從曲線擬合問(wèn)題窺視機(jī)器學(xué)習(xí)中的相關(guān)概念

一直徘徊在機(jī)器學(xué)習(xí)的邊緣未敢輕易造次并畏懼其基本原理思想，從每一本厚厚的參考資料中都可以看出機(jī)器學(xué)習(xí)是一門跨越概率論、決策論、信息論以及最優(yōu)化的學(xué)科的綜合學(xué)科，今天終于鼓足勇氣向其挑戰(zhàn)，選擇該領(lǐng)域經(jīng)典書籍PRML研讀，希望能有點(diǎn)收獲。后面的一系列的文章都是從一個(gè)初學(xué)者的角度來(lái)學(xué)習(xí)機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域的知識(shí)。

1.   曲線擬合問(wèn)題

定義：給定一系列輸入xi以及目標(biāo)值ti，目標(biāo)是找到一個(gè)關(guān)于x的函數(shù)f(x)能夠比較好的擬合給定的輸入，并且能夠?qū)π陆o出的x值預(yù)測(cè)其輸出。

問(wèn)題本身就是一個(gè)學(xué)習(xí)問(wèn)題，那什么是機(jī)器學(xué)習(xí)呢？通過(guò)有限的輸入數(shù)據(jù)以及對(duì)應(yīng)的目標(biāo)值（也稱訓(xùn)練數(shù)據(jù)）學(xué)習(xí)到一個(gè)模型或者推斷函數(shù)，并且利用這個(gè)模型或者推斷函數(shù)對(duì)新數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。這里的機(jī)器學(xué)習(xí)一般是指統(tǒng)計(jì)機(jī)器學(xué)習(xí)，即基于數(shù)據(jù)和統(tǒng)計(jì)方法。統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)方法是基于數(shù)據(jù)構(gòu)建統(tǒng)計(jì)模型從而對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)與分析，可以分為：監(jiān)督學(xué)習(xí)和非監(jiān)督學(xué)習(xí)。

a)監(jiān)督學(xué)習(xí)：訓(xùn)練數(shù)據(jù)包括給定的輸入及其相應(yīng)的輸出，可以根據(jù)輸入和輸出的類型分為分類問(wèn)題、標(biāo)注問(wèn)題和回歸問(wèn)題。

1) 分類問(wèn)題： 輸出變量為有限個(gè)離散變量的預(yù)測(cè)問(wèn)題，可以根據(jù)離散變量k的個(gè)數(shù)分為二分類問(wèn)題（k=2）和多分類問(wèn)題（k>2），常用方法包括k近鄰法、感知機(jī)、樸素貝葉斯、決策樹等

2) 回歸問(wèn)題：輸入變量和輸出變量均為連續(xù)變量的預(yù)測(cè)問(wèn)題，可以根據(jù)參數(shù)的系數(shù)k分為線性回歸（k=1）和非線性回歸（k>1）。

3) 標(biāo)注問(wèn)題：輸入變量和輸出變量均為變量序列的預(yù)測(cè)問(wèn)題，常用方法包括隱馬爾科夫模型（HMM）、條件隨機(jī)場(chǎng)（CRF）

b)非監(jiān)督學(xué)習(xí)：訓(xùn)練數(shù)據(jù)僅包括輸入沒(méi)有指定相應(yīng)的輸出。

1)聚類：在雜亂的數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)相似的簇或者數(shù)據(jù)集合

2)密度估計(jì)：發(fā)現(xiàn)輸入數(shù)據(jù)的概率密度函數(shù)

3)可視化：通過(guò)降維實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)可視化

2.   曲線擬合數(shù)據(jù)源

在實(shí)驗(yàn)中訓(xùn)練數(shù)據(jù)的來(lái)源是人工生成的，即根據(jù)某個(gè)函數(shù)按照一定的分布隨機(jī)抽取N個(gè)數(shù)據(jù)以及對(duì)應(yīng)的函數(shù)值作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)。然后一般真實(shí)數(shù)據(jù)由于種種原因均會(huì)產(chǎn)生一定的誤差，不會(huì)與一個(gè)分布完全吻合，所以目標(biāo)值一般加上一個(gè)隨機(jī)誤差（誤差分布滿足高斯分布）。

本例中選取f(x)=sin(2πx)，按照均勻分布隨機(jī)選取N個(gè)數(shù)據(jù)。

其中綠色曲線為sin(2πx)，藍(lán)色圓圈為加上隨機(jī)誤差后的結(jié)果。

3.   多項(xiàng)式擬合

首先選擇一個(gè)比較簡(jiǎn)單的模型進(jìn)行學(xué)習(xí)和預(yù)測(cè)，即多項(xiàng)式曲線，

y(x,w)=w0+w1x+w2x2+...+wmxM

其中w為自變量x的系數(shù)，M為自變量x的項(xiàng)數(shù)，也是整個(gè)多項(xiàng)式最大的項(xiàng)。學(xué)習(xí)的目標(biāo)是找到合適的w和M，使其能夠更好的擬合訓(xùn)練數(shù)據(jù)。由于不同的w和M值對(duì)應(yīng)不同的曲線，即不同的模型或者推斷函數(shù)，如何去衡量生成的模型好壞呢？

誤差函數(shù)（error function）：用于衡量不同模型的優(yōu)劣，即度量預(yù)測(cè)錯(cuò)誤的程度，也稱之為損失函數(shù)或者代價(jià)函數(shù)，一般有以下幾種：

a)0-1損失函數(shù)

L(y,f(x))=1,y != f(x);0,y=f(x)

b)平方損失函數(shù)

L(y,f(x))=(y-f(x))2

c)絕對(duì)損失函數(shù)

L(y,f(x))=|y-f(x)|

d)對(duì)數(shù)損失函數(shù)

