mann–Whitney U檢驗(yàn)）
來評估觀測是否是從相同的概率分布中抽得的（即，在一個(gè)總體中獲得更高得分的概率是否比另
一個(gè)總體要大）。調(diào)用格式為：wilcox.text(y~x,text)
其中的y是數(shù)值型變量，而x是一個(gè)二分變量:wilcox.test(y1,y2)
其中的y1和y2為各組的結(jié)果變量。可選參數(shù)data的取值為一個(gè)包含了這些變量的矩陣或數(shù)據(jù)框。默
認(rèn)進(jìn)行一個(gè)雙側(cè)檢驗(yàn)。你可以添加參數(shù)exact來進(jìn)行精確檢驗(yàn)，指定alternative="less"或
alternative="greater"進(jìn)行有方向的檢驗(yàn)。
如果你使用Mann–Whitney U檢驗(yàn)回答上一節(jié)中關(guān)于監(jiān)禁率的問題，將得到這些結(jié)果：
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    <span style="font-family:SimHei;font-size:18px;">with(UScrime,by(Prob,So,median))  
    # > with(UScrime,by(Prob,So,median))  
    # So: 0  
    # [1] 0.038201  
    # ------------------------------------------------------------------   
    #   So: 1  
    # [1] 0.055552  
    # >   
      
    wilcox.test(Prob~So,data = UScrime)  
    #   
    # 你可以再次拒絕南方各州和非南方各州監(jiān)禁率相同的假設(shè)（p < 0.001）  
    > wilcox.test(Prob~So,data = UScrime)  
    #   
    # Wilcoxon rank sum test  
    #   
    # data:  Prob by So  
    # W = 81, p-value = 8.488e-05  
    # alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0  
    # </span>  


Wilcoxon符號秩檢驗(yàn)是非獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)的一種非參數(shù)替代方法
它適用于兩組成對數(shù)據(jù)和
無法保證正態(tài)性假設(shè)的情境。調(diào)用格式與Mann–Whitney U檢驗(yàn)完全相同，不過還可以添加參數(shù)
paired=TRUE。讓我們用它解答上一節(jié)中的失業(yè)率問題

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    <span style="font-family:SimHei;font-size:18px;">sapply(UScrime[c("U1","U2")],median)  
    #> sapply(UScrime[c("U1","U2")],median)  
    # U1 U2   
    # 92 34   
      
    with(UScrime,wilcox.test(U1,U2,paired = TRUE))  
    # > with(UScrime,wilcox.test(U1,U2,paired = TRUE))  
    #   
    # Wilcoxon signed rank test with continuity correction  
    #   
    # data:  U1 and U2  
    # V = 1128, p-value = 2.464e-09  
    # alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0  
    </span>  

你再次得到了與配對t檢驗(yàn)相同的結(jié)論.
多于兩組的比較
在要比較的組數(shù)多于兩個(gè)時(shí)，必須轉(zhuǎn)而尋求其他方法。考慮7.4節(jié)中的state.x77數(shù)據(jù)集。
它包含了美國各州的人口、收入、文盲率、預(yù)期壽命、謀殺率和高中畢業(yè)率數(shù)據(jù)。如果你想比較
美國四個(gè)地區(qū)（東北部、南部、中北部和西部）的文盲率，應(yīng)該怎么做呢？這稱為單向設(shè)計(jì)（one-way
design），我們可以使用參數(shù)或非參數(shù)的方法來解決這個(gè)問題
如果無法滿足ANOVA設(shè)計(jì)的假設(shè)，那么可以使用非參數(shù)方法來評估組間的差異
如果各組獨(dú)立，則Kruskal—Wallis檢驗(yàn)將是一種實(shí)用的方法
Kruskal–Wallis檢驗(yàn)的調(diào)用格式為:kruskal.test(y~A,data)
其中的y是一個(gè)數(shù)值型結(jié)果變量，A是一個(gè)擁有兩個(gè)或更多水平的分組變量（grouping variable）。
（若有兩個(gè)水平，則它與Mann–Whitney U檢驗(yàn)等價(jià)。
如果各組不獨(dú)立（如重復(fù)測量設(shè)計(jì)或隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)），那么Friedman檢驗(yàn)會更合適
friedman.test(y~A|B,data)其中的y是數(shù)值型結(jié)果變量，A是一個(gè)分組變量，而B是一個(gè)用以認(rèn)定匹配觀測的區(qū)組變量（blocking
variable）
讓我們利用Kruskal–Wallis檢驗(yàn)回答文盲率的問題。首先，你必須將地區(qū)的名稱添加到數(shù)據(jù)
集中。這些信息包含在隨R基礎(chǔ)安裝分發(fā)的state.region數(shù)據(jù)集中:

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    <span style="font-family:SimHei;font-size:18px;">states<-as.data.frame(cbind(state.region,state.x77))  
      
    kruskal.test(Illiteracy~state.region,data = states)  
      
    # > kruskal.test(Illiteracy~state.region,data = states)  
    #   
    # Kruskal-Wallis rank sum test  
    #   
    # data:  Illiteracy by state.region  
    # Kruskal-Wallis chi-squared = 22.672, df = 3, p-value = 4.726e-05</span>  


顯著性檢驗(yàn)的結(jié)果意味著美國四個(gè)地區(qū)的文盲率各不相同（p <0.001）
雖然你可以拒絕不存在差異的原假設(shè)，但這個(gè)檢驗(yàn)并沒有告訴你哪些地區(qū)顯著地與其他地區(qū)
不同。要回答這個(gè)問題，你可以使用Mann–Whitney U檢驗(yàn)每次比較兩組數(shù)據(jù)。一種更為優(yōu)雅的
方法是在控制犯第一類錯誤的概率（發(fā)現(xiàn)一個(gè)事實(shí)上并不存在的差異的概率）的前提下，執(zhí)行可
以同步進(jìn)行的多組比較，這樣可以直接完成所有組之間的成對比較。npmc包提供了所需要的非
參數(shù)多組比較程序

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    <span style="font-family:SimHei;font-size:18px;">install.packages("npmc")  
    var<-state.x77[,c("Illiteracy")]  
    mydata<-as.data.frame(cbind(class,var))  
    rm(class,var)  
    library(npmc)  
    summary(npmc(mydata),type="BF")  
    </span>  

注意：npmc 包已經(jīng)被棄用了！?。?br /> 但是下面的截圖是以前沒有棄用時(shí)的圖