機器學習算法與Python實踐之（四）支持向量機（SVM）實現(xiàn)

八、SVM的實現(xiàn)之SMO算法

終于到SVM的實現(xiàn)部分了。那么神奇和有效的東西還得回歸到實現(xiàn)才可以展示其強大的功力。SVM有效而且存在很高效的訓練算法，這也是工業(yè)界非常青睞SVM的原因。

前面講到，SVM的學習問題可以轉化為下面的對偶問題：

需要滿足的KKT條件：

也就是說找到一組αi可以滿足上面的這些條件的就是該目標的一個最優(yōu)解。所以我們的優(yōu)化目標是找到一組最優(yōu)的αi*。一旦求出這些αi*，就很容易計算出權重向量w*和b，并得到分隔超平面了。

這是個凸二次規(guī)劃問題，它具有全局最優(yōu)解，一般可以通過現(xiàn)有的工具來優(yōu)化。但當訓練樣本非常多的時候，這些優(yōu)化算法往往非常耗時低效，以致無法使用。從SVM提出到現(xiàn)在，也出現(xiàn)了很多優(yōu)化訓練的方法。其中，非常出名的一個是1982年由Microsoft Research的John C. Platt在論文《Sequential Minimal Optimization: A Fast Algorithm for TrainingSupport Vector Machines》中提出的Sequential Minimal Optimization序列最小化優(yōu)化算法，簡稱SMO算法。SMO算法的思想很簡單，它將大優(yōu)化的問題分解成多個小優(yōu)化的問題。這些小問題往往比較容易求解，并且對他們進行順序求解的結果與將他們作為整體來求解的結果完全一致。在結果完全一致的同時，SMO的求解時間短很多。在深入SMO算法之前，我們先來了解下坐標下降這個算法，SMO其實基于這種簡單的思想的。

8.1、坐標下降（上升）法

假設要求解下面的優(yōu)化問題：

在這里，我們需要求解m個變量αi，一般來說是通過梯度下降（這里是求最大值，所以應該叫上升）等算法每一次迭代對所有m個變量αi也就是α向量進行一次性優(yōu)化。通過誤差每次迭代調整α向量中每個元素的值。而坐標上升法（坐標上升與坐標下降可以看做是一對，坐標上升是用來求解max最優(yōu)化問題，坐標下降用于求min最優(yōu)化問題）的思想是每次迭代只調整一個變量αi的值，其他變量的值在這次迭代中固定不變。

最里面語句的意思是固定除αi之外的所有αj(i不等于j)，這時W可看作只是關于αi的函數(shù)，那么直接對αi求導優(yōu)化即可。這里我們進行最大化求導的順序i是從1到m，可以通過更改優(yōu)化順序來使W能夠更快地增加并收斂。如果W在內循環(huán)中能夠很快地達到最優(yōu)，那么坐標上升法會是一個很高效的求極值方法。

用個二維的例子來說明下坐標下降法：我們需要尋找f(x,y)=x2+xy+y2的最小值處的(x*, y*)，也就是下圖的F*點的地方。

假設我們初始的點是A（圖是函數(shù)投影到xoy平面的等高線圖，顏色越深值越?。?，我們需要達到F*的地方。那最快的方法就是圖中黃色線的路徑，一次性就到達了，其實這個是牛頓優(yōu)化法，但如果是高維的話，這個方法就不太高效了（因為需要求解矩陣的逆，這個不在這里討論）。我們也可以按照紅色所指示的路徑來走。從A開始，先固定x，沿著y軸往讓f(x, y)值減小的方向走到B點，然后固定y，沿著x軸往讓f(x, y)值減小的方向走到C點，不斷循環(huán)，直到到達F*。反正每次只要我們都往讓f(x, y)值小的地方走就行了，這樣腳踏實地，一步步走，每一步都使f(x, y)慢慢變小，總有一天，皇天不負有心人的。到達F*也是時間問題。到這里你可能會說，這紅色線比黃色線貧富差距也太嚴重了吧。因為這里是二維的簡單的情況嘛。如果是高維的情況，而且目標函數(shù)很復雜的話，再加上樣本集很多，那么在梯度下降中，目標函數(shù)對所有αi求梯度或者在牛頓法中對矩陣求逆，都是很耗時的。這時候，如果W只對單個αi優(yōu)化很快的時候，坐標下降法可能會更加高效。

