主成分分析和因子分析及其在R中的…

主成分分析和探索性因子分析是兩種用來(lái)探索和簡(jiǎn)化多變量復(fù)雜關(guān)系的常用方法，它們之間有聯(lián)系也有區(qū)別。

主成分分析（PCA）是一種數(shù)據(jù)降維方法，它能將大量相關(guān)變量轉(zhuǎn)化為一組很少的不相關(guān)變量，這些無(wú)關(guān)變量稱(chēng)為主成分。例如，使用PCA可將30個(gè)相關(guān)（很可能冗余）的環(huán)境變量轉(zhuǎn)化為5個(gè)無(wú)關(guān)的成分變量，并且盡可能地保留原始數(shù)據(jù)集的信息。

相對(duì)而言，探索性因子分析（EFA）是一系列用來(lái)發(fā)現(xiàn)一組變量的潛在結(jié)構(gòu)的方法。它通過(guò)尋找一組更小的、潛在的或隱藏的結(jié)構(gòu)來(lái)解釋已觀測(cè)到的、顯式的變量間的關(guān)系。

從上圖可以看出，主成分（PC1和PC2）是觀測(cè)變量（X1到X5）的線性組合。形成線性組合的權(quán)重都是通過(guò)最大化各主成分所解釋的方差來(lái)獲得，同時(shí)還要保證個(gè)主成分間不相關(guān)。相反，因子（F1和F2）被當(dāng)做是觀測(cè)變量的結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)或“原因”，而不是它們的線性組合。代表觀測(cè)變量方差的誤差（e1到e5）無(wú)法用因子來(lái)解釋。圖中的圓圈表示因子和誤差無(wú)法直接觀測(cè)，但是可通過(guò)變量間的相互關(guān)系推導(dǎo)得到。在本例中，因子間帶曲線的箭頭表示它們之間有相關(guān)性。在EFA模型中，相關(guān)因子是常見(jiàn)的，但并不是必需的。

2 R中的主成分因子分析

R的基礎(chǔ)安裝包提供了PCA和EFA的函數(shù)，分別為princomp()和factanal()。下文將重點(diǎn)介紹psych包中提供的函數(shù)，它們提供了比基礎(chǔ)函數(shù)更豐富和有用的選項(xiàng)。

psych包中有用的因子分析函數(shù)

因子分析常見(jiàn)步驟：

（1）數(shù)據(jù)預(yù)處理。兩種方法都是根據(jù)觀測(cè)變量間的相關(guān)性來(lái)推導(dǎo)結(jié)果，可以輸入原始數(shù)據(jù)矩陣或相關(guān)系數(shù)矩陣。

（2）選擇因子模型。判斷是選擇主成分分析（數(shù)據(jù)降維）還是探索性因子分析（發(fā)現(xiàn)潛在結(jié)構(gòu)）。如果選擇因子分析方法，還需要選擇一種估計(jì)因子模型的方法（如最大似然估計(jì)）。

（3）判斷要選擇的主成分/因子數(shù)目

（4）選擇主成分/因子

（5）旋轉(zhuǎn)主成分/因子

（6）解釋結(jié)果

3 主成分分析

第一主成分是對(duì)原來(lái)觀測(cè)變量的加權(quán)組合，對(duì)初始變量集的方差解釋性最大。第二主成分次之，同時(shí)與第一成分正交（不相關(guān)）。

1判斷主成分個(gè)數(shù)

判斷需要多少個(gè)主成分的準(zhǔn)則：

A根據(jù)先驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)和理論知識(shí)判斷主成分分?jǐn)?shù)

B根據(jù)要解釋變量方差的積累值的閾值來(lái)判斷需要的主成分?jǐn)?shù)

C通過(guò)檢查變量間k×k的相關(guān)系數(shù)矩陣來(lái)判斷保留的主成分?jǐn)?shù)

