機(jī)器學(xué)習(xí)算法與Python實(shí)踐之（四）支持向量機(jī)（SVM）實(shí)現(xiàn)

八、SVM的實(shí)現(xiàn)之SMO算法

終于到SVM的實(shí)現(xiàn)部分了。那么神奇和有效的東西還得回歸到實(shí)現(xiàn)才可以展示其強(qiáng)大的功力。SVM有效而且存在很高效的訓(xùn)練算法，這也是工業(yè)界非常青睞SVM的原因。

前面講到，SVM的學(xué)習(xí)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為下面的對(duì)偶問(wèn)題：

需要滿(mǎn)足的KKT條件：

也就是說(shuō)找到一組αi可以滿(mǎn)足上面的這些條件的就是該目標(biāo)的一個(gè)最優(yōu)解。所以我們的優(yōu)化目標(biāo)是找到一組最優(yōu)的αi*。一旦求出這些αi*，就很容易計(jì)算出權(quán)重向量w*和b，并得到分隔超平面了。

這是個(gè)凸二次規(guī)劃問(wèn)題，它具有全局最優(yōu)解，一般可以通過(guò)現(xiàn)有的工具來(lái)優(yōu)化。但當(dāng)訓(xùn)練樣本非常多的時(shí)候，這些優(yōu)化算法往往非常耗時(shí)低效，以致無(wú)法使用。從SVM提出到現(xiàn)在，也出現(xiàn)了很多優(yōu)化訓(xùn)練的方法。其中，非常出名的一個(gè)是1982年由Microsoft Research的John C. Platt在論文《Sequential Minimal Optimization: A Fast Algorithm for TrainingSupport Vector Machines》中提出的Sequential Minimal Optimization序列最小化優(yōu)化算法，簡(jiǎn)稱(chēng)SMO算法。SMO算法的思想很簡(jiǎn)單，它將大優(yōu)化的問(wèn)題分解成多個(gè)小優(yōu)化的問(wèn)題。這些小問(wèn)題往往比較容易求解，并且對(duì)他們進(jìn)行順序求解的結(jié)果與將他們作為整體來(lái)求解的結(jié)果完全一致。在結(jié)果完全一致的同時(shí)，SMO的求解時(shí)間短很多。在深入SMO算法之前，我們先來(lái)了解下坐標(biāo)下降這個(gè)算法，SMO其實(shí)基于這種簡(jiǎn)單的思想的。

8.1、坐標(biāo)下降（上升）法

假設(shè)要求解下面的優(yōu)化問(wèn)題：

在這里，我們需要求解m個(gè)變量αi，一般來(lái)說(shuō)是通過(guò)梯度下降（這里是求最大值，所以應(yīng)該叫上升）等算法每一次迭代對(duì)所有m個(gè)變量αi也就是α向量進(jìn)行一次性?xún)?yōu)化。通過(guò)誤差每次迭代調(diào)整α向量中每個(gè)元素的值。而坐標(biāo)上升法（坐標(biāo)上升與坐標(biāo)下降可以看做是一對(duì)，坐標(biāo)上升是用來(lái)求解max最優(yōu)化問(wèn)題，坐標(biāo)下降用于求min最優(yōu)化問(wèn)題）的思想是每次迭代只調(diào)整一個(gè)變量αi的值，其他變量的值在這次迭代中固定不變。

最里面語(yǔ)句的意思是固定除αi之外的所有αj(i不等于j)，這時(shí)W可看作只是關(guān)于αi的函數(shù)，那么直接對(duì)αi求導(dǎo)優(yōu)化即可。這里我們進(jìn)行最大化求導(dǎo)的順序i是從1到m，可以通過(guò)更改優(yōu)化順序來(lái)使W能夠更快地增加并收斂。如果W在內(nèi)循環(huán)中能夠很快地達(dá)到最優(yōu)，那么坐標(biāo)上升法會(huì)是一個(gè)很高效的求極值方法。

用個(gè)二維的例子來(lái)說(shuō)明下坐標(biāo)下降法：我們需要尋找f(x,y)=x2+xy+y2的最小值處的(x*, y*)，也就是下圖的F*點(diǎn)的地方。

