利用SPSS箱線(xiàn)圖與Z分?jǐn)?shù)法判別異常值的比較

箱線(xiàn)圖前提不要求正態(tài)分布，而Z分?jǐn)?shù)法前提要求正態(tài)分布。

箱線(xiàn)圖（Boxplot）也稱(chēng)箱須圖（Box-whisker Plot），是利用數(shù)據(jù)中的五個(gè)統(tǒng)計(jì)量：最小值、第一四分位數(shù)、中位數(shù)、第三四分位數(shù)與最大值來(lái)描述數(shù)據(jù)的一種方法，它也可以粗略地看出數(shù)據(jù)是否具有有對(duì)稱(chēng)性，分布的分散程度等信息，特別可以用于對(duì)幾個(gè)樣本的比較。

簡(jiǎn)單箱線(xiàn)圖由五部分組成，分別是最小值、中位數(shù)、最大值和兩個(gè)四分位數(shù)。

第一四分位數(shù)Q1：又稱(chēng)“下四分位數(shù)”，等于該樣本中所有數(shù)值由小到大排列后第25%的數(shù)字。

中位數(shù)F：又稱(chēng)第二四分位數(shù)(Q2)，又稱(chēng)“中位數(shù)”，等于該樣本中所有數(shù)值由小到大排列后第50%的數(shù)字。

第三四分位數(shù)：又稱(chēng)“上四分位數(shù)”，等于該樣本中所有數(shù)值由小到大排列后第75%的數(shù)字。

箱線(xiàn)圖判斷異常值的標(biāo)準(zhǔn)以四分位數(shù)和四分位距為基礎(chǔ)。
   四分位距(QR, Quartile range)：上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之間的間距，即上四分位數(shù)減去下四分位數(shù)。

F代表中位數(shù)，QR代表四分位距。

在Q3+1.5QR(四分位距)和Q1-1.5QR處畫(huà)兩條與中位線(xiàn)一樣的線(xiàn)段，這兩條線(xiàn)段為異常值截?cái)帱c(diǎn)，稱(chēng)其為內(nèi)限。

在F(中位數(shù))+3QR和F-3QR處畫(huà)兩條線(xiàn)段，稱(chēng)其為外限。

箱線(xiàn)圖功能：

1.直觀明了地識(shí)別數(shù)據(jù)批中的異常值

箱線(xiàn)圖為我們提供了識(shí)別異常值的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：異常值被定義為小于Q1－1.5IQR或大于Q3＋1.5IQR的值。雖然這種標(biāo)準(zhǔn)有點(diǎn)任意性，但它來(lái)源于經(jīng)驗(yàn)判斷，經(jīng)驗(yàn)表明它在處理需要特別注意的數(shù)據(jù)方面表現(xiàn)不錯(cuò)。這與識(shí)別異常值的經(jīng)典方法有些不同。眾所周知，基于正態(tài)分布的3σ法則或z分?jǐn)?shù)方法是以假定數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布為前提的，但實(shí)際數(shù)據(jù)往往并不嚴(yán)格服從正態(tài)分布。它們判斷異常值的標(biāo)準(zhǔn)是以計(jì)算數(shù)據(jù)批的均值和標(biāo)準(zhǔn)差為基礎(chǔ)的，而均值和標(biāo)準(zhǔn)差的耐抗性極小，異常值本身會(huì)對(duì)它們產(chǎn)生較大影響，這樣產(chǎn)生的異常值個(gè)數(shù)不會(huì)多于總數(shù)0.7%。顯然，應(yīng)用這種方法于非正態(tài)分布數(shù)據(jù)中判斷異常值，其有效性是有限的。箱線(xiàn)圖的繪制依靠實(shí)際數(shù)據(jù)，不需要事先假定數(shù)據(jù)服從特定的分布形式，沒(méi)有對(duì)數(shù)據(jù)作任何限制性要求，它只是真實(shí)直觀地表現(xiàn)數(shù)據(jù)形狀的本來(lái)面貌；另一方面，箱線(xiàn)圖判斷異常值的標(biāo)準(zhǔn)以四分位數(shù)和四分位距為基礎(chǔ)，四分位數(shù)具有一定的耐抗性，多達(dá)25%的數(shù)據(jù)可以變得任意遠(yuǎn)而不會(huì)很大地?cái)_動(dòng)四分位數(shù)，所以異常值不能對(duì)這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)施加影響，箱線(xiàn)圖識(shí)別異常值的結(jié)果比較客觀。由此可見(jiàn)，箱線(xiàn)圖在識(shí)別異常值方面有一定的優(yōu)越性。