最常見(jiàn)的是基于特征值的方法。每個(gè)主成分都與相關(guān)系數(shù)矩陣的特征值相關(guān)聯(lián)，第一主成分

與最大的特征值相關(guān)聯(lián)，第二主成分與第二大的特征值相關(guān)聯(lián)，依此類(lèi)推。

Kaiser-Harris準(zhǔn)則建議保留特征值大于1的主成分，特征值小于1的成分所解釋的方差比包含在單個(gè)變量中的方差更少。

Cattell碎石檢驗(yàn)則繪制了特征值與主成分?jǐn)?shù)的圖形。這類(lèi)圖形可以清晰地展示圖形彎曲狀況，

在圖形變化最大處之上的主成分都可保留。

最后，也可以進(jìn)行模擬，依據(jù)與初始矩陣相同大小的隨機(jī)數(shù)據(jù)矩陣來(lái)判斷要提取的特征值。若基于真實(shí)數(shù)據(jù)的某個(gè)特征值大于一組隨機(jī)數(shù)據(jù)矩陣相應(yīng)的平均特征值，那么該主成分可以保留。該方法稱(chēng)作平行分析。

利用fa.parallel()函數(shù)，你可以同時(shí)對(duì)三種特征值判別準(zhǔn)則進(jìn)行評(píng)價(jià)。

格式：fa.parallel(data, fa=”P(pán)C”, n.iter=100,show.legend=FALSE, main=””)

2提取主成分

principal()函數(shù)可以根據(jù)原始數(shù)據(jù)矩陣或者相關(guān)系數(shù)矩陣做主成分分析。

格式為：principal(r,nfactors=,rotate=,scores=)

其中：r是相關(guān)系數(shù)矩陣或原始數(shù)據(jù)矩陣；

nfactors設(shè)定主成分?jǐn)?shù)（默認(rèn)為1）；

rotate指定旋轉(zhuǎn)的方法（默認(rèn)最大方差旋轉(zhuǎn)（varimax））；

scores設(shè)定是否需要計(jì)算主成分得分（默認(rèn)不需要）。

輸出結(jié)果解釋?zhuān)?

PC1、PC2欄包含了成分載荷，指觀測(cè)變量與主成分的相關(guān)系數(shù)。

h2欄指成分因子方差——主成分對(duì)每個(gè)變量的方差解釋度。

u2欄指成分唯一性——方差無(wú)法被主成分解釋的比例（1-h2）。

SS loadings行包含了與主成分相關(guān)聯(lián)的特征值，指與特定主成分相關(guān)聯(lián)的標(biāo)準(zhǔn)化后的方差值。

Proportion Var行表示的是每個(gè)主成分對(duì)整個(gè)數(shù)據(jù)集的解釋程度。

3主成分旋轉(zhuǎn)

旋轉(zhuǎn)是一系列將成分載荷陣變得更容易解釋的數(shù)學(xué)方法，它們盡可能地對(duì)成分去噪。旋轉(zhuǎn)方法有兩種：使選擇的成分保持不相關(guān)（正交旋轉(zhuǎn)），和讓它們變得相關(guān)（斜交旋轉(zhuǎn)）。最流行的正交旋轉(zhuǎn)是方差極大旋轉(zhuǎn)，它試圖對(duì)載荷陣的列進(jìn)行去噪，使得每個(gè)成分只是由一組有限的變量來(lái)解釋?zhuān)摧d荷陣每列只有少數(shù)幾個(gè)很大的載荷，其他都是很小的載荷）。

以方差極大旋轉(zhuǎn)為例，旋轉(zhuǎn)后，主成分仍不相關(guān)，對(duì)變量的解釋性不變，累計(jì)方差解釋性也沒(méi)有變化，變的只是各個(gè)主成分對(duì)方差的解釋度（即線性系數(shù)）。