8.2、SMO算法

SMO算法的思想和坐標下降法的思想差不多。唯一不同的是，SMO是一次迭代優(yōu)化兩個α而不是一個。為什么要優(yōu)化兩個呢？

我們回到這個優(yōu)化問題。我們可以看到這個優(yōu)化問題存在著一個約束，也就是

假設我們首先固定除α1以外的所有參數(shù)，然后在α1上求極值。但需要注意的是，因為如果固定α1以外的所有參數(shù)，由上面這個約束條件可以知道，α1將不再是變量（可以由其他值推出），因為問題中規(guī)定了：

因此，我們需要一次選取兩個參數(shù)做優(yōu)化，比如αi和αj，此時αi可以由αj和其他參數(shù)表示出來。這樣回代入W中，W就只是關于αj的函數(shù)了，這時候就可以只對αj進行優(yōu)化了。在這里就是對αj進行求導，令導數(shù)為0就可以解出這個時候最優(yōu)的αj了。然后也可以得到αi。這就是一次的迭代過程，一次迭代只調整兩個拉格朗日乘子αi和αj。SMO之所以高效就是因為在固定其他參數(shù)后，對一個參數(shù)優(yōu)化過程很高效（對一個參數(shù)的優(yōu)化可以通過解析求解，而不是迭代。雖然對一個參數(shù)的一次最小優(yōu)化不可能保證其結果就是所優(yōu)化的拉格朗日乘子的最終結果，但會使目標函數(shù)向極小值邁進一步，這樣對所有的乘子做最小優(yōu)化，直到所有滿足KKT條件時，目標函數(shù)達到最?。?。

總結下來是：

重復下面過程直到收斂{

（1）選擇兩個拉格朗日乘子αi和αj；

（2）固定其他拉格朗日乘子αk(k不等于i和j)，只對αi和αj優(yōu)化w(α);

（3）根據(jù)優(yōu)化后的αi和αj，更新截距b的值；

}

那訓練里面這兩三步驟到底是怎么實現(xiàn)的，需要考慮什么呢？下面我們來具體分析下：

（1）選擇αi和αj：

我們現(xiàn)在是每次迭代都優(yōu)化目標函數(shù)的兩個拉格朗日乘子αi和αj，然后其他的拉格朗日乘子保持固定。如果有N個訓練樣本，我們就有N個拉格朗日乘子需要優(yōu)化，但每次我們只挑兩個進行優(yōu)化，我們就有N(N-1)種選擇。那到底我們要選擇哪對αi和αj呢？選擇哪對才好呢？想想我們的目標是什么？我們希望把所有違法KKT條件的樣本都糾正回來，因為如果所有樣本都滿足KKT條件的話，我們的優(yōu)化就完成了。那就很直觀了，哪個害群之馬最嚴重，我們得先對他進行思想教育，讓他盡早回歸正途。OK，那我們選擇的第一個變量αi就選違法KKT條件最嚴重的那一個。那第二個變量αj怎么選呢？

我們是希望快點找到最優(yōu)的N個拉格朗日乘子，使得代價函數(shù)最大，換句話說，要最快的找到代價函數(shù)最大值的地方對應的N個拉格朗日乘子。這樣我們的訓練時間才會短。就像你從廣州去北京，有飛機和綠皮車給你選，你選啥？（就算你不考慮速度，也得考慮下空姐的感受嘛，別辜負了她們渴望看到你的期盼，哈哈）。有點離題了，anyway，每次迭代中，哪對αi和αj可以讓我更快的達到代價函數(shù)值最大的地方，我們就選他們。或者說，走完這一步，選這對αi和αj代價函數(shù)值增加的值最多，比選擇其他所有αi和αj的結合中都多。這樣我們才可以更快的接近代價函數(shù)的最大值，也就是達到優(yōu)化的目標了。再例如，下圖，我們要從A點走到B點，按藍色的路線走c2方向的時候，一跨一大步，按紅色的路線走c1方向的時候，只能是人類的一小步。所以，藍色路線走兩步就邁進了成功之門，而紅色的路線，人生曲折，好像成功遙遙無期一樣，故曰，選擇比努力更重要！

