數(shù)據(jù)分析中缺失值的處理方法

1、缺失值的分類

按照數(shù)據(jù)缺失機(jī)制可分為：

(1)   完全隨機(jī)缺失(missing completely at random, MCAR)

所缺失的數(shù)據(jù)發(fā)生的概率既與已觀察到的數(shù)據(jù)無(wú)關(guān),也與未觀察到的數(shù)據(jù)無(wú)關(guān).

(2)   隨機(jī)缺失(missing at random, MAR)

假設(shè)缺失數(shù)據(jù)發(fā)生的概率與所觀察到的變量是有關(guān)的,而與未觀察到的數(shù)據(jù)的特征是無(wú)關(guān)的

MCAR與MAR均被稱為是可忽略的缺失形式.

(3) 不可忽略的缺失(non-ignorable missing ,NIM)亦稱為非隨機(jī)缺失(not missing at random, NMAR),也有研究將其稱為MNAR(missing not at random)

如果不完全變量中數(shù)據(jù)的缺失既依賴于完全變量又依賴于不完全變量本身,這種缺失即為不可忽略的缺失.

2、缺失值的處理方法

對(duì)于缺失值的處理，從總體上來說分為刪除存在缺失值的個(gè)案和缺失值插補(bǔ)。對(duì)于主觀數(shù)據(jù)，人將影響數(shù)據(jù)的真實(shí)性，存在缺失值的樣本的其他屬性的真實(shí)值不能保證，那么依賴于這些屬性值的插補(bǔ)也是不可靠的，所以對(duì)于主觀數(shù)據(jù)一般不推薦插補(bǔ)的方法。插補(bǔ)主要是針對(duì)客觀數(shù)據(jù)，它的可靠性有保證。

1.刪除含有缺失值的個(gè)案

有簡(jiǎn)單刪除法和權(quán)重法。簡(jiǎn)單刪除法是對(duì)缺失值進(jìn)行處理的最原始方法。它將存在缺失值的個(gè)案刪除。如果數(shù)據(jù)缺失問題可以通過簡(jiǎn)單的刪除小部分樣本來達(dá)到目標(biāo)，那么這個(gè)方法是最有效的。當(dāng)缺失值的類型為非完全隨機(jī)缺失的時(shí)候，可以通過對(duì)完整的數(shù)據(jù)加權(quán)來減小偏差。把數(shù)據(jù)不完全的個(gè)案標(biāo)記后，將完整的數(shù)據(jù)個(gè)案賦予不同的權(quán)重，個(gè)案的權(quán)重可以通過logistic或probit回歸求得。如果解釋變量中存在對(duì)權(quán)重估計(jì)起決定行因素的變量，那么這種方法可以有效減小偏差。如果解釋變量和權(quán)重并不相關(guān)，它并不能減小偏差。對(duì)于存在多個(gè)屬性缺失的情況，就需要對(duì)不同屬性的缺失組合賦不同的權(quán)重，這將大大增加計(jì)算的難度，降低預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性，這時(shí)權(quán)重法并不理想。

2.可能值插補(bǔ)缺失值

它的思想來源是以最可能的值來插補(bǔ)缺失值比全部刪除不完全樣本所產(chǎn)生的信息丟失要少。在數(shù)據(jù)挖掘中，面對(duì)的通常是大型的數(shù)據(jù)庫(kù)，它的屬性有幾十個(gè)甚至幾百個(gè)，因?yàn)橐粋€(gè)屬性值的缺失而放棄大量的其他屬性值，這種刪除是對(duì)信息的極大浪費(fèi)，所以產(chǎn)生了以可能值對(duì)缺失值進(jìn)行插補(bǔ)的思想與方法。常用的有如下幾種方法。

(1)均值插補(bǔ)。數(shù)據(jù)的屬性分為定距型和非定距型。如果缺失值是定距型的，就以該屬性存在值的平均值來插補(bǔ)缺失的值；如果缺失值是非定距型的，就根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)中的眾數(shù)原理，用該屬性的眾數(shù)(即出現(xiàn)頻率最高的值)來補(bǔ)齊缺失的值。

(2)利用同類均值插補(bǔ)。同均值插補(bǔ)的方法都屬于單值插補(bǔ)，不同的是，它用層次聚類模型預(yù)測(cè)缺失變量的類型，再以該類型的均值插補(bǔ)。假設(shè)X= (X1,X2…Xp)為信息完全的變量，Y為存在缺失值的變量，那么首先對(duì)X或其子集行聚類，然后按缺失個(gè)案所屬類來插補(bǔ)不同類的均值。如果在以后統(tǒng)計(jì)分析中還需以引入的解釋變量和Y做分析，那么這種插補(bǔ)方法將在模型中引入自相關(guān)，給分析造成障礙。

(3)極大似然估計(jì)（Max Likelihood ,ML）。在缺失類型為隨機(jī)缺失的條件下，假設(shè)模型對(duì)于完整的樣本是正確的，那么通過觀測(cè)數(shù)據(jù)的邊際分布可以對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行極大似然估計(jì)（Little and Rubin）。這種方法也被稱為忽略缺失值的極大似然估計(jì)，對(duì)于極大似然的參數(shù)估計(jì)實(shí)際中常采用的計(jì)算方法是期望值最大化(Expectation Maximization，EM）。該方法比刪除個(gè)案和單值插補(bǔ)更有吸引力，它一個(gè)重要前提：適用于大樣本。有效樣本的數(shù)量足夠以保證ML估計(jì)值是漸近無(wú)偏的并服從正態(tài)分布。但是這種方法可能會(huì)陷入局部極值，收斂速度也不是很快，并且計(jì)算很復(fù)雜。

