從曲線擬合問題窺視機(jī)器學(xué)習(xí)中的相關(guān)概念

一直徘徊在機(jī)器學(xué)習(xí)的邊緣未敢輕易造次并畏懼其基本原理思想，從每一本厚厚的參考資料中都可以看出機(jī)器學(xué)習(xí)是一門跨越概率論、決策論、信息論以及最優(yōu)化的學(xué)科的綜合學(xué)科，今天終于鼓足勇氣向其挑戰(zhàn)，選擇該領(lǐng)域經(jīng)典書籍PRML研讀，希望能有點(diǎn)收獲。后面的一系列的文章都是從一個初學(xué)者的角度來學(xué)習(xí)機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域的知識。

1.   曲線擬合問題

定義：給定一系列輸入xi以及目標(biāo)值ti，目標(biāo)是找到一個關(guān)于x的函數(shù)f(x)能夠比較好的擬合給定的輸入，并且能夠?qū)π陆o出的x值預(yù)測其輸出。

問題本身就是一個學(xué)習(xí)問題，那什么是機(jī)器學(xué)習(xí)呢？通過有限的輸入數(shù)據(jù)以及對應(yīng)的目標(biāo)值（也稱訓(xùn)練數(shù)據(jù)）學(xué)習(xí)到一個模型或者推斷函數(shù)，并且利用這個模型或者推斷函數(shù)對新數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測。這里的機(jī)器學(xué)習(xí)一般是指統(tǒng)計機(jī)器學(xué)習(xí)，即基于數(shù)據(jù)和統(tǒng)計方法。統(tǒng)計學(xué)習(xí)方法是基于數(shù)據(jù)構(gòu)建統(tǒng)計模型從而對數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測與分析，可以分為：監(jiān)督學(xué)習(xí)和非監(jiān)督學(xué)習(xí)。

a)監(jiān)督學(xué)習(xí)：訓(xùn)練數(shù)據(jù)包括給定的輸入及其相應(yīng)的輸出，可以根據(jù)輸入和輸出的類型分為分類問題、標(biāo)注問題和回歸問題。

1) 分類問題： 輸出變量為有限個離散變量的預(yù)測問題，可以根據(jù)離散變量k的個數(shù)分為二分類問題（k=2）和多分類問題（k>2），常用方法包括k近鄰法、感知機(jī)、樸素貝葉斯、決策樹等

2) 回歸問題：輸入變量和輸出變量均為連續(xù)變量的預(yù)測問題，可以根據(jù)參數(shù)的系數(shù)k分為線性回歸（k=1）和非線性回歸（k>1）。

3) 標(biāo)注問題：輸入變量和輸出變量均為變量序列的預(yù)測問題，常用方法包括隱馬爾科夫模型（HMM）、條件隨機(jī)場（CRF）

b)非監(jiān)督學(xué)習(xí)：訓(xùn)練數(shù)據(jù)僅包括輸入沒有指定相應(yīng)的輸出。

1)聚類：在雜亂的數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)相似的簇或者數(shù)據(jù)集合

2)密度估計：發(fā)現(xiàn)輸入數(shù)據(jù)的概率密度函數(shù)

3)可視化：通過降維實現(xiàn)數(shù)據(jù)可視化

2.   曲線擬合數(shù)據(jù)源

在實驗中訓(xùn)練數(shù)據(jù)的來源是人工生成的，即根據(jù)某個函數(shù)按照一定的分布隨機(jī)抽取N個數(shù)據(jù)以及對應(yīng)的函數(shù)值作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)。然后一般真實數(shù)據(jù)由于種種原因均會產(chǎn)生一定的誤差，不會與一個分布完全吻合，所以目標(biāo)值一般加上一個隨機(jī)誤差（誤差分布滿足高斯分布）。

本例中選取f(x)=sin(2πx)，按照均勻分布隨機(jī)選取N個數(shù)據(jù)。

其中綠色曲線為sin(2πx)，藍(lán)色圓圈為加上隨機(jī)誤差后的結(jié)果。

3.   多項式擬合

首先選擇一個比較簡單的模型進(jìn)行學(xué)習(xí)和預(yù)測，即多項式曲線，

y(x,w)=w0+w1x+w2x2+...+wmxM

其中w為自變量x的系數(shù)，M為自變量x的項數(shù)，也是整個多項式最大的項。學(xué)習(xí)的目標(biāo)是找到合適的w和M，使其能夠更好的擬合訓(xùn)練數(shù)據(jù)。由于不同的w和M值對應(yīng)不同的曲線，即不同的模型或者推斷函數(shù)，如何去衡量生成的模型好壞呢？

誤差函數(shù)（error function）：用于衡量不同模型的優(yōu)劣，即度量預(yù)測錯誤的程度，也稱之為損失函數(shù)或者代價函數(shù)，一般有以下幾種：

a)0-1損失函數(shù)

L(y,f(x))=1,y != f(x);0,y=f(x)

b)平方損失函數(shù)

L(y,f(x))=(y-f(x))2

c)絕對損失函數(shù)