真啰嗦！說了半天，其實就一句話：為什么每次迭代都要選擇最好的αi和αj，就是為了更快的收斂！那實踐中每次迭代到底要怎樣選αi和αj呢？這有個很好聽的名字叫啟發(fā)式選擇，主要思想是先選擇最有可能需要優(yōu)化（也就是違反KKT條件最嚴重）的αi，再針對這樣的αi選擇最有可能取得較大修正步長的αj。具體是以下兩個過程：

1）第一個變量αi的選擇：

SMO稱選擇第一個變量的過程為外層循環(huán)。外層訓練在訓練樣本中選取違法KKT條件最嚴重的樣本點。并將其對應的變量作為第一個變量。具體的，檢驗訓練樣本(xi, yi)是否滿足KKT條件，也就是：

該檢驗是在ε范圍內進行的。在檢驗過程中，外層循環(huán)首先遍歷所有滿足條件0<αj<C的樣本點，即在間隔邊界上的支持向量點，檢驗他們是否滿足KKT條件，然后選擇違反KKT條件最嚴重的αi。如果這些樣本點都滿足KKT條件，那么遍歷整個訓練集，檢驗他們是否滿足KKT條件，然后選擇違反KKT條件最嚴重的αi。

優(yōu)先選擇遍歷非邊界數(shù)據(jù)樣本，因為非邊界數(shù)據(jù)樣本更有可能需要調整，邊界數(shù)據(jù)樣本常常不能得到進一步調整而留在邊界上。由于大部分數(shù)據(jù)樣本都很明顯不可能是支持向量，因此對應的α乘子一旦取得零值就無需再調整。遍歷非邊界數(shù)據(jù)樣本并選出他們當中違反KKT 條件為止。當某一次遍歷發(fā)現(xiàn)沒有非邊界數(shù)據(jù)樣本得到調整時，遍歷所有數(shù)據(jù)樣本，以檢驗是否整個集合都滿足KKT條件。如果整個集合的檢驗中又有數(shù)據(jù)樣本被進一步進化，則有必要再遍歷非邊界數(shù)據(jù)樣本。這樣，不停地在遍歷所有數(shù)據(jù)樣本和遍歷非邊界數(shù)據(jù)樣本之間切換，直到整個樣本集合都滿足KKT條件為止。以上用KKT條件對數(shù)據(jù)樣本所做的檢驗都以達到一定精度ε就可以停止為條件。如果要求十分精確的輸出算法，則往往不能很快收斂。

對整個數(shù)據(jù)集的遍歷掃描相當容易，而實現(xiàn)對非邊界αi的掃描時，首先需要將所有非邊界樣本的αi值（也就是滿足0<αi<C）保存到新的一個列表中，然后再對其進行遍歷。同時，該步驟跳過那些已知的不會改變的αi值。

2）第二個變量αj的選擇：

在選擇第一個αi后，算法會通過一個內循環(huán)來選擇第二個αj值。因為第二個乘子的迭代步長大致正比于|Ei-Ej|，所以我們需要選擇能夠最大化|Ei-Ej|的第二個乘子（選擇最大化迭代步長的第二個乘子）。在這里，為了節(jié)省計算時間，我們建立一個全局的緩存用于保存所有樣本的誤差值，而不用每次選擇的時候就重新計算。我們從中選擇使得步長最大或者|Ei-Ej|最大的αj。

