R語言-組間差異的非參數檢驗

7.5 組間差異的非參數檢驗
如果數據無法滿足t檢驗或ANOVA的參數假設，可以轉而使用非參數方法。舉例來說，若結果變量在本質上就嚴重偏倚或呈現有序關系，那么你可能會希望使用本節(jié)中的方法。

7.5.1 兩組的比較
若兩組數據獨立，可以使用Wilcoxon秩和檢驗（更廣為人知的名字是Mann–Whitney U檢驗）來評估觀測是否是從相同的概率分布中抽得的（即，在一個總體中獲得更高得分的概率是否比另一個總體要大）。調用格式為：

其中的y是數值型變量，而x是一個二分變量。調用格式或為：

其中的y1和y2為各組的結果變量。 可選參數data的取值為一個包含了這些變量的矩陣或數據框。 默認進行一個雙側檢驗。你可以添加參數exact來進行精確檢驗，指定alternative="less"或alternative="greater"進行有方向的檢驗。
如果你使用Mann–Whitney U檢驗回答上一節(jié)中關于監(jiān)禁率的問題，將得到這些結果：

你可以再次拒絕南方各州和非南方各州監(jiān)禁率相同的假設（p < 0.001）。Wilcoxon符號秩檢驗是非獨立樣本t檢驗的一種非參數替代方法。它適用于兩組成對數據和無法保證正態(tài)性假設的情境。調用格式與Mann–Whitney U檢驗完全相同，不過還可以添加參數paired=TRUE。讓我們用它解答上一節(jié)中的失業(yè)率問題：

你再次得到了與配對t檢驗相同的結論。在本例中，含參的t檢驗和與其作用相同的非參數檢驗得到了相同的結論。當t檢驗的假設合理時，參數檢驗的功效更強（更容易發(fā)現存在的差異）。而非參數檢驗在假設非常不合理時（如對于等級有序數據）更適用。

7.5.2 多于兩組的比較
在要比較的組數多于兩個時，必須轉而尋求其他方法?？紤]7.4節(jié)中的state.x77數據集。它包含了美國各州的人口、收入、文盲率、預期壽命、謀殺率和高中畢業(yè)率數據。如果你想比較美國四個地區(qū)（東北部、南部、中北部和西部）的文盲率，應該怎么做呢？這稱為單向設計（one-way design），我們可以使用參數或非參數的方法來解決這個問題。如果無法滿足ANOVA設計的假設，那么可以使用非參數方法來評估組間的差異。如果各組獨立，則Kruskal—Wallis檢驗將是一種實用的方法。如果各組不獨立（如重復測量設計或隨機區(qū)組設計），那么Friedman檢驗會更合適。

Kruskal–Wallis檢驗的調用格式為：

其中的y是一個數值型結果變量， A是一個擁有兩個或更多水平的分組變量（grouping variable）。（若有兩個水平，則它與Mann–Whitney U檢驗等價。）而Friedman檢驗的調用格式為：

其中的y是數值型結果變量， A是一個分組變量， 而B是一個用以認定匹配觀測的區(qū)組變量 （blocking variable） 。在以上兩例中， data皆為可選參數，它指定了包含這些變量的矩陣或數據框。
讓我們利用Kruskal–Wallis檢驗回答文盲率的問題。首先，你必須將地區(qū)的名稱添加到數據集中。這些信息包含在隨R基礎安裝分發(fā)的state.region數據集中。
現在就可以進行檢驗了：

顯著性檢驗的結果意味著美國四個地區(qū)的文盲率各不相同（p <0.001）。雖然你可以拒絕不存在差異的原假設，但這個檢驗并沒有告訴你哪些地區(qū)顯著地與其他地區(qū)不同。要回答這個問題，你可以使用Mann–Whitney U檢驗每次比較兩組數據。一種更為優(yōu)雅的方法是在控制犯第一類錯誤的概率（發(fā)現一個事實上并不存在的差異的概率）的前提下，執(zhí)行可以同步進行的多組比較，這樣可以直接完成所有組之間的成對比較。 npmc包提供了所需要的非參數多組比較程序。
說實話，我將本章標題中基本的定義拓展了不止一點點，但由于在這里講非常合適，所以希望你能夠容忍我的做法。第一步，請先安裝npmc包。此包中的npmc()函數接受的輸入為一個兩列的數據框，其中一列名為var（因變量），另一列名為class（分組變量）。代碼清單7-20中包含了可以用來完成計算的代碼。

調用了npmc的語句生成了六對統(tǒng)計比較結果（東北部對南部、東北部對中北部、東北部對西部、南部對中北部、南部對西部，以及中北部對西部） ?？梢詮碾p側的p值（p.value.2s）看出南部與其他三個地區(qū)顯著不同，而其他三個地區(qū)之間并沒有什么不同。在 處可以看到南部的文盲率中間值更高。注意， npmc在計算積分時使用了隨機數，所以每次計算的結果會有輕微的不同。