L(y,f(x))=|y-f(x)|

d)對數(shù)損失函數(shù)

L(y,f(x))=-log(p(y|x))

模型選擇：選擇使得誤差函數(shù)最小的參數(shù)。

在本例中選擇平方和作為誤差函數(shù)，即。

由于本例選擇的誤差函數(shù)為w單調(diào)的函數(shù)，肯定存在最優(yōu)解w*使得E(w)最小。

下圖為M為0、1、3、9時求到的最優(yōu)w*，紅色曲線為求到的多項式曲線。

從上圖可以看出，當(dāng)M為0時曲線的擬合程度最差，M為9時擬合程度最好，即完全擬合使得E(w)為0，這種情況稱之為過擬合。

由于機(jī)器學(xué)習(xí)的目的是對新給定的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，即不僅僅是完全擬合訓(xùn)練數(shù)據(jù)，也要對新數(shù)據(jù)給出一個很好的預(yù)測。學(xué)習(xí)的泛化能力（generalization ability）：是指某方法學(xué)習(xí)到的模型對為知數(shù)據(jù)預(yù)測的能力，是學(xué)習(xí)方法本質(zhì)上的重要性質(zhì)。如果一味的追求對訓(xùn)練數(shù)據(jù)的預(yù)測能力，學(xué)習(xí)到的模型往往會比真實模型復(fù)雜度高，即出現(xiàn)過擬合。

一般通過測試誤差來評價學(xué)習(xí)方法的泛化能力，這里使用殘留均方差進(jìn)行評價（root mean-square）：，下圖展示了M為0-9時，最優(yōu)模型在訓(xùn)練數(shù)據(jù)和測試數(shù)據(jù)上的測試誤差，可以看出當(dāng)M=9時，對訓(xùn)練數(shù)據(jù)的誤差為0，而對測試數(shù)據(jù)的誤差飆升到最大。分析其本質(zhì)原因是當(dāng)M為9時，模型為了更好的擬合數(shù)據(jù)w取值的波動性非常大。

4.   最優(yōu)模型選擇

產(chǎn)生多擬合問題的主要原因是訓(xùn)練數(shù)據(jù)太少導(dǎo)致的，或者說模型復(fù)雜度過高導(dǎo)致的。對于復(fù)雜模型而言，會隨著訓(xùn)練數(shù)據(jù)的增加，減小過擬合問題，下圖是增加訓(xùn)練數(shù)據(jù)時M=9的擬合效果。

在實際應(yīng)用中，一個啟發(fā)式的經(jīng)驗是一個模型要到達(dá)一定得泛化能力，其訓(xùn)練數(shù)據(jù)至少為參數(shù)個數(shù)的5-10倍，當(dāng)然還會有其他方法避免過擬合問題。

最優(yōu)模型選擇有兩種常用的方法：正則化（regularization）和交叉驗證（cross validation）

a)         正則化：一般是在誤差函數(shù)的基礎(chǔ)上加上一個正則化項或者罰項，一般是模型復(fù)雜度的單獨(dú)遞增函數(shù)，模型越復(fù)雜，罰值越大。

這里正則項選擇為：，||w||2為向量w的平方和。

下圖展示的是對于不同λ值對應(yīng)的測試誤差

b)         交叉驗證：即將數(shù)據(jù)進(jìn)行分割分為訓(xùn)練數(shù)據(jù)和測試數(shù)據(jù)，通過訓(xùn)練數(shù)據(jù)進(jìn)行模型學(xué)習(xí)，測試數(shù)據(jù)進(jìn)行模型的選擇。

1)         簡單交叉驗證：例如選擇80%的數(shù)據(jù)位訓(xùn)練數(shù)據(jù)，20%作為測試數(shù)據(jù)。

2)         S折交叉驗證：將數(shù)據(jù)分為S份，每次選擇S-1份進(jìn)行訓(xùn)練，1份用于測試，可以重復(fù)S次。

3)         留一交叉驗證：留一條數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)作為測試，比較極端的情況。

對于本例來說λ的選擇就可以采用交叉驗證的方法進(jìn)行選擇。

5.   總結(jié)

通過對曲線擬合問題的定義和簡單求解，介紹了機(jī)器學(xué)習(xí)中的概念，當(dāng)然還有大量概念未涉及到，后續(xù)還會繼續(xù)補(bǔ)充。

對于曲線擬合問題，通過多項式擬合只是最簡單的一個方法，后續(xù)還會介紹更優(yōu)美的解決方案。

這里總結(jié)一下一個機(jī)器學(xué)習(xí)任務(wù)的基本步驟：

1)         獲取一個有限的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集合

2)         對數(shù)據(jù)進(jìn)行特征抽取

3)         如果有需要，對特征進(jìn)行降維

4)         確定學(xué)習(xí)模型的集合

5)         確定模型選擇的準(zhǔn)則，確定誤差函數(shù)

6)         上線求解最優(yōu)模型的算法，即模型的求解

7)         通過學(xué)習(xí)方法選擇最優(yōu)模型

8)         利用學(xué)習(xí)到的最優(yōu)模型對新數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測或者分析