（2）優(yōu)化αi和αj：

選擇這兩個拉格朗日乘子后，我們需要先計算這些參數(shù)的約束值。然后再求解這個約束最大化問題。

首先，我們需要給αj找到邊界L<=αj<=H，以保證αj滿足0<=αj<=C的約束。這意味著αj必須落入這個盒子中。由于只有兩個變量(αi, αj)，約束可以用二維空間中的圖形來表示，如下圖：

不等式約束使得(αi,αj)在盒子[0, C]x[0, C]內，等式約束使得(αi, αj)在平行于盒子[0, C]x[0, C]的對角線的直線上。因此要求的是目標函數(shù)在一條平行于對角線的線段上的最優(yōu)值。這使得兩個變量的最優(yōu)化問題成為實質的單變量的最優(yōu)化問題。由圖可以得到，αj的上下界可以通過下面的方法得到：

我們優(yōu)化的時候，αj必須要滿足上面這個約束。也就是說上面是αj的可行域。然后我們開始尋找αj，使得目標函數(shù)最大化。通過推導得到αj的更新公式如下：

這里Ek可以看做對第k個樣本，SVM的輸出與期待輸出，也就是樣本標簽的誤差。

而η實際上是度量兩個樣本i和j的相似性的。在計算η的時候，我們需要使用核函數(shù)，那么就可以用核函數(shù)來取代上面的內積。

得到新的αj后，我們需要保證它處于邊界內。換句話說，如果這個優(yōu)化后的值跑出了邊界L和H，我們就需要簡單的裁剪，將αj收回這個范圍：

最后，得到優(yōu)化的αj后，我們需要用它來計算αi：

到這里，αi和αj的優(yōu)化就完成了。

（3）計算閾值b：

優(yōu)化αi和αj后，我們就可以更新閾值b，使得對兩個樣本i和j都滿足KKT條件。如果優(yōu)化后αi不在邊界上（也就是滿足0<αi<C，這時候根據(jù)KKT條件，可以得到y(tǒng)igi(xi)=1，這樣我們才可以計算b），那下面的閾值b1是有效的，因為當輸入xi時它迫使SVM輸出yi。

同樣，如果0<αj<C，那么下面的b2也是有效的：

如果0<αi<C和0<αj<C都滿足，那么b1和b2都有效，而且他們是相等的。如果他們兩個都處于邊界上（也就是αi=0或者αi=C，同時αj=0或者αj=C），那么在b1和b2之間的閾值都滿足KKT條件，一般我們取他們的平均值b=(b1+b2)/2。所以，總的來說對b的更新如下：

每做完一次最小優(yōu)化，必須更新每個數(shù)據(jù)樣本的誤差，以便用修正過的分類面對其他數(shù)據(jù)樣本再做檢驗，在選擇第二個配對優(yōu)化數(shù)據(jù)樣本時用來估計步長。

（4）凸優(yōu)化問題終止條件：

SMO算法的基本思路是：如果說有變量的解都滿足此最優(yōu)化問題的KKT條件，那么這個最優(yōu)化問題的解就得到了。因為KKT條件是該最優(yōu)化問題的充分必要條件（證明請參考文獻）。所以我們可以監(jiān)視原問題的KKT條件，所以所有的樣本都滿足KKT條件，那么就表示迭代結束了。但是由于KKT條件本身是比較苛刻的，所以也需要設定一個容忍值，即所有樣本在容忍值范圍內滿足KKT條件則認為訓練可以結束；當然了，對于對偶問題的凸優(yōu)化還有其他終止條件，可以參考文獻。

8.3、SMO算法的Python實現(xiàn)

8.3.1、Python的準備工作

我使用的Python是2.7.5版本的。附加的庫有Numpy和Matplotlib。而Matplotlib又依賴dateutil和pyparsing兩個庫，所以我們需要安裝以上三個庫。前面兩個庫還好安裝，直接在官網下對應版本就行。但我找后兩個庫的時候，就沒那么容易了。后來發(fā)現(xiàn)，其實對Python的庫的下載和安裝可以借助pip工具的。這個是安裝和管理Python包的工具。