假設(shè)我們初始的點(diǎn)是A（圖是函數(shù)投影到xoy平面的等高線(xiàn)圖，顏色越深值越?。?，我們需要達(dá)到F*的地方。那最快的方法就是圖中黃色線(xiàn)的路徑，一次性就到達(dá)了，其實(shí)這個(gè)是牛頓優(yōu)化法，但如果是高維的話(huà)，這個(gè)方法就不太高效了（因?yàn)樾枰蠼饩仃嚨哪?，這個(gè)不在這里討論）。我們也可以按照紅色所指示的路徑來(lái)走。從A開(kāi)始，先固定x，沿著y軸往讓f(x, y)值減小的方向走到B點(diǎn)，然后固定y，沿著x軸往讓f(x, y)值減小的方向走到C點(diǎn)，不斷循環(huán)，直到到達(dá)F*。反正每次只要我們都往讓f(x, y)值小的地方走就行了，這樣腳踏實(shí)地，一步步走，每一步都使f(x, y)慢慢變小，總有一天，皇天不負(fù)有心人的。到達(dá)F*也是時(shí)間問(wèn)題。到這里你可能會(huì)說(shuō)，這紅色線(xiàn)比黃色線(xiàn)貧富差距也太嚴(yán)重了吧。因?yàn)檫@里是二維的簡(jiǎn)單的情況嘛。如果是高維的情況，而且目標(biāo)函數(shù)很復(fù)雜的話(huà)，再加上樣本集很多，那么在梯度下降中，目標(biāo)函數(shù)對(duì)所有αi求梯度或者在牛頓法中對(duì)矩陣求逆，都是很耗時(shí)的。這時(shí)候，如果W只對(duì)單個(gè)αi優(yōu)化很快的時(shí)候，坐標(biāo)下降法可能會(huì)更加高效。

8.2、SMO算法

SMO算法的思想和坐標(biāo)下降法的思想差不多。唯一不同的是，SMO是一次迭代優(yōu)化兩個(gè)α而不是一個(gè)。為什么要優(yōu)化兩個(gè)呢？

我們回到這個(gè)優(yōu)化問(wèn)題。我們可以看到這個(gè)優(yōu)化問(wèn)題存在著一個(gè)約束，也就是

假設(shè)我們首先固定除α1以外的所有參數(shù)，然后在α1上求極值。但需要注意的是，因?yàn)槿绻潭é?以外的所有參數(shù)，由上面這個(gè)約束條件可以知道，α1將不再是變量（可以由其他值推出），因?yàn)閱?wèn)題中規(guī)定了：

因此，我們需要一次選取兩個(gè)參數(shù)做優(yōu)化，比如αi和αj，此時(shí)αi可以由αj和其他參數(shù)表示出來(lái)。這樣回代入W中，W就只是關(guān)于αj的函數(shù)了，這時(shí)候就可以只對(duì)αj進(jìn)行優(yōu)化了。在這里就是對(duì)αj進(jìn)行求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)為0就可以解出這個(gè)時(shí)候最優(yōu)的αj了。然后也可以得到αi。這就是一次的迭代過(guò)程，一次迭代只調(diào)整兩個(gè)拉格朗日乘子αi和αj。SMO之所以高效就是因?yàn)樵诠潭ㄆ渌麉?shù)后，對(duì)一個(gè)參數(shù)優(yōu)化過(guò)程很高效（對(duì)一個(gè)參數(shù)的優(yōu)化可以通過(guò)解析求解，而不是迭代。雖然對(duì)一個(gè)參數(shù)的一次最小優(yōu)化不可能保證其結(jié)果就是所優(yōu)化的拉格朗日乘子的最終結(jié)果，但會(huì)使目標(biāo)函數(shù)向極小值邁進(jìn)一步，這樣對(duì)所有的乘子做最小優(yōu)化，直到所有滿(mǎn)足KKT條件時(shí)，目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最?。?

總結(jié)下來(lái)是：

重復(fù)下面過(guò)程直到收斂{

（1）選擇兩個(gè)拉格朗日乘子αi和αj；

（2）固定其他拉格朗日乘子αk(k不等于i和j)，只對(duì)αi和αj優(yōu)化w(α);

（3）根據(jù)優(yōu)化后的αi和αj，更新截距b的值；

}

那訓(xùn)練里面這兩三步驟到底是怎么實(shí)現(xiàn)的，需要考慮什么呢？下面我們來(lái)具體分析下：

（1）選擇αi和αj：

我們現(xiàn)在是每次迭代都優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的兩個(gè)拉格朗日乘子αi和αj，然后其他的拉格朗日乘子保持固定。如果有N個(gè)訓(xùn)練樣本，我們就有N個(gè)拉格朗日乘子需要優(yōu)化，但每次我們只挑兩個(gè)進(jìn)行優(yōu)化，我們就有N(N-1)種選擇。那到底我們要選擇哪對(duì)αi和αj呢？選擇哪對(duì)才好呢？想想我們的目標(biāo)是什么？我們希望把所有違法KKT條件的樣本都糾正回來(lái)，因?yàn)槿绻袠颖径紳M(mǎn)足KKT條件的話(huà)，我們的優(yōu)化就完成了。那就很直觀了，哪個(gè)害群之馬最嚴(yán)重，我們得先對(duì)他進(jìn)行思想教育，讓他盡早回歸正途。OK，那我們選擇的第一個(gè)變量αi就選違法KKT條件最嚴(yán)重的那一個(gè)。那第二個(gè)變量αj怎么選呢？

