協(xié)方差：定義，屬性_數(shù)據(jù)分析師

協(xié)方差分析是建立在方差分析和回歸分析基礎(chǔ)之上的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。方差分析是從質(zhì)量因子的角度探討因素不同水平對實(shí)驗(yàn)指標(biāo)影響的差異。一般說來，質(zhì)量因子是可以人為控制的?；貧w分析是從數(shù)量因子的角度出發(fā)，通過建立回歸方程來研究實(shí)驗(yàn)指標(biāo)與一個(gè)（或幾個(gè)）因子之間的數(shù)量關(guān)系。但大多數(shù)情況下，數(shù)量因子是不可以人為加以控制的。
 
協(xié)方差定義
在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中，協(xié)方差用于衡量兩個(gè)變量的總體誤差。而方差是協(xié)方差的一種特殊情況，即當(dāng)兩個(gè)變量是相同的情況。
期望值分別為E(X) = μ 與 E(Y) = ν 的兩個(gè)實(shí)數(shù)隨機(jī)變量X與Y之間的協(xié)方差定義為：
COV(X，Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]
其中，E是期望值。它也可以表示為：
直觀上來看，協(xié)方差表示的是兩個(gè)變量總體誤差的方差，這與只表示一個(gè)變量誤差的方差不同。
如果兩個(gè)變量的變化趨勢一致，也就是說如果其中一個(gè)大于自身的期望值，另外一個(gè)也大于自身的期望值，那么兩個(gè)變量之間的協(xié)方差就是正值。
如果兩個(gè)變量的變化趨勢相反，即其中一個(gè)大于自身的期望值，另外一個(gè)卻小于自身的期望值，那么兩個(gè)變量之間的協(xié)方差就是負(fù)值。
如果X與Y是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，那么二者之間的協(xié)方差就是0。
但是，反過來并不成立。即如果X與Y的協(xié)方差為0，二者并不一定是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。
協(xié)方差cov(X,Y)的度量單位是X的協(xié)方差乘以Y的協(xié)方差。而取決于協(xié)方差的相關(guān)性，是一個(gè)衡量線性獨(dú)立的無量綱的數(shù)。
協(xié)方差為0的兩個(gè)隨機(jī)變量稱為是不相關(guān)的。
協(xié)方差屬性
兩個(gè)不同參數(shù)之間的方差就是協(xié)方差　若兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，則E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=0，因而若上述數(shù)學(xué)期望不為零，則X和Y必不是相互獨(dú)立的，亦即它們之間存在著一定的關(guān)系。
定義
E[(X-E(X))(Y-E(Y))]稱為隨機(jī)變量X和Y的協(xié)方差，記作COV(X，Y)，即COV(X，Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]。
協(xié)方差與方差之間有如下關(guān)系：
D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2COV(X，Y)
D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2COV(X，Y)
協(xié)方差與期望值有如下關(guān)系：
COV(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)。
協(xié)方差的性質(zhì)：
（1）COV(X，Y)=COV(Y，X)；
（2）COV(aX，bY)=abCOV(X，Y)，（a，b是常數(shù)）；
（3）COV(X1+X2，Y)=COV(X1，Y)+COV(X2，Y)。
由協(xié)方差定義，可以看出COV(X，X)=D(X)，COV(Y，Y)=D(Y)。
協(xié)方差作為描述X和Y相關(guān)程度的量，在同一物理量綱之下有一定的作用，但同樣的兩個(gè)量采用不同的量綱使它們的協(xié)方差在數(shù)值上表現(xiàn)出很大的差異。為此引入如下概念：
定義
ρXY=COV(X，Y)/√D(X)√D(Y)，稱為隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)。
定義
若ρXY=0，則稱X與Y不相關(guān)。
即ρXY=0的充分必要條件是COV(X，Y)=0，亦即不相關(guān)和協(xié)方差為零是等價(jià)的。
定理
設(shè)ρXY是隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)，則有
（1）∣ρXY∣≤1；
（2）∣ρXY∣=1充分必要條件為P{Y=aX+b}=1，（a，b為常數(shù)，a≠0）
定義
設(shè)X和Y是隨機(jī)變量，若E(X^k)，k=1，2，...存在，則稱它為X的k階原點(diǎn)矩，簡稱k階矩。
若E{[X-E(X)]^k}，k=1，2，...存在，則稱它為X的k階中心矩。
若E(X^kY^l)，k、l=1，2，...存在，則稱它為X和Y的k+l階混合原點(diǎn)矩。
若E{[X-E(X)]^k[Y-E(Y)]^l}，k、l=1，2，...存在，則稱它為X和Y的k+l階混合中心矩。
顯然，X的數(shù)學(xué)期望E(X)是X的一階原點(diǎn)矩，方差D(X)是X的二階中心矩，協(xié)方差COV(X，Y)是X和Y的二階混合中心矩。CDA數(shù)據(jù)分析師培訓(xùn)官網(wǎng)