SPSS教程:單因素多元方差分析(One-way MANOVA)

一、問題與數(shù)據(jù)

研究者想知道三所初中的學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)是否不同，因此從A、B、C三所學(xué)校隨機(jī)選擇20名學(xué)生，并記錄了他們期末的英語成績(jī)和數(shù)學(xué)成績(jī)（英語成績(jī)記為English_Score，數(shù)學(xué)成績(jī)記為Math_Score）。自變量是School，即學(xué)生來自的初中，分為三組，分別為School A、School B和School C。部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：

二、對(duì)問題的分析

使用多元方差分析法進(jìn)行分析時(shí)，需要考慮10個(gè)假設(shè)。

對(duì)研究設(shè)計(jì)的假設(shè)：

1.因變量有2個(gè)或以上，為連續(xù)變量；

2.有一個(gè)自變量，為二分類或多分類變量；

3.各觀察對(duì)象之間相互獨(dú)立。

對(duì)數(shù)據(jù)的假設(shè)：

4.沒有單因素離群值（univariate outliers）與多因素離群值（multivariate outliers）：?jiǎn)我蛩仉x群值是指自變量的各個(gè)組中因變量是否是離群值；多因素離群值是指每個(gè)研究對(duì)象（case）的各因變量組合是否是一個(gè)離群值；

5.各因變量服從多元正態(tài)分布；

6.各因變量之間沒有多重共線性；

7.自變量的各個(gè)組內(nèi)，各因變量之間存在線性關(guān)系；

8.樣本量足夠；

9.各組觀察對(duì)象因變量的方差協(xié)方差矩陣相等；

10.每個(gè)因變量在自變量的各個(gè)組中方差相等。 

三、對(duì)假設(shè)的判斷

那么，進(jìn)行多元方差進(jìn)行分析時(shí)，如何考慮和處理這10個(gè)假設(shè)呢？

由于假設(shè)1-3都是對(duì)研究設(shè)計(jì)的假設(shè)，需要研究者根據(jù)研究設(shè)計(jì)進(jìn)行判斷，所以我們主要對(duì)數(shù)據(jù)的假設(shè)4-10進(jìn)行檢驗(yàn)。

(一) 檢驗(yàn)假設(shè)4、5：是否存在單因素離群值、各因變量是否服從多元正態(tài)分布

1.在主菜單點(diǎn)擊 Analyze > Descriptive Statistics > Explore...，如下圖：

2.將English_Score和Math_Score選入Dependent List，將School選入Factor List，點(diǎn)擊Plots；

3.出現(xiàn)下圖Plots對(duì)話框；

4.在Boxplots下選擇Dependents together，去掉Descriptive下Stem-和-leaf，選擇Normality plots with tests，點(diǎn)擊Continue，點(diǎn)擊OK。

檢驗(yàn)假設(shè)4：是否存在單因素離群值

1.在輸出的箱式圖中，如下圖所示，距離箱子邊緣超過1.5倍箱身長(zhǎng)度的數(shù)據(jù)點(diǎn)定義為離群值，在本例中，未發(fā)現(xiàn)離群值。

2.為了方便進(jìn)一步的理解，下面圖示是有離群值的箱式圖，上下邊緣超過1.5倍箱式長(zhǎng)度為離群值，如下圖所示，用“圓圈”表示，右上標(biāo)為離群值在數(shù)據(jù)表中所對(duì)應(yīng)的行數(shù)，以圓點(diǎn)表示；將距離箱子邊緣超過3倍箱身長(zhǎng)度的數(shù)據(jù)點(diǎn)定義為極端值（極端離群值），用“*”表示，右上標(biāo)代表離群值在數(shù)據(jù)表中所對(duì)應(yīng)的行數(shù)。因此，在箱式圖中查看離群值時(shí)，可以直接看“圓圈”或“*”。

3.離群值的處理

數(shù)據(jù)中存在離群值的原因有3種：

(1) 數(shù)據(jù)錄入錯(cuò)誤：首先應(yīng)該考慮離群值是否由于數(shù)據(jù)錄入錯(cuò)誤所致。如果是，用正確值進(jìn)行替換并重新進(jìn)行檢驗(yàn)；

(2) 測(cè)量誤差：如果不是由于數(shù)據(jù)錄入錯(cuò)誤，接下來考慮是否因?yàn)闇y(cè)量誤差導(dǎo)致（如儀器故障或超過量程），測(cè)量誤差往往不能修正，需要把測(cè)量錯(cuò)誤的數(shù)據(jù)刪除；