8.3.2、SMO算法的Python實現(xiàn)

在代碼中已經有了比較詳細的注釋了。不知道有沒有錯誤的地方，如果有，還望大家指正（每次的運行結果都有可能不同，另外，感覺有些結果似乎不太正確，但我還沒發(fā)現(xiàn)哪里出錯了，如果大家找到有錯誤的地方，還望大家指點下，衷心感謝）。里面我寫了個可視化結果的函數(shù)，但只能在二維的數(shù)據(jù)上面使用。直接貼代碼：

SVM.py

[python] view plain copy 在CODE上查看代碼片派生到我的代碼片
#################################################  
# SVM: support vector machine  
# Author : zouxy  
# Date   : 2013-12-12  
# HomePage : http://blog.csdn.net/zouxy09  
# Email  : zouxy09@qq.com  
#################################################  
 
from numpy import *  
import time  
import matplotlib.pyplot as plt   
 
 
# calulate kernel value  
def calcKernelValue(matrix_x, sample_x, kernelOption):  
    kernelType = kernelOption[0]  
    numSamples = matrix_x.shape[0]  
    kernelValue = mat(zeros((numSamples, 1)))  
      
    if kernelType == 'linear':  
        kernelValue = matrix_x * sample_x.T  
    elif kernelType == 'rbf':  
        sigma = kernelOption[1]  
        if sigma == 0:  
            sigma = 1.0  
        for i in xrange(numSamples):  
            diff = matrix_x[i, :] - sample_x  
            kernelValue[i] = exp(diff * diff.T / (-2.0 * sigma**2))  
    else:  
        raise NameError('Not support kernel type! You can use linear or rbf!')  
    return kernelValue  
 
 
# calculate kernel matrix given train set and kernel type  
def calcKernelMatrix(train_x, kernelOption):  
    numSamples = train_x.shape[0]  
    kernelMatrix = mat(zeros((numSamples, numSamples)))  
    for i in xrange(numSamples):  
        kernelMatrix[:, i] = calcKernelValue(train_x, train_x[i, :], kernelOption)  
    return kernelMatrix  
 
 
# define a struct just for storing variables and data  
class SVMStruct:  
    def __init__(self, dataSet, labels, C, toler, kernelOption):  
        self.train_x = dataSet # each row stands for a sample  
        self.train_y = labels  # corresponding label  
        self.C = C             # slack variable  
        self.toler = toler     # termination condition for iteration  
        self.numSamples = dataSet.shape[0] # number of samples  
        self.alphas = mat(zeros((self.numSamples, 1))) # Lagrange factors for all samples  
        self.b = 0  
        self.errorCache = mat(zeros((self.numSamples, 2)))  
        self.kernelOpt = kernelOption  
        self.kernelMat = calcKernelMatrix(self.train_x, self.kernelOpt)  
 
          
# calculate the error for alpha k  
def calcError(svm, alpha_k):  
    output_k = float(multiply(svm.alphas, svm.train_y).T * svm.kernelMat[:, alpha_k] + svm.b)  
    error_k = output_k - float(svm.train_y[alpha_k])  
    return error_k  
 
 
# update the error cache for alpha k after optimize alpha k  
def updateError(svm, alpha_k):  
    error = calcError(svm, alpha_k)  
    svm.errorCache[alpha_k] = [1, error]  
 
 
# select alpha j which has the biggest step  
def selectAlpha_j(svm, alpha_i, error_i):  
    svm.errorCache[alpha_i] = [1, error_i] # mark as valid(has been optimized)  
    candidateAlphaList = nonzero(svm.errorCache[:, 0].A)[0] # mat.A return array  
    maxStep = 0; alpha_j = 0; error_j = 0  
 
