一、數(shù)據(jù)計(jì)量尺度

數(shù)據(jù)的計(jì)量尺度和具體的統(tǒng)計(jì)方法息息相關(guān)，大致分為3類，分別是名義測量、次序測量和連續(xù)變量測量。這三類測量 分別對應(yīng)三種變量類型，即分類變量，順序變量和數(shù)值變量。連續(xù)變量測量可以進(jìn)一步細(xì)分為間距測量和比例測量。 間距測量和比率測量這兩種測量，統(tǒng)計(jì)軟件通常不做區(qū)分。大部分的模型都適用。

1.名義測量（nominal measurement）是最低的一種測量等級，也稱定名測度。其數(shù)值僅代表某些分類或?qū)傩?。比如?用來表示性別（1或2）和民族（1、2、3…）等。這類變量一般不做高低、大小區(qū)分。

2.次序測量（ordinal measurement）的量化水平高于名義測量，用于測量的數(shù)值代表了一些有序分類。比如，用來 表示受教育程度高低的數(shù)字（1、2、3…）具有一定的順序性。

3.間距測量（interval measurement）的量化程度更高一些，它的取值不再是類的編碼，而是采用一定單位的實(shí)際測 量值?？梢赃M(jìn)行加減運(yùn)算，但不能進(jìn)行乘除運(yùn)算，因?yàn)闇y量等級變量所取的“0”值，不是物理上的絕對“0”。比 如，考試成績的零分，不能說這個(gè)學(xué)生一點(diǎn)英語能力也沒有。

4.比率測量（ratio measurement）是最高級的測量等級，它除了具有間距測度等級的所有性質(zhì)外，其0值具有物理上 的絕對意義，而且可以進(jìn)行加減乘除運(yùn)算。例如增長率、收入等。

二、數(shù)據(jù)描述

1.分類變量

對于分類變量，通?？梢詸z查變量的眾數(shù)、分類取值的百分比間的差別大小，有無太小的比例（異常值），主要的統(tǒng)計(jì) 量如下：

頻次/頻數(shù)：每個(gè)水平出現(xiàn)的次數(shù)；

百分比：每個(gè)水平出現(xiàn)的頻數(shù)除以總數(shù)；

累積頻次與累積百分比：僅對于次序型變量有意義，分別計(jì)算累積頻次和百分比。

2.順序變量

對于順序變量，通常檢查數(shù)據(jù)的眾數(shù)、頻次、百分比、累積頻次與累積百分比、四分位差等。

3.連續(xù)變量

對于連續(xù)變量，通常檢查中心水平、離散程度、偏度和峰度4個(gè)方面。 值得注意的是分類變量、順序變量、連續(xù)變量的量化水平是由低到高的，低水平變量的統(tǒng)計(jì)量可以用于高水平，但高水 平變量的統(tǒng)計(jì)量不一定能用于低水平。例如分類變量的統(tǒng)計(jì)量可以用于連續(xù)變量，但反之則不一定成立。

4.連續(xù)變量——中心水平

能代表“中心”概念的可選統(tǒng)計(jì)量有均值、中位數(shù)和眾數(shù)。

眾數(shù)：出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值，一組數(shù)據(jù)可能沒有眾數(shù)或有幾個(gè)眾數(shù)。例如：數(shù)據(jù) 23,4,4,5,5,7,8,23,78，其中4和5出 現(xiàn)了兩次，則4和5都是眾數(shù)。

中位數(shù)：排序后處于中間位置上的值，這里需要注意的是，一定要先排序。

這里的n表示數(shù)據(jù)數(shù)量。

例如，數(shù)據(jù)1，2，6，5，4，3。排序后為1，2，3，4，5，6，這里n=6，是偶數(shù)，所以該數(shù)據(jù)的中位數(shù)為(3+4) / 2=2.5。

5.連續(xù)變量——中心水平

四分位數(shù)：是另外一套表達(dá)變量位置信息的手段，其定義方式類似于中位數(shù)。中位數(shù)本身就是變量從大到小排序后， 50%對應(yīng)的變量取值。如圖：

這里的Q1稱為下四分位數(shù)，Q3稱為上四分位數(shù)，Q2就是中位數(shù)。

6.連續(xù)變量——中心水平（算術(shù)平均數(shù)）

樣本平均數(shù)

總體平均數(shù)

