R語言多項式回歸

含有x和y這兩個變量的線性回歸是所有回歸分析中最常見的一種；而且，在描述它們關系的時候，也是最有效、最容易假設的一種模型。然而，有些時候，它的實際情況下某些潛在的關系是非常復雜的，不是二元分析所能解決的，而這時，我們需要多項式回歸分析來找到這種隱藏的關系。

讓我們看一下經(jīng)濟學里的一個例子：假設你要買一個具體的產(chǎn)品，而你要買的個數(shù)是q。如果產(chǎn)品的單價是p，然后，你要給y元。其實，這就是一個很典型的線性關系。而總價和產(chǎn)品數(shù)量呈正比例關系。下面，根據(jù)這個實例，我們敲擊行代碼來作它們的線性關系圖：

下面是它的線性關系圖：

現(xiàn)在，我們看到這確實是一個不錯的估計，這個圖很好的模擬成q和y的線性關系。然而，當我們在做買賣要考慮別的因素的時候，諸如這種商品要買多少，很有可能，我們可以通過詢問和討價賺得折扣，或者，當我們越來越多的買一種具體的商品的時候，我們也可能讓這種商品升價了。
這樣，我們根據(jù)上面的條件，我們在寫腳本的時候，我們要注意，總價與產(chǎn)品的數(shù)量不再具有線性關系了：

利用多項式回歸，我們可以擬合n>1張訂單所產(chǎn)生的數(shù)據(jù)的模型，并且能試著建一個非線性模型。

怎樣擬合一個多項式回歸

首先，當我們要創(chuàng)建一串虛擬隨機數(shù)的時候，我們必須總要記得寫set.seed(n)。這樣做，隨機數(shù)生成器總能產(chǎn)生同等數(shù)目的數(shù)據(jù)。

預測變量q：使用seq來快速產(chǎn)生等間距的序列：

預測y值：

我們現(xiàn)在產(chǎn)生一些噪音并把它添加到模型中：

對噪聲數(shù)據(jù)進行畫圖：

下面的這個圖根據(jù)觀測數(shù)據(jù)進行模擬。其中，模擬的圖的散點是藍色的，而紅色線則是信號（信號是一種術語，它通常用于表示我們感興趣的東西的通常變化趨勢）。

我們得出的模型應當是 y = aq + bq2 + c*q3 + cost。

現(xiàn)在，我們用R對此進行模擬。要擬合一個多項式模型，你也可以這樣用：

或者：

然而，我們要知道q，I(q^2)，I(q^3)存在相關的關系，而這些相關變量很有可能引起某些問題的產(chǎn)生。這時，使用poly()可以避免這個問題，因為它是創(chuàng)建一個垂直的多項式。因此，我喜歡第一種方法：

我們可以使用confint()來獲得一個模型的參數(shù)的置信區(qū)間。

以下是模型參數(shù)的置信區(qū)間：

現(xiàn)在，我們要作一個擬合VS殘差圖。如果這是一個擬合效果比較不錯的模型，我們應該看不到任何一種模型的模式特征：

整體來說，這個模型的擬合效果還是不錯的，畢竟殘差為0.8。第一和第三個訂單序列的系數(shù)，在統(tǒng)計學當中，是相當這樣的，這樣在我們的意料之中?，F(xiàn)在，我們可以使用predict()函數(shù)來獲得擬合數(shù)據(jù)以及置信區(qū)間，這樣，我們可以不按照數(shù)據(jù)來作圖。 下面是預測值和預測置信區(qū)間：

在已有的圖像中添加擬合線：

添加圖例：

下面是它的擬合圖像：

我們可以看到我們的模型在數(shù)據(jù)的擬合方面做的不錯，我們也因此感到非常滿意。

注意：多項式回歸是一種更能強大的工具?？墒?，我們也可能得到事與愿違的結果：在這個例子中，我們知道我們的信號是使用三次多項式而產(chǎn)生的，然而，當我們在分析實際數(shù)據(jù)的時候，我們通常對此不知情，因此，正因為多項式次數(shù)n大于4的時候會產(chǎn)生過度擬合的情況，我們要在這里注意一下。但你的模型取了噪音而不是信號的時候會產(chǎn)生過擬合的情況；甚至，當你在現(xiàn)有的數(shù)據(jù)進行模型優(yōu)化的時候，當你要嘗試預測新的數(shù)據(jù)的時候就不好了，它會導致缺失值的產(chǎn)生。