    # find the alpha with max iterative step  
    if len(candidateAlphaList) > 1:  
        for alpha_k in candidateAlphaList:  
            if alpha_k == alpha_i:   
                continue  
            error_k = calcError(svm, alpha_k)  
            if abs(error_k - error_i) > maxStep:  
                maxStep = abs(error_k - error_i)  
                alpha_j = alpha_k  
                error_j = error_k  
    # if came in this loop first time, we select alpha j randomly  
    else:             
        alpha_j = alpha_i  
        while alpha_j == alpha_i:  
            alpha_j = int(random.uniform(0, svm.numSamples))  
        error_j = calcError(svm, alpha_j)  
      
    return alpha_j, error_j  
 
 
# the inner loop for optimizing alpha i and alpha j  
def innerLoop(svm, alpha_i):  
    error_i = calcError(svm, alpha_i)  
 
    ### check and pick up the alpha who violates the KKT condition  
    ## satisfy KKT condition  
    # 1) yi*f(i) >= 1 and alpha == 0 (outside the boundary)  
    # 2) yi*f(i) == 1 and 0<alpha< C (on the boundary)  
    # 3) yi*f(i) <= 1 and alpha == C (between the boundary)  
    ## violate KKT condition  
    # because y[i]*E_i = y[i]*f(i) - y[i]^2 = y[i]*f(i) - 1, so  
    # 1) if y[i]*E_i < 0, so yi*f(i) < 1, if alpha < C, violate!(alpha = C will be correct)   
    # 2) if y[i]*E_i > 0, so yi*f(i) > 1, if alpha > 0, violate!(alpha = 0 will be correct)  
    # 3) if y[i]*E_i = 0, so yi*f(i) = 1, it is on the boundary, needless optimized  
    if (svm.train_y[alpha_i] * error_i < -svm.toler) and (svm.alphas[alpha_i] < svm.C) or\  
        (svm.train_y[alpha_i] * error_i > svm.toler) and (svm.alphas[alpha_i] > 0):  
 
        # step 1: select alpha j  
        alpha_j, error_j = selectAlpha_j(svm, alpha_i, error_i)  
        alpha_i_old = svm.alphas[alpha_i].copy()  
        alpha_j_old = svm.alphas[alpha_j].copy()  
 
        # step 2: calculate the boundary L and H for alpha j  
        if svm.train_y[alpha_i] != svm.train_y[alpha_j]:  
            L = max(0, svm.alphas[alpha_j] - svm.alphas[alpha_i])  
            H = min(svm.C, svm.C + svm.alphas[alpha_j] - svm.alphas[alpha_i])  
        else:  
            L = max(0, svm.alphas[alpha_j] + svm.alphas[alpha_i] - svm.C)  
            H = min(svm.C, svm.alphas[alpha_j] + svm.alphas[alpha_i])  
        if L == H:  
            return 0  
 
        # step 3: calculate eta (the similarity of sample i and j)  
        eta = 2.0 * svm.kernelMat[alpha_i, alpha_j] - svm.kernelMat[alpha_i, alpha_i] \  
                  - svm.kernelMat[alpha_j, alpha_j]  
        if eta >= 0:  
            return 0  
 
        # step 4: update alpha j  
        svm.alphas[alpha_j] -= svm.train_y[alpha_j] * (error_i - error_j) / eta  
 
        # step 5: clip alpha j  
        if svm.alphas[alpha_j] > H:  
            svm.alphas[alpha_j] = H  
        if svm.alphas[alpha_j] < L:  
            svm.alphas[alpha_j] = L  
 
        # step 6: if alpha j not moving enough, just return       
        if abs(alpha_j_old - svm.alphas[alpha_j]) < 0.00001:  
            updateError(svm, alpha_j)  
            return 0  
 
        # step 7: update alpha i after optimizing aipha j  
        svm.alphas[alpha_i] += svm.train_y[alpha_i] * svm.train_y[alpha_j] \  
                                * (alpha_j_old - svm.alphas[alpha_j])  
 