我們是希望快點(diǎn)找到最優(yōu)的N個(gè)拉格朗日乘子，使得代價(jià)函數(shù)最大，換句話(huà)說(shuō)，要最快的找到代價(jià)函數(shù)最大值的地方對(duì)應(yīng)的N個(gè)拉格朗日乘子。這樣我們的訓(xùn)練時(shí)間才會(huì)短。就像你從廣州去北京，有飛機(jī)和綠皮車(chē)給你選，你選啥？（就算你不考慮速度，也得考慮下空姐的感受嘛，別辜負(fù)了她們渴望看到你的期盼，哈哈）。有點(diǎn)離題了，anyway，每次迭代中，哪對(duì)αi和αj可以讓我更快的達(dá)到代價(jià)函數(shù)值最大的地方，我們就選他們?；蛘哒f(shuō)，走完這一步，選這對(duì)αi和αj代價(jià)函數(shù)值增加的值最多，比選擇其他所有αi和αj的結(jié)合中都多。這樣我們才可以更快的接近代價(jià)函數(shù)的最大值，也就是達(dá)到優(yōu)化的目標(biāo)了。再例如，下圖，我們要從A點(diǎn)走到B點(diǎn)，按藍(lán)色的路線(xiàn)走c2方向的時(shí)候，一跨一大步，按紅色的路線(xiàn)走c1方向的時(shí)候，只能是人類(lèi)的一小步。所以，藍(lán)色路線(xiàn)走兩步就邁進(jìn)了成功之門(mén)，而紅色的路線(xiàn)，人生曲折，好像成功遙遙無(wú)期一樣，故曰，選擇比努力更重要！

真啰嗦！說(shuō)了半天，其實(shí)就一句話(huà)：為什么每次迭代都要選擇最好的αi和αj，就是為了更快的收斂！那實(shí)踐中每次迭代到底要怎樣選αi和αj呢？這有個(gè)很好聽(tīng)的名字叫啟發(fā)式選擇，主要思想是先選擇最有可能需要優(yōu)化（也就是違反KKT條件最嚴(yán)重）的αi，再針對(duì)這樣的αi選擇最有可能取得較大修正步長(zhǎng)的αj。具體是以下兩個(gè)過(guò)程：

1）第一個(gè)變量αi的選擇：

SMO稱(chēng)選擇第一個(gè)變量的過(guò)程為外層循環(huán)。外層訓(xùn)練在訓(xùn)練樣本中選取違法KKT條件最嚴(yán)重的樣本點(diǎn)。并將其對(duì)應(yīng)的變量作為第一個(gè)變量。具體的，檢驗(yàn)訓(xùn)練樣本(xi, yi)是否滿(mǎn)足KKT條件，也就是：

該檢驗(yàn)是在ε范圍內(nèi)進(jìn)行的。在檢驗(yàn)過(guò)程中，外層循環(huán)首先遍歷所有滿(mǎn)足條件0<αj<C的樣本點(diǎn)，即在間隔邊界上的支持向量點(diǎn)，檢驗(yàn)他們是否滿(mǎn)足KKT條件，然后選擇違反KKT條件最嚴(yán)重的αi。如果這些樣本點(diǎn)都滿(mǎn)足KKT條件，那么遍歷整個(gè)訓(xùn)練集，檢驗(yàn)他們是否滿(mǎn)足KKT條件，然后選擇違反KKT條件最嚴(yán)重的αi。

優(yōu)先選擇遍歷非邊界數(shù)據(jù)樣本，因?yàn)榉沁吔鐢?shù)據(jù)樣本更有可能需要調(diào)整，邊界數(shù)據(jù)樣本常常不能得到進(jìn)一步調(diào)整而留在邊界上。由于大部分?jǐn)?shù)據(jù)樣本都很明顯不可能是支持向量，因此對(duì)應(yīng)的α乘子一旦取得零值就無(wú)需再調(diào)整。遍歷非邊界數(shù)據(jù)樣本并選出他們當(dāng)中違反KKT 條件為止。當(dāng)某一次遍歷發(fā)現(xiàn)沒(méi)有非邊界數(shù)據(jù)樣本得到調(diào)整時(shí)，遍歷所有數(shù)據(jù)樣本，以檢驗(yàn)是否整個(gè)集合都滿(mǎn)足KKT條件。如果整個(gè)集合的檢驗(yàn)中又有數(shù)據(jù)樣本被進(jìn)一步進(jìn)化，則有必要再遍歷非邊界數(shù)據(jù)樣本。這樣，不停地在遍歷所有數(shù)據(jù)樣本和遍歷非邊界數(shù)據(jù)樣本之間切換，直到整個(gè)樣本集合都滿(mǎn)足KKT條件為止。以上用KKT條件對(duì)數(shù)據(jù)樣本所做的檢驗(yàn)都以達(dá)到一定精度ε就可以停止為條件。如果要求十分精確的輸出算法，則往往不能很快收斂。

