R語言通過loess去除某個(gè)變量對數(shù)據(jù)的影響

當(dāng)我們想研究不同sample的某個(gè)變量A之間的差異時(shí)，往往會因?yàn)槠渌恍┳兞緽對該變量的固有影響，而影響不同sample變量A的比較，這個(gè)時(shí)候需要對sample變量A進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化之后才能進(jìn)行比較。標(biāo)準(zhǔn)化的方法是對sample 的 A變量和B變量進(jìn)行l(wèi)oess回歸，擬合變量A關(guān)于變量B的函數(shù) f(b)，f(b)則表示在B的影響下A的理論取值，A-f(B)（A對f(b）殘差）就可以去掉B變量對A變量的影響,此時(shí)殘差值就可以作為標(biāo)準(zhǔn)化的A值在不同sample之間進(jìn)行比較。
Loess局部加權(quán)多項(xiàng)式回歸
??LOWESS最初由Cleveland 提出,后又被Cleveland&Devlin及其他許多人發(fā)展。在R中l(wèi)oess 函數(shù)是以lowess函數(shù)為基礎(chǔ)的更復(fù)雜功能更強(qiáng)大的函數(shù)。主要思想為:在數(shù)據(jù)集合的每一點(diǎn)用低維多項(xiàng)式擬合數(shù)據(jù)點(diǎn)的一個(gè)子集,并估計(jì)該點(diǎn)附近自變量數(shù)據(jù)點(diǎn)所對應(yīng)的因變量值,該多項(xiàng)式是用加權(quán)最小二乘法來擬合;離該點(diǎn)越遠(yuǎn),權(quán)重越小,該點(diǎn)的回歸函數(shù)值就是這個(gè)局部多項(xiàng)式來得到,而用于加權(quán)最小二乘回歸的數(shù)據(jù)子集是由最近鄰方法確定。
??最大優(yōu)點(diǎn):不需要事先設(shè)定一個(gè)函數(shù)來對所有數(shù)據(jù)擬合一個(gè)模型。并且可以對同一數(shù)據(jù)進(jìn)行多次不同的擬合，先對某個(gè)變量進(jìn)行擬合，再對另一變量進(jìn)行擬合，以探索數(shù)據(jù)中可能存在的某種關(guān)系，這是普通的回歸擬合無法做到的。
LOESS平滑方法
??1. 以x0為中心確定一個(gè)區(qū)間，區(qū)間的寬度可以靈活掌握。具體來說，區(qū)間的寬度取決于q=fn。其中q是參與局部回歸觀察值的個(gè)數(shù)，f是參加局部回歸觀察值的個(gè)數(shù)占觀察值個(gè)數(shù)的比例,n是觀察值的個(gè)數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用中，往往先選定f值，再根據(jù)f和n確定q的取值，一般情況下f的取值在1/3到2/3之間。q與f的取值一般沒有確定的準(zhǔn)則。增大q值或f值，會導(dǎo)致平滑值平滑程度增加，對于數(shù)據(jù)中前在的細(xì)微變化模式則分辨率低，但噪聲小，而對數(shù)據(jù)中大的變化模式的表現(xiàn)則比較好；小的q值或f值，曲線粗糙，分辨率高，但噪聲大。沒有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的f值，比較明智的做法是不斷的調(diào)試比較。
??2. 定義區(qū)間內(nèi)所有點(diǎn)的權(quán)數(shù)，權(quán)數(shù)由權(quán)數(shù)函數(shù)來確定，比如立方加權(quán)函數(shù)weight = (1 - (dist/maxdist)^3)^3),dist為距離x的距離，maxdist為區(qū)間內(nèi)距離x的最大距離。任一點(diǎn)(x0,y0)的權(quán)數(shù)是權(quán)數(shù)函數(shù)曲線的高度。權(quán)數(shù)函數(shù)應(yīng)包括以下三個(gè)方面特性：(1)加權(quán)函數(shù)上的點(diǎn)(x0,y0)具有最大權(quán)數(shù)。(2)當(dāng)x離開x0(時(shí)，權(quán)數(shù)逐漸減少。(3)加權(quán)函數(shù)以x0為中心對稱。
??3. 對區(qū)間內(nèi)的散點(diǎn)擬合一條曲線y=f(x)。擬合的直線反映直線關(guān)系，接近x0的點(diǎn)在直線的擬合中起到主要的作用，區(qū)間外的點(diǎn)它們的權(quán)數(shù)為零。
??4. x0的平滑點(diǎn)就是x0在擬合出來的直線上的擬合點(diǎn)(y0,f( x0))。
??5. 對所有的點(diǎn)求出平滑點(diǎn)，將平滑點(diǎn)連接就得到Loess回歸曲線。
R語言代碼
 loess(formula, data, weights, subset, na.action, model = FALSE,
       span = 0.75, enp.target, degree = 2,
       parametric = FALSE, drop.square = FALSE, normalize = TRUE,
       family = c("gaussian", "symmetric"),
       method = c("loess", "model.frame"),
       control = loess.control(...), ...)
??formula是公式，比如y~x,可以輸入1到4個(gè)變量;
??data是放著變量的數(shù)據(jù)框，如果data為空，則在環(huán)境中尋找;
??na.action指定對NA數(shù)據(jù)的處理，默認(rèn)是getOption("na.action");
??model是否返回模型框；
??span是alpha參數(shù)，可以控制平滑度,相當(dāng)于上面所述的f，對于alpha小于1的時(shí)候，區(qū)間包含alpha的點(diǎn)，加權(quán)函數(shù)為立方加權(quán)，大于1時(shí)，使用所有的點(diǎn)，最大距離為alpha^(1/p)，p 為解釋變量;
??anp.target，定義span的備選方法；
??normalize，對多變量normalize到同一scale；
??family，如果是gaussian則使用最小二乘法，如果是symmetric則使用雙權(quán)函數(shù)進(jìn)行再下降的M估計(jì)；
??method，是適應(yīng)模型或者僅僅提取模型框架；
??control進(jìn)一步更高級的控制，使用loess.control的參數(shù)；
??其它參數(shù)請自己參見manual并且查找資料
loess.control(surface = c("interpolate", "direct"),
          statistics = c("approximate", "exact"),
          trace.hat = c("exact", "approximate"),
          cell = 0.2, iterations = 4, ...)
??surface，擬合表面是從kd數(shù)進(jìn)行插值還是進(jìn)行精確計(jì)算；
??statistics,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)是精確計(jì)算還是近似，精確計(jì)算很慢
??trace.hat,要跟蹤的平滑的矩陣精確計(jì)算或近似？建議使用超過1000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)逼近，
??cell,如果通過kd樹最大的點(diǎn)進(jìn)行插值的近似。大于cell floor(nspancell)的點(diǎn)被細(xì)分。
??robust fitting使用的迭代次數(shù)。
predict(object, newdata = NULL, se = FALSE,
    na.action = na.pass, ...)
??object，使用loess擬合出來的對象；
??newdata,可選數(shù)據(jù)框，在里面尋找變量并進(jìn)行預(yù)測；
??se,是否計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤差；
??對NA值的處理
實(shí)例
??生物數(shù)據(jù)分析中，我們想查看PCR擴(kuò)增出來的擴(kuò)增子的測序深度之間的差異，但不同的擴(kuò)增子的擴(kuò)增效率受到GC含量的影響，因此我們首先應(yīng)該排除掉GC含量對擴(kuò)增子深度的影響。
數(shù)據(jù)
amplicon 測序數(shù)據(jù)，處理后得到的每個(gè)amplicon的深度，每個(gè)amplicon的GC含量，每個(gè)amplicon的長度