        # step 8: update threshold b  
        b1 = svm.b - error_i - svm.train_y[alpha_i] * (svm.alphas[alpha_i] - alpha_i_old) \  
                                                    * svm.kernelMat[alpha_i, alpha_i] \  
                             - svm.train_y[alpha_j] * (svm.alphas[alpha_j] - alpha_j_old) \  
                                                    * svm.kernelMat[alpha_i, alpha_j]  
        b2 = svm.b - error_j - svm.train_y[alpha_i] * (svm.alphas[alpha_i] - alpha_i_old) \  
                                                    * svm.kernelMat[alpha_i, alpha_j] \  
                             - svm.train_y[alpha_j] * (svm.alphas[alpha_j] - alpha_j_old) \  
                                                    * svm.kernelMat[alpha_j, alpha_j]  
        if (0 < svm.alphas[alpha_i]) and (svm.alphas[alpha_i] < svm.C):  
            svm.b = b1  
        elif (0 < svm.alphas[alpha_j]) and (svm.alphas[alpha_j] < svm.C):  
            svm.b = b2  
        else:  
            svm.b = (b1 + b2) / 2.0  
 
        # step 9: update error cache for alpha i, j after optimize alpha i, j and b  
        updateError(svm, alpha_j)  
        updateError(svm, alpha_i)  
 
        return 1  
    else:  
        return 0  
 
 
# the main training procedure  
def trainSVM(train_x, train_y, C, toler, maxIter, kernelOption = ('rbf', 1.0)):  
    # calculate training time  
    startTime = time.time()  
 
    # init data struct for svm  
    svm = SVMStruct(mat(train_x), mat(train_y), C, toler, kernelOption)  
      
    # start training  
    entireSet = True  
    alphaPairsChanged = 0  
    iterCount = 0  
    # Iteration termination condition:  
    #   Condition 1: reach max iteration  
    #   Condition 2: no alpha changed after going through all samples,  
    #                in other words, all alpha (samples) fit KKT condition  
    while (iterCount < maxIter) and ((alphaPairsChanged > 0) or entireSet):  
        alphaPairsChanged = 0  
 
        # update alphas over all training examples  
        if entireSet:  
            for i in xrange(svm.numSamples):  
                alphaPairsChanged += innerLoop(svm, i)  
            print '---iter:%d entire set, alpha pairs changed:%d' % (iterCount, alphaPairsChanged)  
            iterCount += 1  
        # update alphas over examples where alpha is not 0 & not C (not on boundary)  
        else:  
            nonBoundAlphasList = nonzero((svm.alphas.A > 0) * (svm.alphas.A < svm.C))[0]  
            for i in nonBoundAlphasList:  
                alphaPairsChanged += innerLoop(svm, i)  
            print '---iter:%d non boundary, alpha pairs changed:%d' % (iterCount, alphaPairsChanged)  
            iterCount += 1  
 
        # alternate loop over all examples and non-boundary examples  
        if entireSet:  
            entireSet = False  
        elif alphaPairsChanged == 0:  
            entireSet = True  
 
    print 'Congratulations, training complete! Took %fs!' % (time.time() - startTime)  
    return svm  
 
 
# testing your trained svm model given test set  
def testSVM(svm, test_x, test_y):  
    test_x = mat(test_x)  
    test_y = mat(test_y)  
    numTestSamples = test_x.shape[0]  
    supportVectorsIndex = nonzero(svm.alphas.A > 0)[0]  
    supportVectors      = svm.train_x[supportVectorsIndex]  
    supportVectorLabels = svm.train_y[supportVectorsIndex]  
    supportVectorAlphas = svm.alphas[supportVectorsIndex]  
    matchCount = 0  
    for i in xrange(numTestSamples):  
        kernelValue = calcKernelValue(supportVectors, test_x[i, :], svm.kernelOpt)  
        predict = kernelValue.T * multiply(supportVectorLabels, supportVectorAlphas) + svm.b  
        if sign(predict) == sign(test_y[i]):  
            matchCount += 1  
    accuracy = float(matchCount) / numTestSamples  
    return accuracy  
 