(3) 真實(shí)存在的離群值：如果以上兩種原因都不是，那最有可能是一種真實(shí)的極端數(shù)據(jù)。這種離群值不好處理，但也沒有理由將其當(dāng)作無效值看待。目前它的處理方法比較有爭(zhēng)議，尚沒有一種特別推薦的方法。

需要注意的是，如果存在多個(gè)離群值，應(yīng)先把最極端的離群值去掉后，重新檢查離群值情況。這是因?yàn)橛袝r(shí)最極端離群值去掉后，其他離群值可能會(huì)回歸正常。

離群值的處理方法分為2種：

(1) 保留離群值：

1) 對(duì)因變量進(jìn)行數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換；

2) 將離群值納入分析，并堅(jiān)信其對(duì)結(jié)果不會(huì)產(chǎn)生實(shí)質(zhì)影響。

(2) 剔除離群值：

直接刪除離群值很簡(jiǎn)單，但卻是沒有辦法的辦法。當(dāng)我們需要?jiǎng)h掉離群值時(shí)，應(yīng)報(bào)告離群值大小及其對(duì)結(jié)果的影響，最好分別報(bào)告刪除離群值前后的結(jié)果。而且，應(yīng)該考慮有離群值的個(gè)體是否符合研究的納入標(biāo)準(zhǔn)。如果其不屬于合格的研究對(duì)象，應(yīng)將其剔除，否則會(huì)影響結(jié)果的推論。

檢驗(yàn)假設(shè)5：各因變量是否服從多元正態(tài)分布

1.對(duì)于樣本量較小(<50例)的研究，推薦使用Shapiro-Wilk 方法檢驗(yàn)正態(tài)性。當(dāng)P<0.05時(shí)，認(rèn)為不是正態(tài)分布。本例中，P均大于0.05，說明每所學(xué)校的英語成績(jī)和數(shù)學(xué)成績(jī)均服從正態(tài)分布。

2.不服從正態(tài)分布的處理

如果數(shù)據(jù)不服從正態(tài)分布，可以有如下2種方法進(jìn)行處理：

(1) 數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換：對(duì)轉(zhuǎn)換后呈正態(tài)分布的數(shù)據(jù)進(jìn)行方差分析。當(dāng)各組因變量的分布相同時(shí)，正態(tài)轉(zhuǎn)換才有可能成功。對(duì)于一些常見的分布，有特定的轉(zhuǎn)換形式，但是轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)結(jié)果可能較難解釋。

(2) 直接進(jìn)行分析：由于多元方差分析對(duì)于偏離正態(tài)分布有一定的抗性，尤其是在各組樣本量相等或近似相等的情況下，而且非正態(tài)分布實(shí)質(zhì)上并不影響犯I型錯(cuò)誤的概率。因此可以直接進(jìn)行檢驗(yàn)，但是結(jié)果中需要報(bào)告對(duì)正態(tài)分布的偏離。

(二) 檢驗(yàn)假設(shè)6：各因變量之間是否存在多重共線性

1.在主菜單下點(diǎn)擊 Correlate > Bivariate...，如下圖所示：

2.將English_Score和Math_Score選入Variables，點(diǎn)擊OK。

3.結(jié)果如下圖所示，可以看到English_Score和Math_Score的Pearson相關(guān)系數(shù)。理想狀態(tài)下，在做多元方差分析時(shí)，各個(gè)因變量之間應(yīng)該存在一定程度的相關(guān)關(guān)系，但相關(guān)性不能太強(qiáng)，如果相關(guān)性太強(qiáng)（高于0.9），則存在多重共線性，多元方差分析的假設(shè)則不再滿足。

在下表中English_Score和Math_Score的Pearson相關(guān)系數(shù)為0.393，兩因變量間存在輕度的相關(guān)關(guān)系，不存在多重共線性（|r| < 0.9）。

4.存在多重共線性的處理方法

如果數(shù)據(jù)具有多重共線性，可以有如下2種方法進(jìn)行處理：

(1) 刪除具有多重共線性的一個(gè)因變量，也是最常用的方法；

(2) 可以通過主成分分析將具有多重共線性的多個(gè)因變量匯總成一個(gè)新的因變量。

(三) 檢驗(yàn)假設(shè)7：自變量的各個(gè)組內(nèi)，各因變量之間存在線性關(guān)系

1.在主菜單下點(diǎn)擊Data > Split File... ，如下圖所示：

2.出現(xiàn)下圖Split File對(duì)話框；

3.點(diǎn)擊Organize output by groups，將School選入Groups Based on下的框內(nèi)，點(diǎn)擊OK。