2.利用箱線(xiàn)圖判斷數(shù)據(jù)批的偏態(tài)和尾重

比較標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布、不同自由度的t分布和非對(duì)稱(chēng)分布數(shù)據(jù)的箱線(xiàn)圖的特征，可以發(fā)現(xiàn)：對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的大樣本，只有 0.7%的值是異常值,中位數(shù)位于上下四分位數(shù)的中央,箱線(xiàn)圖的方盒關(guān)于中位線(xiàn)對(duì)稱(chēng)。選取不同自由度的t分布的大樣本，代表對(duì)稱(chēng)重尾分布，當(dāng)t分布的自由度越小，尾部越重，就有越大的概率觀察到異常值。以卡方分布作為非對(duì)稱(chēng)分布的例子進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)當(dāng)卡方分布的自由度越小，異常值出現(xiàn)于一側(cè)的概率越大，中位數(shù)也越偏離上下四分位數(shù)的中心位置，分布偏態(tài)性越強(qiáng)。異常值集中在較小值一側(cè)，則分布呈現(xiàn)左偏態(tài)；；異常值集中在較大值一側(cè)，則分布呈現(xiàn)右偏態(tài)。下表列出了幾種分布的樣本數(shù)據(jù)箱線(xiàn)圖的特征（樣本數(shù)據(jù)由SAS的隨機(jī)數(shù)生成函數(shù)自動(dòng)生成），驗(yàn)證了上述規(guī)律。這個(gè)規(guī)律揭示了數(shù)據(jù)批分布偏態(tài)和尾重的部分信息，盡管它們不能給出偏態(tài)和尾重程度的精確度量，但可作為我們粗略估計(jì)的依據(jù)。

3.利用箱線(xiàn)圖比較幾批數(shù)據(jù)的形狀

同一數(shù)軸上，幾批數(shù)據(jù)的箱線(xiàn)圖并行排列，幾批數(shù)據(jù)的中位數(shù)、尾長(zhǎng)、異常值、分布區(qū)間等形狀信息便昭然若揭。在一批數(shù)據(jù)中，哪幾個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)出類(lèi)拔萃，哪些數(shù)據(jù)點(diǎn)表現(xiàn)不及一般，這些數(shù)據(jù)點(diǎn)放在同類(lèi)其它群體中處于什么位置，可以通過(guò)比較各箱線(xiàn)圖的異常值看出。各批數(shù)據(jù)的四分位距大小，正常值的分布是集中還是分散，觀察各方盒和線(xiàn)段的長(zhǎng)短便可明了。每批數(shù)據(jù)分布的偏態(tài)如何，分析中位線(xiàn)和異常值的位置也可估計(jì)出來(lái)。還有一些箱線(xiàn)圖的變種，使數(shù)據(jù)批間的比較更加直觀明白。例如有一種可變寬度的箱線(xiàn)圖，使箱的寬度正比于批量的平方根，從而使批量大的數(shù)據(jù)批有面積大的箱，面積大的箱有適當(dāng)?shù)囊曈X(jué)效果。如果對(duì)同類(lèi)群體的幾批數(shù)據(jù)的箱線(xiàn)圖進(jìn)行比較，分析評(píng)價(jià)，便是常模參照解釋方法的可視圖示；如果把受測(cè)者數(shù)據(jù)批的箱線(xiàn)圖與外在效標(biāo)數(shù)據(jù)批的箱線(xiàn)圖比較分析，便是效標(biāo)參照解釋的可視圖示。箱線(xiàn)圖結(jié)合這些分析方法用于質(zhì)量管理、人事測(cè)評(píng)、探索性數(shù)據(jù)分析等統(tǒng)計(jì)分析活動(dòng)中去，有助于分析過(guò)程的簡(jiǎn)便快捷，其作用顯而易見(jiàn)。

箱線(xiàn)圖應(yīng)用舉例：

現(xiàn)有某直銷(xiāo)中心30名員工的工資測(cè)算數(shù)據(jù)兩批，第一批為工資調(diào)整前的數(shù)據(jù)，第二批為工資調(diào)整后的數(shù)據(jù)，繪出它們的箱線(xiàn)圖（如下圖），進(jìn)行比較，可以很容易地得出：工資調(diào)整前，總體水平在 752元左右，四分位距為307.5，沒(méi)有異常值。經(jīng)過(guò)調(diào)整后，箱線(xiàn)圖顯示，第2、29、10、24、27號(hào)為溫和的異常值，第26、30、28號(hào)為極端的異常值。為什么會(huì)出現(xiàn)異常值呢？經(jīng)過(guò)進(jìn)一步分析知道，第2、29、10、24號(hào)員工由于技能強(qiáng)、工齡長(zhǎng)、積累貢獻(xiàn)大、表現(xiàn)較好，勞苦功高，理應(yīng)得到較高的報(bào)酬；第27、26、30、28號(hào)職工則因?yàn)榧寄芷汀⒐g短、積累貢獻(xiàn)小且表現(xiàn)較差，得到的工資較低，甚至連一般水平也難以達(dá)到。這體現(xiàn)了工資調(diào)整的獎(jiǎng)優(yōu)罰劣原則。另外，調(diào)整后工資總體水平比調(diào)整前高出270元，四分位距為106，工資分布比調(diào)整前更加集中，在合適的范圍內(nèi)既拉開(kāi)了差距，又不至于差距太懸殊，還針對(duì)特殊情況進(jìn)行了特殊處理。這種工資分布具有激勵(lì)作用，可以說(shuō)工資調(diào)整達(dá)到預(yù)期目的。

箱線(xiàn)圖美中不足之處在于它不能提供關(guān)于數(shù)據(jù)分布偏態(tài)和尾重程度的精確度量；對(duì)于批量較大的數(shù)據(jù)批，箱線(xiàn)圖反映的形狀信息更加模糊；用中位數(shù)代表總體平均水平有一定的局限性等等。所以，應(yīng)用箱線(xiàn)圖最好結(jié)合其它描述統(tǒng)計(jì)工具如均值、標(biāo)準(zhǔn)差、偏度、分布函數(shù)等來(lái)描述數(shù)據(jù)批的分布形狀。