4獲取主成分得分

Principal函數(shù)中score=TRUE時(shí)，即返回每個(gè)對(duì)象在主成分上的得分。當(dāng)輸入數(shù)據(jù)是相關(guān)系數(shù)矩陣時(shí)，則不可能獲取每個(gè)觀測(cè)的主成分得分，但可以得到用來(lái)計(jì)算主成分得分的系數(shù)。

4 探索性因子分析

EFA的目標(biāo)是通過(guò)發(fā)掘隱藏在數(shù)據(jù)下的一組較少的、更為基本的無(wú)法觀測(cè)的變量，來(lái)解釋一組可觀測(cè)變量的相關(guān)性。這些虛擬的、無(wú)法觀測(cè)的變量稱(chēng)作因子。（每個(gè)因子被認(rèn)為可解釋多個(gè)觀測(cè)變量間共有的方差，因此準(zhǔn)確來(lái)說(shuō)，它們應(yīng)該稱(chēng)作公共因子）。

1判斷需提取的公共因子數(shù)

同樣使用fa.parallel函數(shù)，令fa=”both”,因子圖形將會(huì)同時(shí)展示主成分和公共因子分析的結(jié)果。

對(duì)于EFA，Kaiser-Harris準(zhǔn)則的特征值數(shù)大于0，而不是1

2提取公共因子

fa(r,nafctors=,n.obs=,rotate=,scores=,fm=)

其中：r是相關(guān)系數(shù)矩陣或者原始數(shù)據(jù)矩陣；

nfactors設(shè)定提取的因子數(shù)（默認(rèn)為1）；

n.obs是觀測(cè)數(shù)（輸入相關(guān)系數(shù)矩陣時(shí)需要填寫(xiě)）；

rotate設(shè)定旋轉(zhuǎn)的方法（默認(rèn)互變異數(shù)最小法）；

scores設(shè)定是否計(jì)算因子得分（默認(rèn)不計(jì)算）；

fm設(shè)定因子化方法（默認(rèn)極小殘差法）。

與PCA不同，提取公共因子的方法很多，包括最大似然法（ml）、主軸迭代法（pa）、加權(quán)

最小二乘法（wls）、廣義加權(quán)最小二乘法（gls）和最小殘差法（minres）。統(tǒng)計(jì)學(xué)家青睞使用最大似然法，因?yàn)樗辛己玫慕y(tǒng)計(jì)性質(zhì)。不過(guò)有時(shí)候最大似然法不會(huì)收斂，此時(shí)使用主軸迭代法效果會(huì)很好。

3因子旋轉(zhuǎn)

使用正交旋轉(zhuǎn)將人為地強(qiáng)制兩個(gè)因子不相關(guān)。使用斜交轉(zhuǎn)軸法，則允許兩個(gè)因子相關(guān)。

對(duì)于正交旋轉(zhuǎn)，因子分析的重點(diǎn)在于因子結(jié)構(gòu)矩陣（變量與因子的相關(guān)系數(shù)），而對(duì)于斜交旋轉(zhuǎn)，因子分析會(huì)考慮三個(gè)矩陣：因子結(jié)構(gòu)矩陣、因子模式矩陣和因子關(guān)聯(lián)矩陣。

因子模式矩陣即標(biāo)準(zhǔn)化的回歸系數(shù)矩陣。它列出了因子預(yù)測(cè)變量的權(quán)重。PA1，PA2…

因子關(guān)聯(lián)矩陣即因子相關(guān)系數(shù)矩陣。

因子結(jié)構(gòu)矩陣（或稱(chēng)因子載荷陣）在輸出結(jié)果上沒(méi)顯示出來(lái)。

4因子得分

因子分析不怎么關(guān)注因子得分

5其他與EFA相關(guān)的包

FactoMineR包不僅提供了PCA和EFA方法，還包含潛變量模型。

FaiR包用遺傳算法來(lái)估計(jì)因子分析模型。

GPArotation包則提供了許多因子旋轉(zhuǎn)方法。

nFactors包提供了用來(lái)判斷因子數(shù)目的許多復(fù)雜方法