4.在主菜單點(diǎn)擊 Graphs > Chart Builder...，如下圖所示：

5.出現(xiàn)Chart Builder對(duì)話框

6.從Choose from選擇Scatter/Dot，在中下部的8種圖形中，選擇下數(shù)第三個(gè)（如果點(diǎn)擊這個(gè)圖標(biāo)會(huì)出現(xiàn)“Scatterplot Matrix”字樣），并拖拽到主對(duì)話框中；

7.出現(xiàn)下圖：

8.將English_Score和Math_Score拖入主對(duì)話框中，下方會(huì)出現(xiàn) “+”標(biāo)記，如下圖所示； 

9.出現(xiàn)下圖，點(diǎn)擊OK

10.在下面輸出的結(jié)果中，不難看出，在A、B學(xué)校中，數(shù)學(xué)成績(jī)和英語成績(jī)均存在線性關(guān)系，然而，在C學(xué)校中， 線性關(guān)系難以判斷。為了后續(xù)進(jìn)行多元方差分析，我們?cè)诖私邮苊克鶎W(xué)校中數(shù)學(xué)成績(jī)和英語成績(jī)存在線性關(guān)系的假設(shè)。

注：如果不會(huì)判斷線性關(guān)系，可以參考下圖，從眼睛判斷大致的關(guān)系。

如果不存在線性關(guān)系，可以通過3種方式進(jìn)行處理：(1) 對(duì)1個(gè)或多個(gè)因變量進(jìn)行轉(zhuǎn)換；(2) 去除掉不存在線性關(guān)系的因變量； (3) 直接進(jìn)行分析，盡管統(tǒng)計(jì)效能會(huì)降低。

(四) 檢驗(yàn)假設(shè)4： 是否存在多因素離群值

在SPSS中，有許多方法可以檢驗(yàn)多因素離群值，但是在單因素多元方差分析中的多因素離群值，一般推薦用馬氏距離（Mahalanobis distance）來判斷是否存在多因素離群值。馬氏距離一般應(yīng)用于多因素回歸分析，在SPSS的Regression procedure中可以計(jì)算馬氏距離。

1.在步驟(三)數(shù)據(jù)拆分的情況下， 在主菜單下點(diǎn)擊 Analyze >Regression >Linear...，如下圖所示：

2.出現(xiàn)Linear Regression對(duì)話框，將subject_id選入Dependent框中，將English_Score和Maths_Score選入Independent(s)中，如下圖所示：

3.點(diǎn)擊Save，出現(xiàn)Linear Regression：Save對(duì)話框，點(diǎn)擊Distances下的Mahalanobis，即馬氏距離，點(diǎn)擊Continue，點(diǎn)擊OK。 

4.在主界面下，可以看到出現(xiàn)新變量MAH_1；

5.選中MAH_1變量，右鍵，選擇Sort Descending，對(duì)新變量進(jìn)行降序排列；

6.如下圖所示，是對(duì)馬氏距離降序排列后的數(shù)據(jù)界面；

7.馬氏距離需要根據(jù)下表中Critical Value進(jìn)行對(duì)比，下表中Critical Value是在α=0.001時(shí)不同變量數(shù)對(duì)應(yīng)的卡方分布的卡方值，由于本例中因變量有2個(gè)，對(duì)應(yīng)的Critical Value為13.82，而本例中馬氏距離最大值為6.67463<13.82，所以不存在多因素離群值。

如果存在多因素離群值，處理方法分為2種：

(1) 保留離群值：

1) 將因變量轉(zhuǎn)換成其他形式；

2) 將離群值納入分析，當(dāng)樣本量較大時(shí)，多元方差分析對(duì)多因素離群值較為穩(wěn)健。

(2) 剔除離群值：

直接刪除離群值很簡(jiǎn)單，是常用的辦法。當(dāng)我們需要?jiǎng)h掉離群值時(shí)，應(yīng)該注意一個(gè)離群值可能會(huì)掩蓋另一個(gè)離群值的存在。所以在刪除離群值后，應(yīng)重新進(jìn)行對(duì)假設(shè)的檢驗(yàn)。最后需要在結(jié)果中報(bào)告刪除的離群值和原因。

8.需要去除之前對(duì)數(shù)據(jù)的拆分。在主菜單下點(diǎn)擊Data > Split File...，如下圖所示：

9.出現(xiàn)Split File對(duì)話框，點(diǎn)擊Analyze all cases，do not create groups,點(diǎn)擊OK。