對(duì)整個(gè)數(shù)據(jù)集的遍歷掃描相當(dāng)容易，而實(shí)現(xiàn)對(duì)非邊界αi的掃描時(shí)，首先需要將所有非邊界樣本的αi值（也就是滿(mǎn)足0<αi<C）保存到新的一個(gè)列表中，然后再對(duì)其進(jìn)行遍歷。同時(shí)，該步驟跳過(guò)那些已知的不會(huì)改變的αi值。

2）第二個(gè)變量αj的選擇：

在選擇第一個(gè)αi后，算法會(huì)通過(guò)一個(gè)內(nèi)循環(huán)來(lái)選擇第二個(gè)αj值。因?yàn)榈诙€(gè)乘子的迭代步長(zhǎng)大致正比于|Ei-Ej|，所以我們需要選擇能夠最大化|Ei-Ej|的第二個(gè)乘子（選擇最大化迭代步長(zhǎng)的第二個(gè)乘子）。在這里，為了節(jié)省計(jì)算時(shí)間，我們建立一個(gè)全局的緩存用于保存所有樣本的誤差值，而不用每次選擇的時(shí)候就重新計(jì)算。我們從中選擇使得步長(zhǎng)最大或者|Ei-Ej|最大的αj。

（2）優(yōu)化αi和αj：

選擇這兩個(gè)拉格朗日乘子后，我們需要先計(jì)算這些參數(shù)的約束值。然后再求解這個(gè)約束最大化問(wèn)題。

首先，我們需要給αj找到邊界L<=αj<=H，以保證αj滿(mǎn)足0<=αj<=C的約束。這意味著αj必須落入這個(gè)盒子中。由于只有兩個(gè)變量(αi, αj)，約束可以用二維空間中的圖形來(lái)表示，如下圖：

不等式約束使得(αi,αj)在盒子[0, C]x[0, C]內(nèi)，等式約束使得(αi, αj)在平行于盒子[0, C]x[0, C]的對(duì)角線(xiàn)的直線(xiàn)上。因此要求的是目標(biāo)函數(shù)在一條平行于對(duì)角線(xiàn)的線(xiàn)段上的最優(yōu)值。這使得兩個(gè)變量的最優(yōu)化問(wèn)題成為實(shí)質(zhì)的單變量的最優(yōu)化問(wèn)題。由圖可以得到，αj的上下界可以通過(guò)下面的方法得到：

我們優(yōu)化的時(shí)候，αj必須要滿(mǎn)足上面這個(gè)約束。也就是說(shuō)上面是αj的可行域。然后我們開(kāi)始尋找αj，使得目標(biāo)函數(shù)最大化。通過(guò)推導(dǎo)得到αj的更新公式如下：

這里Ek可以看做對(duì)第k個(gè)樣本，SVM的輸出與期待輸出，也就是樣本標(biāo)簽的誤差。

而η實(shí)際上是度量?jī)蓚€(gè)樣本i和j的相似性的。在計(jì)算η的時(shí)候，我們需要使用核函數(shù)，那么就可以用核函數(shù)來(lái)取代上面的內(nèi)積。

得到新的αj后，我們需要保證它處于邊界內(nèi)。換句話(huà)說(shuō)，如果這個(gè)優(yōu)化后的值跑出了邊界L和H，我們就需要簡(jiǎn)單的裁剪，將αj收回這個(gè)范圍：

最后，得到優(yōu)化的αj后，我們需要用它來(lái)計(jì)算αi：

到這里，αi和αj的優(yōu)化就完成了。

（3）計(jì)算閾值b：

優(yōu)化αi和αj后，我們就可以更新閾值b，使得對(duì)兩個(gè)樣本i和j都滿(mǎn)足KKT條件。如果優(yōu)化后αi不在邊界上（也就是滿(mǎn)足0<αi<C，這時(shí)候根據(jù)KKT條件，可以得到y(tǒng)igi(xi)=1，這樣我們才可以計(jì)算b），那下面的閾值b1是有效的，因?yàn)楫?dāng)輸入xi時(shí)它迫使SVM輸出yi。

