線性回歸與梯度下降算法

1.1   線性回歸

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，線性回歸(Linear Regression)是利用稱為線性回歸方程的最小平方函數(shù)對一個(gè)或多個(gè)自變量和因變量之間關(guān)系進(jìn)行建模的一種回歸分析。這種函數(shù)是一個(gè)或多個(gè)稱為回歸系數(shù)的模型參數(shù)的線性組合。

回歸分析中，只包括一個(gè)自變量和一個(gè)因變量，且二者的關(guān)系可用一條直線近似表示，這種回歸分析稱為一元線性回歸分析。如果回歸分析中包括兩個(gè)或兩個(gè)以上的自變量，且因變量和自變量之間是線性關(guān)系，則稱為多元線性回歸分析。

下面我們來舉例何為一元線性回歸分析，圖1為某地區(qū)的房屋面積(feet)與價(jià)格($)的一個(gè)數(shù)據(jù)集，在該數(shù)據(jù)集中，只有一個(gè)自變量面積(feet)，和一個(gè)因變量價(jià)格($)，所以我們可以將數(shù)據(jù)集呈現(xiàn)在二維空間上，如圖2所示。利用該數(shù)據(jù)集，我們的目的是訓(xùn)練一個(gè)線性方程，無限逼近所有數(shù)據(jù)點(diǎn)，然后利用該方程與給定的某一自變量（本例中為面積），可以預(yù)測因變量（本例中為房價(jià)）。本例中，訓(xùn)練所得的線性方程如圖3所示。

圖1、房價(jià)與面積對應(yīng)數(shù)據(jù)集

圖2、二維空間上的房價(jià)與面積對應(yīng)圖

圖3、線性逼近

同時(shí)，分析得到的線性方程為：

接下來還是該案例，舉一個(gè)多元線性回歸的例子。如果增添了一個(gè)自變量：房間數(shù)，那么數(shù)據(jù)集可以如下所示：

圖4、房價(jià)與面積、房間數(shù)對應(yīng)數(shù)據(jù)集

那么，分析得到的線性方程應(yīng)如下所示：

因此，無論是一元線性方程還是多元線性方程，可統(tǒng)一寫成如下的格式：

上式中x0=1，而求線性方程則演變成了求方程的參數(shù)ΘT。

線性回歸假設(shè)特征和結(jié)果滿足線性關(guān)系。其實(shí)線性關(guān)系的表達(dá)能力非常強(qiáng)大，每個(gè)特征對結(jié)果的影響強(qiáng)弱可以有前面的參數(shù)體現(xiàn)，而且每個(gè)特征變量可以首先映射到一個(gè)函數(shù)，然后再參與線性計(jì)算，這樣就可以表達(dá)特征與結(jié)果之間的非線性關(guān)系。

1.2   梯度下降算法

為了得到目標(biāo)線性方程，我們只需確定公式（3）中的ΘT，同時(shí)為了確定所選定的的ΘT效果好壞，通常情況下，我們使用一個(gè)損失函數(shù)(loss function)或者說是錯(cuò)誤函數(shù)(error function)來評估h(x)函數(shù)的好壞。該錯(cuò)誤函數(shù)如公式(4)所示。

如何調(diào)整ΘT以使得J(Θ)取得最小值有很多方法，其中有完全用數(shù)學(xué)描述的最小二乘法(min square)和梯度下降法。

1.2.1   批量梯度下降算法

由之前所述，求ΘT的問題演變成了求J(Θ)的極小值問題，這里使用梯度下降法。而梯度下降法中的梯度方向由J(Θ)對Θ的偏導(dǎo)數(shù)確定，由于求的是極小值，因此梯度方向是偏導(dǎo)數(shù)的反方向。

公式(5)中α為學(xué)習(xí)速率，當(dāng)α過大時(shí)，有可能越過最小值，而α當(dāng)過小時(shí)，容易造成迭代次數(shù)較多，收斂速度較慢。假如數(shù)據(jù)集中只有一條樣本，那么樣本數(shù)量，所以公式(5)中

所以公式(5)就演變成：

當(dāng)樣本數(shù)量m不為1時(shí)，將公式(5)中由公式(4)帶入求偏導(dǎo)，那么每個(gè)參數(shù)沿梯度方向的變化值由公式(7)求得。

初始時(shí)ΘT可設(shè)為，然后迭代使用公式(7)計(jì)算ΘT中的每個(gè)參數(shù)，直至收斂為止。由于每次迭代計(jì)算ΘT時(shí)，都使用了整個(gè)樣本集，因此我們稱該梯度下降算法為批量梯度下降算法(batch gradient descent)。

1.2.2  隨機(jī)梯度下降算法

當(dāng)樣本集數(shù)據(jù)量m很大時(shí)，批量梯度下降算法每迭代一次的復(fù)雜度為O(mn),復(fù)雜度很高。因此，為了減少復(fù)雜度，當(dāng)m很大時(shí)，我們更多時(shí)候使用隨機(jī)梯度下降算法(stochastic gradient descent),算法如下所示：

即每讀取一條樣本，就迭代對ΘT進(jìn)行更新，然后判斷其是否收斂，若沒收斂，則繼續(xù)讀取樣本進(jìn)行處理，如果所有樣本都讀取完畢了，則循環(huán)重新從頭開始讀取樣本進(jìn)行處理。

這樣迭代一次的算法復(fù)雜度為O(n)。對于大數(shù)據(jù)集，很有可能只需讀取一小部分?jǐn)?shù)據(jù)，函數(shù)J(Θ)就收斂了。比如樣本集數(shù)據(jù)量為100萬，有可能讀取幾千條或幾萬條時(shí)，函數(shù)就達(dá)到了收斂值。所以當(dāng)數(shù)據(jù)量很大時(shí)，更傾向于選擇隨機(jī)梯度下降算法。

但是，相較于批量梯度下降算法而言，隨機(jī)梯度下降算法使得J(Θ)趨近于最小值的速度更快，但是有可能造成永遠(yuǎn)不可能收斂于最小值，有可能一直會(huì)在最小值周圍震蕩，但是實(shí)踐中，大部分值都能夠接近于最小值，效果也都還不錯(cuò)。

1.2.3  算法收斂判斷方法

參數(shù)ΘT的變化距離為0，或者說變化距離小于某一閾值（ΘT中每個(gè)參數(shù)的變化絕對值都小于一個(gè)閾值）。為減少計(jì)算復(fù)雜度，該方法更為推薦使用。數(shù)據(jù)分析師培訓(xùn)

J(Θ)不再變化，或者說變化程度小于某一閾值。計(jì)算復(fù)雜度較高，但是如果為了精確程度，那么該方法更為推薦使用。