四、多元方差的SPSS操作

1.在主菜單下點(diǎn)擊Analyze >General Linear Model >Multivariate...，如下圖所示：

2.出現(xiàn)Multivariate對(duì)話框，將English_Score和Maths_Score選入Dependent Variables，將School選入Fixed Factor(s)，點(diǎn)擊Post Hoc；

3.出現(xiàn)Multivariate: Post Hoc Multiple Comparisons for Observed Means對(duì)話框，將School選入Post Hoc Tests for，在Equal Variances Assumed下方選擇Tukey，點(diǎn)擊Continue；

4.點(diǎn)擊Options，出現(xiàn)Multivariate: Options對(duì)話框，如下圖所示；

5.將School選入Display Means for:下方，勾選Display下方的Descriptive statistics、Estimates of effect size和Homogeneity tests，點(diǎn)擊Continue，點(diǎn)擊OK。

檢驗(yàn)假設(shè)8：樣本量足夠

多元方差分析中的樣本量足夠是指自變量的每組中的例數(shù)要不少于因變量個(gè)數(shù)，本例中因變量有2個(gè)，所以自變量每組中至少有2例才能滿足樣本量足夠的假設(shè)。在輸出的結(jié)果的Between-Subjects Factors表中可以看到每組20例，滿足條件。

檢驗(yàn)假設(shè)9：各組觀察對(duì)象因變量的方差協(xié)方差矩陣相等

在輸出的結(jié)果的Box's Test of Equality of Covariance Matrices表中，如果P<0.001，則違反了協(xié)方差矩陣相等的假設(shè)；如果P>0.001，則協(xié)方差矩陣相等的假設(shè)成立。

本例中，P=0.003>0.001, 所以各組觀察對(duì)象因變量的方差協(xié)方差矩陣相等的假設(shè)成立。大家可能注意到此時(shí)的顯著性水平是0.001而非0.05，這是由于該檢驗(yàn)的敏感性所以下調(diào)了顯著性水平。

檢驗(yàn)假設(shè)10：每個(gè)因變量在自變量的各個(gè)組中是否方差相等。

在輸出的結(jié)果的Levene's Test of Equality of Error Variances表中，該檢驗(yàn)中如果P<0.05，則方差不相等；如果P>0.05，則方程相等。本例中，P值均大于0.05，所以方差相等的假設(shè)成立。

如果檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)方差不等，有2種方法進(jìn)行處理：（1）對(duì)因變量進(jìn)行轉(zhuǎn)換，并重新進(jìn)行所有的檢驗(yàn)；（2）不進(jìn)行處理，并接受較低的α水平，即犯I類錯(cuò)誤的概率可能增大。

五、結(jié)果解釋

1. 描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果

(1) 在Descriptive Statistics表中，分別給出了三個(gè)英語成績(jī)和數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)谌鶎W(xué)校的均值、標(biāo)準(zhǔn)差和例數(shù)。A、B、C三所學(xué)校學(xué)生的英語成績(jī)（分別為75.6 ± 8.2，63.6 ± 6.6和59.8 ± 4.6）均高于他們的數(shù)學(xué)成績(jī)（分別為43.9 ± 8.5，40.8 ± 8.2和30.8 ± 7.7）。

(2) 在School表中，還給出了均值的置信區(qū)間，如下表所示，在此不做贅述。

2. 多元方差分析結(jié)果

(1)在Multivariate Tests表中，Pillai's Trace、Wilks' Lambda、 Hotelling's Trace和Roy's Largest Root為四個(gè)多元統(tǒng)計(jì)量，用于檢驗(yàn)組間差異。最常用的統(tǒng)計(jì)量為Wilks' Lambda，該檢驗(yàn)P<0.05時(shí)，自變量的組間差異具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

本例中F=17.675，P<0.001，Wilks' Lambda =0.376; partial η2=0.387，所以各學(xué)校的學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)存在的差異具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

(2)Tests of Between-Subjects Effects表實(shí)際上是對(duì)因變量單獨(dú)進(jìn)行一元方差分析的結(jié)果。

本例中共有2個(gè)因變量，所以α水平需要進(jìn)行校正，采用Bonferroni方法對(duì)顯著性水平α進(jìn)行校正，調(diào)整后的α水平為0.025（可參考下表）。

如下表中突出顯示的部分，來自不同學(xué)校的學(xué)生英語成績(jī)的差異具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，F(xiàn)=30.875，P<0.001，partial η2= 0.520。

如下表中突出顯示的部分，來自不同學(xué)校的學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的差異具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，F(xiàn)=14.295，P<0.001；partial η2=0.334。

