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均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差及協(xié)方差、協(xié)方差矩陣詳解
2017-03-12
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均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差及協(xié)方差、協(xié)方差矩陣詳解

一、統(tǒng)計(jì)學(xué)基本概念：均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差

統(tǒng)計(jì)學(xué)里最基本的概念就是樣本的均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差。首先，我們給定一個(gè)含有n個(gè)樣本的集合，下面給出這些概念的公式描述：

均值：

方差：

標(biāo)準(zhǔn)差：

均值描述的是樣本集合的中間點(diǎn)，它告訴我們的信息是有限的。

方差（variance)是在概率論和統(tǒng)計(jì)方差衡量隨機(jī)變量或一組數(shù)據(jù)時(shí)離散程度的度量。概率論中方差用來度量隨機(jī)變量和其數(shù)學(xué)期望（即均值）之間的偏離程度。統(tǒng)計(jì)中的方差（樣本方差）是各個(gè)數(shù)據(jù)分別與其平均數(shù)之差的平方的和的平均數(shù)。在許多實(shí)際問題中，研究方差即偏離程度有著重要意義。方差是衡量源數(shù)據(jù)和期望值相差的度量值。

而標(biāo)準(zhǔn)差給我們描述的是樣本集合的各個(gè)樣本點(diǎn)到均值的距離之平均。

以這兩個(gè)集合為例，[0, 8, 12, 20]和[8, 9, 11, 12]，兩個(gè)集合的均值都是10，但顯然兩個(gè)集合的差別是很大的，計(jì)算兩者的標(biāo)準(zhǔn)差，前者是8.3后者是1.8，顯然后者較為集中，故其標(biāo)準(zhǔn)差小一些，標(biāo)準(zhǔn)差描述的就是這種“散布度”。之所以除以n-1而不是n，是因?yàn)檫@樣能使我們以較小的樣本集更好地逼近總體的標(biāo)準(zhǔn)差，即統(tǒng)計(jì)上所謂的“無偏估計(jì)”。而方差則僅僅是標(biāo)準(zhǔn)差的平方。

二、協(xié)方差及其意義

標(biāo)準(zhǔn)差和方差一般是用來描述一維數(shù)據(jù)的，但現(xiàn)實(shí)生活中我們常常會(huì)遇到含有多維數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)集，最簡(jiǎn)單的是大家上學(xué)時(shí)免不了要統(tǒng)計(jì)多個(gè)學(xué)科的考試成績(jī)。面對(duì)這樣的數(shù)據(jù)集，我們當(dāng)然可以按照每一維獨(dú)立的計(jì)算其方差，但是通常我們還想了解更多，比如，一個(gè)男孩子的猥瑣程度跟他受女孩子的歡迎程度是否存在一些聯(lián)系。協(xié)方差就是這樣一種用來度量?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量關(guān)系的統(tǒng)計(jì)量，我們可以仿照方差的定義：

來度量各個(gè)維度偏離其均值的程度，協(xié)方差可以這樣來定義：

協(xié)方差的結(jié)果有什么意義呢？如果結(jié)果為正值，則說明兩者是正相關(guān)的（從協(xié)方差可以引出“相關(guān)系數(shù)”的定義），也就是說一個(gè)人越猥瑣越受女孩歡迎。如果結(jié)果為負(fù)值， 就說明兩者是負(fù)相關(guān)，越猥瑣女孩子越討厭。如果為0，則兩者之間沒有關(guān)系，猥瑣不猥瑣和女孩子喜不喜歡之間沒有關(guān)聯(lián)，就是統(tǒng)計(jì)上說的“相互獨(dú)立”。

從協(xié)方差的定義上我們也可以看出一些顯而易見的性質(zhì)，如：

三、協(xié)方差矩陣

前面提到的猥瑣和受歡迎的問題是典型的二維問題，而協(xié)方差也只能處理二維問題，那維數(shù)多了自然就需要計(jì)算多個(gè)協(xié)方差，比如n維的數(shù)據(jù)集就需要計(jì)算個(gè)協(xié)方差，那自然而然我們會(huì)想到使用矩陣來組織這些數(shù)據(jù)。給出協(xié)方差矩陣的定義：

這個(gè)定義還是很容易理解的，我們可以舉一個(gè)三維的例子，假設(shè)數(shù)據(jù)集有三個(gè)維度，則協(xié)方差矩陣為：

可見，協(xié)方差矩陣是一個(gè)對(duì)稱的矩陣，而且對(duì)角線是各個(gè)維度的方差。


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