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簡單易學(xué)的機(jī)器學(xué)習(xí)算法—SVD奇異值分解
2017-03-24
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簡單易學(xué)的機(jī)器學(xué)習(xí)算法—SVD奇異值分解

一、SVD奇異值分解的定義
    假設(shè)M是一個(gè)的矩陣，如果存在一個(gè)分解：

其中的酉矩陣，的半正定對角矩陣，的共軛轉(zhuǎn)置矩陣，且為的酉矩陣。這樣的分解稱為M的奇異值分解，對角線上的元素稱為奇異值，稱為左奇異矩陣，稱為右奇異矩陣。
二、SVD奇異值分解與特征值分解的關(guān)系

特征值分解與SVD奇異值分解的目的都是提取一個(gè)矩陣最重要的特征。然而，特征值分解只適用于方陣，而SVD奇異值分解適用于任意的矩陣，不一定是方陣。

這里，是方陣，為單位矩陣，的特征向量，的特征向量。的特征值為M的奇異值的平方。
三、SVD奇異值分解的作用和意義
    奇異值分解最大的作用就是數(shù)據(jù)的降維，當(dāng)然，還有其他很多的作用，這里主要討論數(shù)據(jù)的降維，對于的矩陣m，進(jìn)行奇異值分解

取其前r個(gè)非零奇異值，可以還原原來的矩陣M，即前R個(gè)非零奇異值對應(yīng)的奇異向量代表了M矩陣的主要特征?？梢员硎緸?br />
五、實(shí)驗(yàn)的仿真
    我們在手寫體上做實(shí)驗(yàn)，原始矩陣為

原始矩陣
對應(yīng)的圖像為

對應(yīng)圖像
經(jīng)過SVD分解后的奇異值矩陣為

部分奇異值矩陣
取前14個(gè)非零奇異值

前14個(gè)非零奇異值
還原原始矩陣B，還原后的圖像為

還原后的圖像
對比圖像

對比圖像
MATLAB代碼
[plain] view plain copy
%% 測試奇異值分解過程  
load data.mat;%該文件是做好的一個(gè)手寫體的圖片  
B = zeros(28,28);%將行向量重新轉(zhuǎn)換成原始的圖片  
  數(shù)據(jù)分析師培訓(xùn)
for i = 1:28  
    j = 28*(i-1)+1;  
    B(i,:) = A(1,j:j+27);  
end  
 
%進(jìn)行奇異值分解  
[U S V] = svd(B);  
 
%選取前面14個(gè)非零奇異值  
for i = 1:14  
    for j = 1:14  
        S_1(i,j) = S(i,j);  
    end  
end  
 
%左奇異矩陣  
for i = 1:28  
    for j = 1:14  
        U_1(i,j) = U(i,j);  
    end  
end  
 
%右奇異矩陣  
for i = 1:28  
    for j = 1:14  
        V_1(i,j) = V(i,j);  
    end  
end  
 
B_1 = U_1*S_1*V_1';  
 
%同時(shí)輸出兩個(gè)圖片  
subplot(121);imshow(B);  
subplot(122);imshow(B_1); 

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') } function initGt() { var handler = function (captchaObj) { captchaObj.appendTo('#captcha'); captchaObj.onReady(function () { $("#wait").hide(); }).onSuccess(function(){ $('.getcheckcode').removeClass('dis'); $('.getcheckcode').trigger('click'); }); window.captchaObj = captchaObj; }; $('#captcha').show(); $.ajax({ url: "/login/gtstart?t=" + (new Date()).getTime(), // 加隨機(jī)數(shù)防止緩存 type: "get", dataType: "json", success: function (data) { $('#text').hide(); $('#wait').show(); // 調(diào)用 initGeetest 進(jìn)行初始化 // 參數(shù)1：配置參數(shù) // 參數(shù)2：回調(diào)，回調(diào)的第一個(gè)參數(shù)驗(yàn)證碼對象，之后可以使用它調(diào)用相應(yīng)的接口 initGeetest({ // 以下 4 個(gè)配置參數(shù)為必須，不能缺少 gt: data.gt, challenge: data.challenge, offline: !data.success, // 表示用戶后臺檢測極驗(yàn)服務(wù)器是否宕機(jī) new_captcha: data.new_captcha, // 用于宕機(jī)時(shí)表示是新驗(yàn)證碼的宕機(jī) product: "float", // 產(chǎn)品形式，包括：float，popup width: "280px", https: true // 更多配置參數(shù)說明請參見：http://docs.geetest.com/install/client/web-front/ }, handler); } }); } function codeCutdown() { if(_wait == 0){ //倒計(jì)時(shí)完成 $(".getcheckcode").removeClass('dis').html("重新獲取"); }else{ $(".getcheckcode").addClass('dis').html("重新獲取("+_wait+"s)"); _wait--; setTimeout(function () { codeCutdown(); },1000); } } function inputValidate(ele,telInput) { var oInput = ele; var inputVal = oInput.val(); var oType = ele.attr('data-type'); var oEtag = $('#etag').val(); var oErr = oInput.closest('.form_box').next('.err_txt'); var empTxt = '請輸入'+oInput.attr('placeholder')+'！'; var errTxt = '請輸入正確的'+oInput.attr('placeholder')+'！'; var pattern; if(inputVal==""){ if(!telInput){ errFun(oErr,empTxt); } return false; }else { switch (oType){ case 'login_mobile': pattern = /^1[3456789]\d{9}$/; if(inputVal.length==11) { $.ajax({ url: '/login/checkmobile', type: "post", dataType: "json", data: { mobile: inputVal, etag: oEtag, page_ur: window.location.href, page_referer: document.referrer }, success: function (data) { } }); } break; case 'login_yzm': pattern = /^\d{6}$/; break; } if(oType=='login_mobile'){ } if(!!validateFun(pattern,inputVal)){ errFun(oErr,'') if(telInput){ $('.getcheckcode').removeClass('dis'); } }else { if(!telInput) { errFun(oErr, errTxt); }else { $('.getcheckcode').addClass('dis'); } return false; } } return true; } function errFun(obj,msg) { obj.html(msg); if(msg==''){ $('.login_submit').removeClass('dis'); }else { $('.login_submit').addClass('dis'); } } function validateFun(pat,val) { return pat.test(val); }