同樣，如果0<αj<C，那么下面的b2也是有效的：

如果0<αi<C和0<αj<C都滿(mǎn)足，那么b1和b2都有效，而且他們是相等的。如果他們兩個(gè)都處于邊界上（也就是αi=0或者αi=C，同時(shí)αj=0或者αj=C），那么在b1和b2之間的閾值都滿(mǎn)足KKT條件，一般我們?nèi)∷麄兊钠骄礲=(b1+b2)/2。所以，總的來(lái)說(shuō)對(duì)b的更新如下：

每做完一次最小優(yōu)化，必須更新每個(gè)數(shù)據(jù)樣本的誤差，以便用修正過(guò)的分類(lèi)面對(duì)其他數(shù)據(jù)樣本再做檢驗(yàn)，在選擇第二個(gè)配對(duì)優(yōu)化數(shù)據(jù)樣本時(shí)用來(lái)估計(jì)步長(zhǎng)。

（4）凸優(yōu)化問(wèn)題終止條件：

SMO算法的基本思路是：如果說(shuō)有變量的解都滿(mǎn)足此最優(yōu)化問(wèn)題的KKT條件，那么這個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題的解就得到了。因?yàn)镵KT條件是該最優(yōu)化問(wèn)題的充分必要條件（證明請(qǐng)參考文獻(xiàn)）。所以我們可以監(jiān)視原問(wèn)題的KKT條件，所以所有的樣本都滿(mǎn)足KKT條件，那么就表示迭代結(jié)束了。但是由于KKT條件本身是比較苛刻的，所以也需要設(shè)定一個(gè)容忍值，即所有樣本在容忍值范圍內(nèi)滿(mǎn)足KKT條件則認(rèn)為訓(xùn)練可以結(jié)束；當(dāng)然了，對(duì)于對(duì)偶問(wèn)題的凸優(yōu)化還有其他終止條件，可以參考文獻(xiàn)。

8.3、SMO算法的Python實(shí)現(xiàn)

8.3.1、Python的準(zhǔn)備工作

我使用的Python是2.7.5版本的。附加的庫(kù)有Numpy和Matplotlib。而Matplotlib又依賴(lài)dateutil和pyparsing兩個(gè)庫(kù)，所以我們需要安裝以上三個(gè)庫(kù)。前面兩個(gè)庫(kù)還好安裝，直接在官網(wǎng)下對(duì)應(yīng)版本就行。但我找后兩個(gè)庫(kù)的時(shí)候，就沒(méi)那么容易了。后來(lái)發(fā)現(xiàn)，其實(shí)對(duì)Python的庫(kù)的下載和安裝可以借助pip工具的。這個(gè)是安裝和管理Python包的工具。

8.3.2、SMO算法的Python實(shí)現(xiàn)

在代碼中已經(jīng)有了比較詳細(xì)的注釋了。不知道有沒(méi)有錯(cuò)誤的地方，如果有，還望大家指正（每次的運(yùn)行結(jié)果都有可能不同，另外，感覺(jué)有些結(jié)果似乎不太正確，但我還沒(méi)發(fā)現(xiàn)哪里出錯(cuò)了，如果大家找到有錯(cuò)誤的地方，還望大家指點(diǎn)下，衷心感謝）。里面我寫(xiě)了個(gè)可視化結(jié)果的函數(shù)，但只能在二維的數(shù)據(jù)上面使用。直接貼代碼：

SVM.py

[python] view plain copy 在CODE上查看代碼片派生到我的代碼片
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# SVM: support vector machine  
# Author : zouxy  
# Date   : 2013-12-12  
# HomePage : http://blog.csdn.net/zouxy09  
# Email  : zouxy09@qq.com  
#################################################  
 
from numpy import *  
import time  
import matplotlib.pyplot as plt   
 
 
# calulate kernel value  
def calcKernelValue(matrix_x, sample_x, kernelOption):  
    kernelType = kernelOption[0]  
    numSamples = matrix_x.shape[0]  
    kernelValue = mat(zeros((numSamples, 1)))  
      
    if kernelType == 'linear':  
        kernelValue = matrix_x * sample_x.T  
    elif kernelType == 'rbf':  
        sigma = kernelOption[1]  
        if sigma == 0:  
            sigma = 1.0  
        for i in xrange(numSamples):  
            diff = matrix_x[i, :] - sample_x  
            kernelValue[i] = exp(diff * diff.T / (-2.0 * sigma**2))  
    else:  
        raise NameError('Not support kernel type! You can use linear or rbf!')  
    return kernelValue  
 