L(y,f(x))=-log(p(y|x))

模型選擇：選擇使得誤差函數(shù)最小的參數(shù)。

在本例中選擇平方和作為誤差函數(shù)，即。

由于本例選擇的誤差函數(shù)為w單調(diào)的函數(shù)，肯定存在最優(yōu)解w*使得E(w)最小。

下圖為M為0、1、3、9時(shí)求到的最優(yōu)w*，紅色曲線為求到的多項(xiàng)式曲線。

從上圖可以看出，當(dāng)M為0時(shí)曲線的擬合程度最差，M為9時(shí)擬合程度最好，即完全擬合使得E(w)為0，這種情況稱之為過(guò)擬合。

由于機(jī)器學(xué)習(xí)的目的是對(duì)新給定的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，即不僅僅是完全擬合訓(xùn)練數(shù)據(jù)，也要對(duì)新數(shù)據(jù)給出一個(gè)很好的預(yù)測(cè)。學(xué)習(xí)的泛化能力（generalization ability）：是指某方法學(xué)習(xí)到的模型對(duì)為知數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)的能力，是學(xué)習(xí)方法本質(zhì)上的重要性質(zhì)。如果一味的追求對(duì)訓(xùn)練數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)能力，學(xué)習(xí)到的模型往往會(huì)比真實(shí)模型復(fù)雜度高，即出現(xiàn)過(guò)擬合。

一般通過(guò)測(cè)試誤差來(lái)評(píng)價(jià)學(xué)習(xí)方法的泛化能力，這里使用殘留均方差進(jìn)行評(píng)價(jià)（root mean-square）：，下圖展示了M為0-9時(shí)，最優(yōu)模型在訓(xùn)練數(shù)據(jù)和測(cè)試數(shù)據(jù)上的測(cè)試誤差，可以看出當(dāng)M=9時(shí)，對(duì)訓(xùn)練數(shù)據(jù)的誤差為0，而對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)的誤差飆升到最大。分析其本質(zhì)原因是當(dāng)M為9時(shí)，模型為了更好的擬合數(shù)據(jù)w取值的波動(dòng)性非常大。

4.   最優(yōu)模型選擇

產(chǎn)生多擬合問(wèn)題的主要原因是訓(xùn)練數(shù)據(jù)太少導(dǎo)致的，或者說(shuō)模型復(fù)雜度過(guò)高導(dǎo)致的。對(duì)于復(fù)雜模型而言，會(huì)隨著訓(xùn)練數(shù)據(jù)的增加，減小過(guò)擬合問(wèn)題，下圖是增加訓(xùn)練數(shù)據(jù)時(shí)M=9的擬合效果。

在實(shí)際應(yīng)用中，一個(gè)啟發(fā)式的經(jīng)驗(yàn)是一個(gè)模型要到達(dá)一定得泛化能力，其訓(xùn)練數(shù)據(jù)至少為參數(shù)個(gè)數(shù)的5-10倍，當(dāng)然還會(huì)有其他方法避免過(guò)擬合問(wèn)題。

最優(yōu)模型選擇有兩種常用的方法：正則化（regularization）和交叉驗(yàn)證（cross validation）

a)         正則化：一般是在誤差函數(shù)的基礎(chǔ)上加上一個(gè)正則化項(xiàng)或者罰項(xiàng)，一般是模型復(fù)雜度的單獨(dú)遞增函數(shù)，模型越復(fù)雜，罰值越大。

這里正則項(xiàng)選擇為：，||w||2為向量w的平方和。

下圖展示的是對(duì)于不同λ值對(duì)應(yīng)的測(cè)試誤差

b)         交叉驗(yàn)證：即將數(shù)據(jù)進(jìn)行分割分為訓(xùn)練數(shù)據(jù)和測(cè)試數(shù)據(jù)，通過(guò)訓(xùn)練數(shù)據(jù)進(jìn)行模型學(xué)習(xí)，測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行模型的選擇。

1)         簡(jiǎn)單交叉驗(yàn)證：例如選擇80%的數(shù)據(jù)位訓(xùn)練數(shù)據(jù)，20%作為測(cè)試數(shù)據(jù)。

2)         S折交叉驗(yàn)證：將數(shù)據(jù)分為S份，每次選擇S-1份進(jìn)行訓(xùn)練，1份用于測(cè)試，可以重復(fù)S次。

3)         留一交叉驗(yàn)證：留一條數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)作為測(cè)試，比較極端的情況。

對(duì)于本例來(lái)說(shuō)λ的選擇就可以采用交叉驗(yàn)證的方法進(jìn)行選擇。

5.   總結(jié)

通過(guò)對(duì)曲線擬合問(wèn)題的定義和簡(jiǎn)單求解，介紹了機(jī)器學(xué)習(xí)中的概念，當(dāng)然還有大量概念未涉及到，后續(xù)還會(huì)繼續(xù)補(bǔ)充。

對(duì)于曲線擬合問(wèn)題，通過(guò)多項(xiàng)式擬合只是最簡(jiǎn)單的一個(gè)方法，后續(xù)還會(huì)介紹更優(yōu)美的解決方案。

這里總結(jié)一下一個(gè)機(jī)器學(xué)習(xí)任務(wù)的基本步驟：

1)         獲取一個(gè)有限的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集合

2)         對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行特征抽取

3)         如果有需要，對(duì)特征進(jìn)行降維

4)         確定學(xué)習(xí)模型的集合

5)         確定模型選擇的準(zhǔn)則，確定誤差函數(shù)

6)         上線求解最優(yōu)模型的算法，即模型的求解

7)         通過(guò)學(xué)習(xí)方法選擇最優(yōu)模型

8)         利用學(xué)習(xí)到的最優(yōu)模型對(duì)新數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)或者分析