【R語(yǔ)言】單一樣本推斷問(wèn)題

非參數(shù)統(tǒng)計(jì)概念：

在實(shí)際問(wèn)題中，對(duì)數(shù)據(jù)的分布形式和統(tǒng)計(jì)模型難以作出比較明確的假定，最多只能對(duì)總體的分布做出類似于連續(xù)性型分布或者對(duì)某點(diǎn)對(duì)稱等一般性假定。這種不假設(shè)總體分布的具體形式，盡量從數(shù)據(jù)（樣本）本身獲得所需要的信息，通過(guò)估計(jì)而獲得分布的結(jié)構(gòu)，并逐步建立對(duì)事物的數(shù)學(xué)描述和統(tǒng)計(jì)建模的方法稱為非參數(shù)方法。

單一樣本的推斷問(wèn)題：

符號(hào)檢驗(yàn)

符號(hào)檢驗(yàn)所關(guān)心的就是通過(guò)符號(hào)“+”“-”的個(gè)數(shù)來(lái)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷

eg：假設(shè)某城市16座欲出售的樓盤均價(jià)（單位：百元 /平方米）

36  32 31 25 28 36 40 32 41 26 35 35 32 87 33 35

問(wèn)：該地盤樓盤價(jià)格是否與媒體公布的3700元/平方米說(shuō)法相符？

分析：

總體均值的點(diǎn)估計(jì)是樣本均值，總體中位數(shù)的點(diǎn)估計(jì)是樣本中位數(shù)，由于中位數(shù)的穩(wěn)健性，將37理解為總體的中位數(shù)，則假設(shè)問(wèn)題為：

H0：M=37     H1: M不等于37（待檢驗(yàn)的中位數(shù)值）

假設(shè)：

S+：位于37右邊的個(gè)數(shù)   S-： 位于37左邊的個(gè)數(shù)

令K=min{S+，S-}，且K服從p=0.5的二項(xiàng)分布

R代碼:

##1.S-為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

sign1.test = function(x,pi,q0){
  s1 = sum(x<q0)  #S-的個(gè)數(shù)
  s2 = sum(x>q0)  #S+的個(gè)數(shù) 
  n  = s1+s2     
  p1 = pbinom(s1,n,pi)  ### 取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量K=S-，計(jì)算 P（K<=s1）
  p2 = 1-pbinom(s1-1,n,pi)   ### 計(jì)算 P（K>=s1）
  if(p1 < p2){  m1 = "one tail test:H1: Q > q0"
  }else{
      m1 = "one tail test:H1: Q < q0"
  }
  p.value = min(p1,p2)
  m2 = "two tails test"
  p.value2 = 2*p.value
  list(sign.test.type = m1,p.values.of.one.test = p.value,p.value.of.two.tail.test = p.value2)
}

##以上便構(gòu)建了符號(hào)檢驗(yàn)的函數(shù)，接下來(lái)可以直接調(diào)用

data=c(36,31,25,28,36,40,32,41,26,35,35,32,87,33,35,32)##賦值

x=median(data)##獲取樣本中位數(shù)

sign1.test(data,0.5,37)

結(jié)果解讀：

p=0.02127<0.05(顯著性水平)，拒絕H0，認(rèn)為該地盤樓盤價(jià)格是否與媒體公布的3700元/平方米存在顯著差異。

趨勢(shì)檢驗(yàn)

對(duì)于趨勢(shì)分析，我們用一些數(shù)對(duì)來(lái)反映前后數(shù)據(jù)的變化。為保證數(shù)對(duì)同分布，前后兩個(gè)數(shù)的間隔應(yīng)該固定；為保證數(shù)對(duì)不受局部干擾，前后兩個(gè)數(shù)的間隔應(yīng)該較大。Cox-Staut趨勢(shì)檢驗(yàn)，是以數(shù)列中位于中間位置的數(shù)為拆分點(diǎn)，前后兩兩組成數(shù)對(duì)。

例：一個(gè)住宅小區(qū)的夜間噪音長(zhǎng)期一直保持在30分貝。后來(lái)附近有建筑工地施工。數(shù)據(jù)是連續(xù)12天夜間在該小區(qū)所測(cè)得的噪聲水平（分貝）。

30,31,33,35,31,30,68,60,65,67,66,64

請(qǐng)問(wèn)：該建筑工地是否提高了小區(qū)的噪聲水平？

建立假設(shè)：

Ho:該建筑工地沒(méi)有提高小區(qū)的噪聲水平  

H1：該建筑工地提高了小區(qū)的噪聲水平

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量選?。?

S=min{S+，S-}

S+：每一數(shù)對(duì)前后兩值之差為正的個(gè)數(shù)

S-：每一數(shù)對(duì)前后兩值之差為負(fù)的個(gè)數(shù)

R代碼：

CS.test = function(x){

m = length(x)

c = if(m/2-round(m/2)==0){m/2}else{(m+1)/2} ### 此處亦可用floor(m/2)代替round(m/2)

d = if(m/2-round(m/2)==0){x[1:c]-x[(c+1):m]}else{x[1:(c-1)]-x[(c+1):m]}

n1 = length(d[which(d > 0)]) ### n1 = length(which(d > 0))

n2 = length(d[which(d < 0)])  

n = n1+n2

s1 = sum(sign(d)== 1)

s2 = sum(sign(d)== -1)

if(n1 > n2){  

m1 = "one tail test:H1: decreasing" 

p.value = pbinom(n2,n,0.5)

}else{

m1 = "one tail test:H1: increasing"

p.value = pbinom(n1,n,0.5)

}

m2 = "two tails test"

s = min(s1,s2)

p.value2 = 2*pbinom(s,n,0.5)

if(n1==n2){p.value = 0.5;p.value2 = 1}

list(sign.test.type = m1,p.values.of.one.test = p.value,p.value.of.two.tail.test = p.value2)

}

上述就是Cox-Staut檢驗(yàn)的算法代碼

代入數(shù)據(jù)：

x=c(30,31,33,35,31,30,68,60,65,67,66,64)

結(jié)果分析：

單邊檢驗(yàn)P=0.015625<0.05（顯著性水平）

故拒絕H0，認(rèn)為該建筑工地提高了小區(qū)的噪聲水平。