 
# calculate kernel matrix given train set and kernel type  
def calcKernelMatrix(train_x, kernelOption):  
    numSamples = train_x.shape[0]  
    kernelMatrix = mat(zeros((numSamples, numSamples)))  
    for i in xrange(numSamples):  
        kernelMatrix[:, i] = calcKernelValue(train_x, train_x[i, :], kernelOption)  
    return kernelMatrix  
 
 
# define a struct just for storing variables and data  
class SVMStruct:  
    def __init__(self, dataSet, labels, C, toler, kernelOption):  
        self.train_x = dataSet # each row stands for a sample  
        self.train_y = labels  # corresponding label  
        self.C = C             # slack variable  
        self.toler = toler     # termination condition for iteration  
        self.numSamples = dataSet.shape[0] # number of samples  
        self.alphas = mat(zeros((self.numSamples, 1))) # Lagrange factors for all samples  
        self.b = 0  
        self.errorCache = mat(zeros((self.numSamples, 2)))  
        self.kernelOpt = kernelOption  
        self.kernelMat = calcKernelMatrix(self.train_x, self.kernelOpt)  
 
          
# calculate the error for alpha k  
def calcError(svm, alpha_k):  
    output_k = float(multiply(svm.alphas, svm.train_y).T * svm.kernelMat[:, alpha_k] + svm.b)  
    error_k = output_k - float(svm.train_y[alpha_k])  
    return error_k  
 
 
# update the error cache for alpha k after optimize alpha k  
def updateError(svm, alpha_k):  
    error = calcError(svm, alpha_k)  
    svm.errorCache[alpha_k] = [1, error]  
 
 
# select alpha j which has the biggest step  
def selectAlpha_j(svm, alpha_i, error_i):  
    svm.errorCache[alpha_i] = [1, error_i] # mark as valid(has been optimized)  
    candidateAlphaList = nonzero(svm.errorCache[:, 0].A)[0] # mat.A return array  
    maxStep = 0; alpha_j = 0; error_j = 0  
 
    # find the alpha with max iterative step  
    if len(candidateAlphaList) > 1:  
        for alpha_k in candidateAlphaList:  
            if alpha_k == alpha_i:   
                continue  
            error_k = calcError(svm, alpha_k)  
            if abs(error_k - error_i) > maxStep:  
                maxStep = abs(error_k - error_i)  
                alpha_j = alpha_k  
                error_j = error_k  
    # if came in this loop first time, we select alpha j randomly  
    else:             
        alpha_j = alpha_i  
        while alpha_j == alpha_i:  
            alpha_j = int(random.uniform(0, svm.numSamples))  
        error_j = calcError(svm, alpha_j)  
      
    return alpha_j, error_j  
 
 
# the inner loop for optimizing alpha i and alpha j  
def innerLoop(svm, alpha_i):  
    error_i = calcError(svm, alpha_i)  
 
    ### check and pick up the alpha who violates the KKT condition  
    ## satisfy KKT condition  
    # 1) yi*f(i) >= 1 and alpha == 0 (outside the boundary)  
    # 2) yi*f(i) == 1 and 0<alpha< C (on the boundary)  
    # 3) yi*f(i) <= 1 and alpha == C (between the boundary)  
    ## violate KKT condition  
    # because y[i]*E_i = y[i]*f(i) - y[i]^2 = y[i]*f(i) - 1, so  
    # 1) if y[i]*E_i < 0, so yi*f(i) < 1, if alpha < C, violate!(alpha = C will be correct)   
    # 2) if y[i]*E_i > 0, so yi*f(i) > 1, if alpha > 0, violate!(alpha = 0 will be correct)  
    # 3) if y[i]*E_i = 0, so yi*f(i) = 1, it is on the boundary, needless optimized  
    if (svm.train_y[alpha_i] * error_i < -svm.toler) and (svm.alphas[alpha_i] < svm.C) or\  
        (svm.train_y[alpha_i] * error_i > svm.toler) and (svm.alphas[alpha_i] > 0):  
 
        # step 1: select alpha j  
        alpha_j, error_j = selectAlpha_j(svm, alpha_i, error_i)  
        alpha_i_old = svm.alphas[alpha_i].copy()  
        alpha_j_old = svm.alphas[alpha_j].copy()  
 
        # step 2: calculate the boundary L and H for alpha j  
        if svm.train_y[alpha_i] != svm.train_y[alpha_j]:  
            L = max(0, svm.alphas[alpha_j] - svm.alphas[alpha_i])  
            H = min(svm.C, svm.C + svm.alphas[alpha_j] - svm.alphas[alpha_i])  
        else:  
            L = max(0, svm.alphas[alpha_j] + svm.alphas[alpha_i] - svm.C)  
            H = min(svm.C, svm.alphas[alpha_j] + svm.alphas[alpha_i])  
        if L == H:  
            return 0  
 