 
# show your trained svm model only available with 2-D data  
def showSVM(svm):  
    if svm.train_x.shape[1] != 2:  
        print "Sorry! I can not draw because the dimension of your data is not 2!"  
        return 1  
 
    # draw all samples  
    for i in xrange(svm.numSamples):  
        if svm.train_y[i] == -1:  
            plt.plot(svm.train_x[i, 0], svm.train_x[i, 1], 'or')  
        elif svm.train_y[i] == 1:  
            plt.plot(svm.train_x[i, 0], svm.train_x[i, 1], 'ob')  
 
    # mark support vectors  
    supportVectorsIndex = nonzero(svm.alphas.A > 0)[0]  
    for i in supportVectorsIndex:  
        plt.plot(svm.train_x[i, 0], svm.train_x[i, 1], 'oy')  
      
    # draw the classify line  
    w = zeros((2, 1))  
    for i in supportVectorsIndex:  
        w += multiply(svm.alphas[i] * svm.train_y[i], svm.train_x[i, :].T)   
    min_x = min(svm.train_x[:, 0])[0, 0]  
    max_x = max(svm.train_x[:, 0])[0, 0]  
    y_min_x = float(-svm.b - w[0] * min_x) / w[1]  
    y_max_x = float(-svm.b - w[0] * max_x) / w[1]  
    plt.plot([min_x, max_x], [y_min_x, y_max_x], '-g')  
    plt.show()  

       測試的數(shù)據(jù)來自這里。有100個樣本，每個樣本兩維，最后是對應的標簽，例如：

3.542485 1.977398          -1

3.018896 2.556416          -1

7.551510 -1.580030         1

2.114999 -0.004466         -1

……

       測試代碼中首先加載這個數(shù)據(jù)庫，然后用前面80個樣本來訓練，再用剩下的20個樣本的測試，并顯示訓練后的模型和分類結果。測試代碼如下：

test_SVM.py


[python] view plain copy 在CODE上查看代碼片派生到我的代碼片
#################################################  
# SVM: support vector machine  
# Author : zouxy  
# Date   : 2013-12-12  
# HomePage : http://blog.csdn.net/zouxy09  
# Email  : zouxy09@qq.com  
#################################################  
 
from numpy import *  
import SVM  
 
################## test svm #####################  
## step 1: load data  
print "step 1: load data..."  
dataSet = []  
labels = []  
fileIn = open('E:/Python/Machine Learning in Action/testSet.txt')  
for line in fileIn.readlines():  
    lineArr = line.strip().split('\t')  
    dataSet.append([float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])  
    labels.append(float(lineArr[2]))  
 
dataSet = mat(dataSet)  
labels = mat(labels).T  
train_x = dataSet[0:81, :]  
train_y = labels[0:81, :]  
test_x = dataSet[80:101, :]  
test_y = labels[80:101, :]  
 
## step 2: training...  
print "step 2: training..."  
C = 0.6  
toler = 0.001  
maxIter = 50  
svmClassifier = SVM.trainSVM(train_x, train_y, C, toler, maxIter, kernelOption = ('linear', 0))  
 
## step 3: testing  
print "step 3: testing..."  
accuracy = SVM.testSVM(svmClassifier, test_x, test_y)  
 
## step 4: show the result  
print "step 4: show the result..."    
print 'The classify accuracy is: %.3f%%' % (accuracy * 100)  
SVM.showSVM(svmClassifier)  

運行結果如下：

[python] view plain copy 在CODE上查看代碼片派生到我的代碼片
step 1: load data...  數(shù)據(jù)分析師培訓
step 2: training...  
---iter:0 entire set, alpha pairs changed:8  
---iter:1 non boundary, alpha pairs changed:7  
---iter:2 non boundary, alpha pairs changed:1  
---iter:3 non boundary, alpha pairs changed:0  
---iter:4 entire set, alpha pairs changed:0  
Congratulations, training complete! Took 0.058000s!  
step 3: testing...  
step 4: show the result...  
The classify accuracy is: 100.000% 
訓練好的模型圖：