先用loess進(jìn)行曲線的擬合
gcCount.loess <- loess(log(RC+0.01)~GC,data=RC_DT,control = loess.control(surface = "direct"),degree=2)
畫出擬合出來的曲線
predictions1<- predict (gcCount.loess,RC_DT$GC)
#plot scatter and line
plot(RC_DT$GC,log(RC_DT$RC+0.01),cex=0.1,xlab="GC Content",ylab=expression(paste("log(NRC"["lib"],"+0.01)",sep="")))
lines(RC_DT$GC,predictions1,col = "red")

取殘差，去除GC含量對深度的影響
#sustract the influence of GC
resi <- log(RC_DT$RC+0.01)-predictions1
RC_DT$RC <- resi
setkey(RC_DT,GC)
此時(shí)RC_DT$RC就是normalize之后的RC
畫圖顯示nomalize之后的RC,并將擬合的loess曲線和normalize之后的數(shù)據(jù)保存
#plot scatter and line using Norm GC data
plot(RC_DT$GC,RC_DT$RC,cex=0.1,xlab="GC Content",ylab=expression("NRC"["GC"]))
gcCount.loess <- loess(RC~GC,data=RC_DT,control = loess.control(surface = "direct"),degree=2)
save(gcCount.loess,file="/home/ywliao/project/Gengyan/gcCount.loess.Robject")
predictions2 <- predict(gcCount.loess,RC_DT$GC)
lines(RC_DT$GC,predictions2,col="red")
save(RC_DT,file="/home/ywliao/project/Gengyan/RC_DT.Rdata")

當(dāng)然，也想看一下amplicon 長度len 對RC的影響，不過影響不大

全部代碼如下：
library(data.table)
load("/home/ywliao/project/Gengyan/RC_DT.Rdata")
RC_DT <- na.omit(RC_DT[Type=="WBC",])
####loess GC vs RC####
gcCount.loess <- loess(log(RC+0.01)~GC,data=RC_DT,control = loess.control(surface = "direct"),degree=2)
predictions1<- predict (gcCount.loess,RC_DT$GC)
#plot scatter and line
plot(RC_DT$GC,log(RC_DT$RC+0.01),cex=0.1,xlab="GC Content",ylab=expression(paste("log(NRC"["lib"],"+0.01)",sep="")))
lines(RC_DT$GC,predictions1,col = "red")
#sustract the influence of GC
resi <- log(RC_DT$RC+0.01)-predictions1
RC_DT$RC <- resi
setkey(RC_DT,GC)
#plot scatter and line using Norm GC data
plot(RC_DT$GC,RC_DT$RC,cex=0.1,xlab="GC Content",ylab=expression("NRC"["GC"]))
gcCount.loess <- loess(RC~GC,data=RC_DT,control = loess.control(surface = "direct"),degree=2)
save(gcCount.loess,file="/home/ywliao/project/Gengyan/gcCount.loess.Robject")
predictions2 <- predict(gcCount.loess,RC_DT$GC)
lines(RC_DT$GC,predictions2,col="red")
save(RC_DT,file="/home/ywliao/project/Gengyan/RC_DT.Rdata")
####loess len vs RC###
setkey(RC_DT,Len)
len.loess <- loess(RC_DT$RC~RC_DT$Len, control = loess.control(surface = "direct"),degree=2)
predictions2<- predict (len.loess,RC_DT$Len)
#plot scatter and line
plot(RC_DT$Len,RC_DT$RC,cex=0.1,xlab="Length",ylab=expression(paste("log(RC"["GC"],"+0.01)",sep="")))
lines(RC_DT$Len,predictions2,col = "red")