        # step 3: calculate eta (the similarity of sample i and j)  
        eta = 2.0 * svm.kernelMat[alpha_i, alpha_j] - svm.kernelMat[alpha_i, alpha_i] \  
                  - svm.kernelMat[alpha_j, alpha_j]  
        if eta >= 0:  
            return 0  
 
        # step 4: update alpha j  
        svm.alphas[alpha_j] -= svm.train_y[alpha_j] * (error_i - error_j) / eta  
 
        # step 5: clip alpha j  
        if svm.alphas[alpha_j] > H:  
            svm.alphas[alpha_j] = H  
        if svm.alphas[alpha_j] < L:  
            svm.alphas[alpha_j] = L  
 
        # step 6: if alpha j not moving enough, just return       
        if abs(alpha_j_old - svm.alphas[alpha_j]) < 0.00001:  
            updateError(svm, alpha_j)  
            return 0  
 
        # step 7: update alpha i after optimizing aipha j  
        svm.alphas[alpha_i] += svm.train_y[alpha_i] * svm.train_y[alpha_j] \  
                                * (alpha_j_old - svm.alphas[alpha_j])  
 
        # step 8: update threshold b  
        b1 = svm.b - error_i - svm.train_y[alpha_i] * (svm.alphas[alpha_i] - alpha_i_old) \  
                                                    * svm.kernelMat[alpha_i, alpha_i] \  
                             - svm.train_y[alpha_j] * (svm.alphas[alpha_j] - alpha_j_old) \  
                                                    * svm.kernelMat[alpha_i, alpha_j]  
        b2 = svm.b - error_j - svm.train_y[alpha_i] * (svm.alphas[alpha_i] - alpha_i_old) \  
                                                    * svm.kernelMat[alpha_i, alpha_j] \  
                             - svm.train_y[alpha_j] * (svm.alphas[alpha_j] - alpha_j_old) \  
                                                    * svm.kernelMat[alpha_j, alpha_j]  
        if (0 < svm.alphas[alpha_i]) and (svm.alphas[alpha_i] < svm.C):  
            svm.b = b1  
        elif (0 < svm.alphas[alpha_j]) and (svm.alphas[alpha_j] < svm.C):  
            svm.b = b2  
        else:  
            svm.b = (b1 + b2) / 2.0  
 
        # step 9: update error cache for alpha i, j after optimize alpha i, j and b  
        updateError(svm, alpha_j)  
        updateError(svm, alpha_i)  
 
        return 1  
    else:  
        return 0  
 
 
# the main training procedure  
def trainSVM(train_x, train_y, C, toler, maxIter, kernelOption = ('rbf', 1.0)):  
    # calculate training time  
    startTime = time.time()  
 
    # init data struct for svm  
    svm = SVMStruct(mat(train_x), mat(train_y), C, toler, kernelOption)  
      
    # start training  
    entireSet = True  
    alphaPairsChanged = 0  
    iterCount = 0  
    # Iteration termination condition:  
    #   Condition 1: reach max iteration  
    #   Condition 2: no alpha changed after going through all samples,  
    #                in other words, all alpha (samples) fit KKT condition  
    while (iterCount < maxIter) and ((alphaPairsChanged > 0) or entireSet):  
        alphaPairsChanged = 0  
 
        # update alphas over all training examples  
        if entireSet:  
            for i in xrange(svm.numSamples):  
                alphaPairsChanged += innerLoop(svm, i)  
            print '---iter:%d entire set, alpha pairs changed:%d' % (iterCount, alphaPairsChanged)  
            iterCount += 1  
        # update alphas over examples where alpha is not 0 & not C (not on boundary)  
        else:  
            nonBoundAlphasList = nonzero((svm.alphas.A > 0) * (svm.alphas.A < svm.C))[0]  
            for i in nonBoundAlphasList:  
                alphaPairsChanged += innerLoop(svm, i)  
            print '---iter:%d non boundary, alpha pairs changed:%d' % (iterCount, alphaPairsChanged)  
            iterCount += 1  
 
        # alternate loop over all examples and non-boundary examples  
        if entireSet:  
            entireSet = False  
        elif alphaPairsChanged == 0:  
            entireSet = True  
 
    print 'Congratulations, training complete! Took %fs!' % (time.time() - startTime)  
    return svm  
 
