利用SPSS箱線圖與Z分數(shù)法判別異常值的比較

箱線圖前提不要求正態(tài)分布，而Z分數(shù)法前提要求正態(tài)分布。

箱線圖（Boxplot）也稱箱須圖（Box-whisker Plot），是利用數(shù)據(jù)中的五個統(tǒng)計量：最小值、第一四分位數(shù)、中位數(shù)、第三四分位數(shù)與最大值來描述數(shù)據(jù)的一種方法，它也可以粗略地看出數(shù)據(jù)是否具有有對稱性，分布的分散程度等信息，特別可以用于對幾個樣本的比較。

簡單箱線圖由五部分組成，分別是最小值、中位數(shù)、最大值和兩個四分位數(shù)。

第一四分位數(shù)Q1：又稱“下四分位數(shù)”，等于該樣本中所有數(shù)值由小到大排列后第25%的數(shù)字。

中位數(shù)F：又稱第二四分位數(shù)(Q2)，又稱“中位數(shù)”，等于該樣本中所有數(shù)值由小到大排列后第50%的數(shù)字。

第三四分位數(shù)：又稱“上四分位數(shù)”，等于該樣本中所有數(shù)值由小到大排列后第75%的數(shù)字。

箱線圖判斷異常值的標準以四分位數(shù)和四分位距為基礎。
   四分位距(QR, Quartile range)：上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之間的間距，即上四分位數(shù)減去下四分位數(shù)。

F代表中位數(shù)，QR代表四分位距。

在Q3+1.5QR(四分位距)和Q1-1.5QR處畫兩條與中位線一樣的線段，這兩條線段為異常值截斷點，稱其為內限。

在F(中位數(shù))+3QR和F-3QR處畫兩條線段，稱其為外限。

箱線圖功能：

1.直觀明了地識別數(shù)據(jù)批中的異常值

箱線圖為我們提供了識別異常值的一個標準：異常值被定義為小于Q1－1.5IQR或大于Q3＋1.5IQR的值。雖然這種標準有點任意性，但它來源于經(jīng)驗判斷，經(jīng)驗表明它在處理需要特別注意的數(shù)據(jù)方面表現(xiàn)不錯。這與識別異常值的經(jīng)典方法有些不同。眾所周知，基于正態(tài)分布的3σ法則或z分數(shù)方法是以假定數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布為前提的，但實際數(shù)據(jù)往往并不嚴格服從正態(tài)分布。它們判斷異常值的標準是以計算數(shù)據(jù)批的均值和標準差為基礎的，而均值和標準差的耐抗性極小，異常值本身會對它們產(chǎn)生較大影響，這樣產(chǎn)生的異常值個數(shù)不會多于總數(shù)0.7%。顯然，應用這種方法于非正態(tài)分布數(shù)據(jù)中判斷異常值，其有效性是有限的。箱線圖的繪制依靠實際數(shù)據(jù)，不需要事先假定數(shù)據(jù)服從特定的分布形式，沒有對數(shù)據(jù)作任何限制性要求，它只是真實直觀地表現(xiàn)數(shù)據(jù)形狀的本來面貌；另一方面，箱線圖判斷異常值的標準以四分位數(shù)和四分位距為基礎，四分位數(shù)具有一定的耐抗性，多達25%的數(shù)據(jù)可以變得任意遠而不會很大地擾動四分位數(shù)，所以異常值不能對這個標準施加影響，箱線圖識別異常值的結果比較客觀。由此可見，箱線圖在識別異常值方面有一定的優(yōu)越性。