(4)多重插補(bǔ)（Multiple Imputation，MI）。多值插補(bǔ)的思想來源于貝葉斯估計(jì)，認(rèn)為待插補(bǔ)的值是隨機(jī)的，它的值來自于已觀測(cè)到的值。具體實(shí)踐上通常是估計(jì)出待插補(bǔ)的值，然后再加上不同的噪聲，形成多組可選插補(bǔ)值。根據(jù)某種選擇依據(jù)，選取最合適的插補(bǔ)值。

多重插補(bǔ)方法分為三個(gè)步驟：①為每個(gè)空值產(chǎn)生一套可能的插補(bǔ)值，這些值反映了無(wú)響應(yīng)模型的不確定性；每個(gè)值都可以被用來插補(bǔ)數(shù)據(jù)集中的缺失值，產(chǎn)生若干個(gè)完整數(shù)據(jù)集合。②每個(gè)插補(bǔ)數(shù)據(jù)集合都用針對(duì)完整數(shù)據(jù)集的統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。③對(duì)來自各個(gè)插補(bǔ)數(shù)據(jù)集的結(jié)果，根據(jù)評(píng)分函數(shù)進(jìn)行選擇，產(chǎn)生最終的插補(bǔ)值。

假設(shè)一組數(shù)據(jù)，包括三個(gè)變量Y1，Y2，Y3，它們的聯(lián)合分布為正態(tài)分布，將這組數(shù)據(jù)處理成三組，A組保持原始數(shù)據(jù)，B組僅缺失Y3，C組缺失Y1和Y2。在多值插補(bǔ)時(shí)，對(duì)A組將不進(jìn)行任何處理，對(duì)B組產(chǎn)生Y3的一組估計(jì)值（作Y3關(guān)于Y1，Y2的回歸），對(duì)C組作產(chǎn)生Y1和Y2的一組成對(duì)估計(jì)值（作Y1，Y2關(guān)于Y3的回歸）。

當(dāng)用多值插補(bǔ)時(shí)，對(duì)A組將不進(jìn)行處理，對(duì)B、C組將完整的樣本隨機(jī)抽取形成為m組（m為可選擇的m組插補(bǔ)值），每組個(gè)案數(shù)只要能夠有效估計(jì)參數(shù)就可以了。對(duì)存在缺失值的屬性的分布作出估計(jì)，然后基于這m組觀測(cè)值，對(duì)于這m組樣本分別產(chǎn)生關(guān)于參數(shù)的m組估計(jì)值，給出相應(yīng)的預(yù)測(cè)即，這時(shí)采用的估計(jì)方法為極大似然法，在計(jì)算機(jī)中具體的實(shí)現(xiàn)算法為期望最大化法（EM）。對(duì)B組估計(jì)出一組Y3的值，對(duì)C將利用 Y1,Y2,Y3它們的聯(lián)合分布為正態(tài)分布這一前提，估計(jì)出一組(Y1，Y2）。

上例中假定了Y1,Y2,Y3的聯(lián)合分布為正態(tài)分布。這個(gè)假設(shè)是人為的，但是已經(jīng)通過驗(yàn)證（Graham和Schafer于1999），非正態(tài)聯(lián)合分布的變量，在這個(gè)假定下仍然可以估計(jì)到很接近真實(shí)值的結(jié)果。

多重插補(bǔ)和貝葉斯估計(jì)的思想是一致的，但是多重插補(bǔ)彌補(bǔ)了貝葉斯估計(jì)的幾個(gè)不足。

(1)貝葉斯估計(jì)以極大似然的方法估計(jì)，極大似然的方法要求模型的形式必須準(zhǔn)確，如果參數(shù)形式不正確，將得到錯(cuò)誤得結(jié)論，即先驗(yàn)分布將影響后驗(yàn)分布的準(zhǔn)確性。而多重插補(bǔ)所依據(jù)的是大樣本漸近完整的數(shù)據(jù)的理論，在數(shù)據(jù)挖掘中的數(shù)據(jù)量都很大，先驗(yàn)分布將極小的影響結(jié)果，所以先驗(yàn)分布的對(duì)結(jié)果的影響不大。

(2)貝葉斯估計(jì)僅要求知道未知參數(shù)的先驗(yàn)分布，沒有利用與參數(shù)的關(guān)系。而多重插補(bǔ)對(duì)參數(shù)的聯(lián)合分布作出了估計(jì)，利用了參數(shù)間的相互關(guān)系。

以上四種插補(bǔ)方法，對(duì)于缺失值的類型為隨機(jī)缺失的插補(bǔ)有很好的效果。兩種均值插補(bǔ)方法是最容易實(shí)現(xiàn)的，也是以前人們經(jīng)常使用的，但是它對(duì)樣本存在極大的干擾，尤其是當(dāng)插補(bǔ)后的值作為解釋變量進(jìn)行回歸時(shí)，參數(shù)的估計(jì)值與真實(shí)值的偏差很大。相比較而言，極大似然估計(jì)和多重插補(bǔ)是兩種比較好的插補(bǔ)方法，與多重插補(bǔ)對(duì)比，極大似然缺少不確定成分，所以越來越多的人傾向于使用多重插補(bǔ)方法。