 
# testing your trained svm model given test set  
def testSVM(svm, test_x, test_y):  
    test_x = mat(test_x)  
    test_y = mat(test_y)  
    numTestSamples = test_x.shape[0]  
    supportVectorsIndex = nonzero(svm.alphas.A > 0)[0]  
    supportVectors      = svm.train_x[supportVectorsIndex]  
    supportVectorLabels = svm.train_y[supportVectorsIndex]  
    supportVectorAlphas = svm.alphas[supportVectorsIndex]  
    matchCount = 0  
    for i in xrange(numTestSamples):  
        kernelValue = calcKernelValue(supportVectors, test_x[i, :], svm.kernelOpt)  
        predict = kernelValue.T * multiply(supportVectorLabels, supportVectorAlphas) + svm.b  
        if sign(predict) == sign(test_y[i]):  
            matchCount += 1  
    accuracy = float(matchCount) / numTestSamples  
    return accuracy  
 
 
# show your trained svm model only available with 2-D data  
def showSVM(svm):  
    if svm.train_x.shape[1] != 2:  
        print "Sorry! I can not draw because the dimension of your data is not 2!"  
        return 1  
 
    # draw all samples  
    for i in xrange(svm.numSamples):  
        if svm.train_y[i] == -1:  
            plt.plot(svm.train_x[i, 0], svm.train_x[i, 1], 'or')  
        elif svm.train_y[i] == 1:  
            plt.plot(svm.train_x[i, 0], svm.train_x[i, 1], 'ob')  
 
    # mark support vectors  
    supportVectorsIndex = nonzero(svm.alphas.A > 0)[0]  
    for i in supportVectorsIndex:  
        plt.plot(svm.train_x[i, 0], svm.train_x[i, 1], 'oy')  
      
    # draw the classify line  
    w = zeros((2, 1))  
    for i in supportVectorsIndex:  
        w += multiply(svm.alphas[i] * svm.train_y[i], svm.train_x[i, :].T)   
    min_x = min(svm.train_x[:, 0])[0, 0]  
    max_x = max(svm.train_x[:, 0])[0, 0]  
    y_min_x = float(-svm.b - w[0] * min_x) / w[1]  
    y_max_x = float(-svm.b - w[0] * max_x) / w[1]  
    plt.plot([min_x, max_x], [y_min_x, y_max_x], '-g')  
    plt.show()  

       測(cè)試的數(shù)據(jù)來(lái)自這里。有100個(gè)樣本，每個(gè)樣本兩維，最后是對(duì)應(yīng)的標(biāo)簽，例如：

3.542485 1.977398          -1

3.018896 2.556416          -1

7.551510 -1.580030         1

2.114999 -0.004466         -1

……

       測(cè)試代碼中首先加載這個(gè)數(shù)據(jù)庫(kù)，然后用前面80個(gè)樣本來(lái)訓(xùn)練，再用剩下的20個(gè)樣本的測(cè)試，并顯示訓(xùn)練后的模型和分類(lèi)結(jié)果。測(cè)試代碼如下：

test_SVM.py


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#################################################  
# SVM: support vector machine  
# Author : zouxy  
# Date   : 2013-12-12  
# HomePage : http://blog.csdn.net/zouxy09  
# Email  : zouxy09@qq.com  
#################################################  
 
from numpy import *  
import SVM  
 
################## test svm #####################  
## step 1: load data  
print "step 1: load data..."  
dataSet = []  
labels = []  
fileIn = open('E:/Python/Machine Learning in Action/testSet.txt')  
for line in fileIn.readlines():  
    lineArr = line.strip().split('\t')  
    dataSet.append([float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])  
    labels.append(float(lineArr[2]))  
 
dataSet = mat(dataSet)  
labels = mat(labels).T  
train_x = dataSet[0:81, :]  
train_y = labels[0:81, :]  
test_x = dataSet[80:101, :]  
test_y = labels[80:101, :]  
 
## step 2: training...  
print "step 2: training..."  
C = 0.6  
toler = 0.001  
maxIter = 50  
svmClassifier = SVM.trainSVM(train_x, train_y, C, toler, maxIter, kernelOption = ('linear', 0))  
 
## step 3: testing  
print "step 3: testing..."  
accuracy = SVM.testSVM(svmClassifier, test_x, test_y)  
 
## step 4: show the result  
print "step 4: show the result..."    
print 'The classify accuracy is: %.3f%%' % (accuracy * 100)  
SVM.showSVM(svmClassifier)  

運(yùn)行結(jié)果如下：

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step 1: load data...  數(shù)據(jù)分析師培訓(xùn)
step 2: training...  
---iter:0 entire set, alpha pairs changed:8  
---iter:1 non boundary, alpha pairs changed:7  
---iter:2 non boundary, alpha pairs changed:1  
---iter:3 non boundary, alpha pairs changed:0  
---iter:4 entire set, alpha pairs changed:0  
Congratulations, training complete! Took 0.058000s!  
step 3: testing...  
step 4: show the result...  
The classify accuracy is: 100.000% 
訓(xùn)練好的模型圖：