2.利用箱線圖判斷數(shù)據(jù)批的偏態(tài)和尾重

比較標準正態(tài)分布、不同自由度的t分布和非對稱分布數(shù)據(jù)的箱線圖的特征，可以發(fā)現(xiàn)：對于標準正態(tài)分布的大樣本，只有 0.7%的值是異常值,中位數(shù)位于上下四分位數(shù)的中央,箱線圖的方盒關于中位線對稱。選取不同自由度的t分布的大樣本，代表對稱重尾分布，當t分布的自由度越小，尾部越重，就有越大的概率觀察到異常值。以卡方分布作為非對稱分布的例子進行分析，發(fā)現(xiàn)當卡方分布的自由度越小，異常值出現(xiàn)于一側的概率越大，中位數(shù)也越偏離上下四分位數(shù)的中心位置，分布偏態(tài)性越強。異常值集中在較小值一側，則分布呈現(xiàn)左偏態(tài)；；異常值集中在較大值一側，則分布呈現(xiàn)右偏態(tài)。下表列出了幾種分布的樣本數(shù)據(jù)箱線圖的特征（樣本數(shù)據(jù)由SAS的隨機數(shù)生成函數(shù)自動生成），驗證了上述規(guī)律。這個規(guī)律揭示了數(shù)據(jù)批分布偏態(tài)和尾重的部分信息，盡管它們不能給出偏態(tài)和尾重程度的精確度量，但可作為我們粗略估計的依據(jù)。

3.利用箱線圖比較幾批數(shù)據(jù)的形狀

同一數(shù)軸上，幾批數(shù)據(jù)的箱線圖并行排列，幾批數(shù)據(jù)的中位數(shù)、尾長、異常值、分布區(qū)間等形狀信息便昭然若揭。在一批數(shù)據(jù)中，哪幾個數(shù)據(jù)點出類拔萃，哪些數(shù)據(jù)點表現(xiàn)不及一般，這些數(shù)據(jù)點放在同類其它群體中處于什么位置，可以通過比較各箱線圖的異常值看出。各批數(shù)據(jù)的四分位距大小，正常值的分布是集中還是分散，觀察各方盒和線段的長短便可明了。每批數(shù)據(jù)分布的偏態(tài)如何，分析中位線和異常值的位置也可估計出來。還有一些箱線圖的變種，使數(shù)據(jù)批間的比較更加直觀明白。例如有一種可變寬度的箱線圖，使箱的寬度正比于批量的平方根，從而使批量大的數(shù)據(jù)批有面積大的箱，面積大的箱有適當?shù)囊曈X效果。如果對同類群體的幾批數(shù)據(jù)的箱線圖進行比較，分析評價，便是常模參照解釋方法的可視圖示；如果把受測者數(shù)據(jù)批的箱線圖與外在效標數(shù)據(jù)批的箱線圖比較分析，便是效標參照解釋的可視圖示。箱線圖結合這些分析方法用于質量管理、人事測評、探索性數(shù)據(jù)分析等統(tǒng)計分析活動中去，有助于分析過程的簡便快捷，其作用顯而易見。

箱線圖應用舉例：

現(xiàn)有某直銷中心30名員工的工資測算數(shù)據(jù)兩批，第一批為工資調整前的數(shù)據(jù)，第二批為工資調整后的數(shù)據(jù)，繪出它們的箱線圖（如下圖），進行比較，可以很容易地得出：工資調整前，總體水平在 752元左右，四分位距為307.5，沒有異常值。經(jīng)過調整后，箱線圖顯示，第2、29、10、24、27號為溫和的異常值，第26、30、28號為極端的異常值。為什么會出現(xiàn)異常值呢？經(jīng)過進一步分析知道，第2、29、10、24號員工由于技能強、工齡長、積累貢獻大、表現(xiàn)較好，勞苦功高，理應得到較高的報酬；第27、26、30、28號職工則因為技能偏低、工齡短、積累貢獻小且表現(xiàn)較差，得到的工資較低，甚至連一般水平也難以達到。這體現(xiàn)了工資調整的獎優(yōu)罰劣原則。另外，調整后工資總體水平比調整前高出270元，四分位距為106，工資分布比調整前更加集中，在合適的范圍內既拉開了差距，又不至于差距太懸殊，還針對特殊情況進行了特殊處理。這種工資分布具有激勵作用，可以說工資調整達到預期目的。

箱線圖美中不足之處在于它不能提供關于數(shù)據(jù)分布偏態(tài)和尾重程度的精確度量；對于批量較大的數(shù)據(jù)批，箱線圖反映的形狀信息更加模糊；用中位數(shù)代表總體平均水平有一定的局限性等等。所以，應用箱線圖最好結合其它描述統(tǒng)計工具如均值、標準差、偏度、分布函數(shù)等來描述數(shù)據(jù)批的分布形狀。