(3)如果任何一個(gè)一元方差分析具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，就需要進(jìn)行多重比較。一般用Tukey post-hoc tests方法檢驗(yàn)。如果違反了方差相等的假設(shè)，可以用Games-Howell post-hoc test方法。

Tukey post-hoc檢驗(yàn)顯示，來自A學(xué)校的學(xué)生的英語平均成績(jī)顯著高于來自B（P<0.001）和C學(xué)校的學(xué)生（P<0.001），但未發(fā)現(xiàn)來自B學(xué)校的學(xué)生和來自C學(xué)校的學(xué)生英語平均成績(jī)存在差異（P=0.169）；

對(duì)于數(shù)學(xué)成績(jī)，Tukey post-hoc檢驗(yàn)顯示，來自C學(xué)校的學(xué)生數(shù)學(xué)平均成績(jī)顯著低于來自A學(xué)校（P<0.001）和B學(xué)校（P=0.001）的學(xué)生，但未發(fā)現(xiàn)來自A學(xué)校的學(xué)生和來自B學(xué)校的學(xué)生數(shù)學(xué)平均成績(jī)存在差異（P=0.443）。

此處詳細(xì)的解釋請(qǐng)參考：?jiǎn)我蛩?a href='/map/fangchafenxi/' style='color:#000;font-size:inherit;'>方差分析，我見過的最詳細(xì)SPSS教程。

(4)邊際均值與輪廓圖

除上述結(jié)果外，SPSS還給出了English_Score和Math_Score的邊際均值輪廓圖，較為直觀地反映各組因變量情況。邊際均值是值基于現(xiàn)有模型，當(dāng)控制了其他因素的作用時(shí)，根據(jù)樣本情況計(jì)算出的用于比較各水平的均值估計(jì)值。然而，該圖并沒有太大的參考價(jià)值，在此不作詳述。

六、撰寫結(jié)論

運(yùn)用多元方差分析方法，分析入學(xué)前所在學(xué)校對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)表現(xiàn)的影響。學(xué)生的學(xué)習(xí)表現(xiàn)主要通過英語和數(shù)學(xué)期末考試成績(jī)體現(xiàn)，學(xué)生來自三所A、B、C三所學(xué)校。

分析前，對(duì)方法的假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)：Shapiro-Wilk檢驗(yàn)顯示因變量服從正態(tài)分布（P>0.05）；通過箱式圖未發(fā)現(xiàn)單因素離群值，通過馬氏距離未發(fā)現(xiàn)多元離群值（P>0.001）；散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)因變量間存在線性關(guān)系；English_Score和Math_Score的Pearson相關(guān)系數(shù)為0.393，兩因變量間存在輕度的相關(guān)關(guān)系，不存在多重共線性（r=0.393，P=0.002）; Box's M檢驗(yàn)顯示方差的協(xié)方差矩陣相等（P=0.003）。

A、B、C三所學(xué)校學(xué)生的英語成績(jī)（分別為75.6 ± 8.2，63.6 ± 6.6和59.8 ± 4.6）均高于他們的數(shù)學(xué)成績(jī)（分別為43.9 ± 8.5，40.8 ± 8.2和30.8 ± 7.7）。

各學(xué)校的學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)存在的差異具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，F(xiàn)=17.675，P<0.001，Wilks' Lambda = 0.376; partial η2=0.387。

單因素方差分析顯示三所學(xué)校學(xué)生的英語成績(jī)（F=30.875,P<0.0005；partial η2=0.520）和數(shù)學(xué)成績(jī)（F=14.295,P<0.001；partial η2=0.334）均存在差異，采用Bonferroni法進(jìn)行校正的α水平為0.025。

Tukey post-hoc檢驗(yàn)顯示，來自A學(xué)校的學(xué)生的英語平均成績(jī)顯著高于來自B（P<0.001）和C學(xué)校的學(xué)生（P<0.001），但未發(fā)現(xiàn)來自B學(xué)校的學(xué)生和來自C學(xué)校的學(xué)生英語平均成績(jī)存在差異（P=0.169）；

對(duì)于數(shù)學(xué)成績(jī)，Tukey post-hoc檢驗(yàn)顯示，來自C學(xué)校的學(xué)生數(shù)學(xué)平均成績(jī)顯著低于來自A學(xué)校（P<0.001）和B學(xué)校（P=0.001）的學(xué)生，但未發(fā)現(xiàn)來自A學(xué)校的學(xué)生和來自B學(xué)校的學(xué)生數(shù)學(xué)平均成績(jī)存在差異（P=0.443）。