這里的n是樣本數(shù)據(jù)量， N是總體數(shù)據(jù)量，樣本是用來估計(jì)總體的。一般樣本用英文字母，而總體用希臘字母。

7.連續(xù)變量——中心水平（加權(quán)平均數(shù)）

樣本加權(quán)平均

總體加權(quán)平均

這里的 x1,x2,…,xk 表示各組數(shù)據(jù)的組中值或數(shù)據(jù)本身， f1,f2,…,fk表示各組頻數(shù)或數(shù)據(jù)的權(quán)重。

8.連續(xù)變量——中心水平（幾何平均數(shù)）

適用于計(jì)算比率數(shù)據(jù)的平均，主要用于計(jì)算平均增長率。

各個(gè)中心水平度量的比較： 眾數(shù)和中位數(shù)不易受到極端值的影響，平均數(shù)容易受到極端值的影響。眾數(shù)和中位數(shù)適合在非對稱情況下使用。眾 數(shù)不是唯一的。

9.連續(xù)變量——離散程度

知道一個(gè)變量的“中心”水平統(tǒng)計(jì)量之后，還想知道這個(gè)指標(biāo)到底有多大的代表性。如果這個(gè)變量的變化范圍非常小， 甚至是常數(shù)，那么這個(gè)水平變量就非常有代表意義；如果這個(gè)變量的變化范圍非常大，那么水平指標(biāo)的代表性就相對下 降。如下表所示，列出了5個(gè)常用的離散程度度量指標(biāo)。

10.連續(xù)變量——偏度

偏度用來刻畫偏態(tài)的程度。偏態(tài)有兩種情況：一種是如下圖所示（左邊）的左偏，該變量在負(fù)的方向部分嚴(yán)重拖尾；另 一種是如下圖所示（右邊）的右偏，在正的方向部分嚴(yán)重拖尾。在實(shí)際經(jīng)濟(jì)和商業(yè)數(shù)據(jù)分析中，右偏是比較普遍的狀態(tài)。 比如，地區(qū)的居民收入、客戶購買產(chǎn)品的數(shù)量、金額和保險(xiǎn)理賠額。

11.連續(xù)變量——峰度

峰度反應(yīng)的是變量向兩邊拖尾的情況。相比正態(tài)分布而言，如果一個(gè)變量是尖峰的，則必然會導(dǎo)致兩邊拖尾情況更嚴(yán)重， 反映到統(tǒng)計(jì)學(xué)中就會出現(xiàn)超過2倍標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值的概率會大于5%，超過3倍標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值的概率會大于1%。這表明出現(xiàn)較大 偏離值的可能性提高了。資產(chǎn)收益率的峰度在金融研究中是比較受關(guān)注的，這表明了該資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)分布情況，尾越厚， 風(fēng)險(xiǎn)越大。

三、統(tǒng)計(jì)圖形

1.條形圖

條形圖是一個(gè)很好展現(xiàn)變量分布情況的方式，但是連續(xù)變量不可能做出條形圖，因?yàn)檫B續(xù)變量如果精度足夠大的話，每 個(gè)取值出現(xiàn)的頻數(shù)應(yīng)該只有一次。但是可以采用將連續(xù)變量分箱的方法做直方圖。這樣，每個(gè)柱代表一個(gè)分箱，柱高為 在這個(gè)分箱中的取值出現(xiàn)的次數(shù)或百分比，分箱的數(shù)量和間隔可以自定義，如下圖所示：

2.盒須圖

盒須圖（又稱箱線圖）相對于直方圖而言，提供的信息更精煉。它提供了中位數(shù)、均值、上下分位點(diǎn)的信息，這不但可 以了解變量的中心水平，還可以了解變量的變化范圍。其中需要說明的是最大值和最小值，它們不是變量的最大值和最 小值。如圖1-9所示，以盒須圖中的最小值為例，從上分位點(diǎn)加上1.5倍的內(nèi)分位距（IQR），該變量在這個(gè)范圍內(nèi)的最 大取值被稱為最大值，超過1.5倍的內(nèi)分位距的取值被稱為離群值（異常值）。

3.玫瑰圖

玫瑰圖又稱為南丁格爾玫瑰圖。南丁格爾（Floarence Nightinggale），英國護(hù)士和統(tǒng)計(jì)學(xué)家。1883年，南丁格爾撰 寫影響英國軍隊(duì)健康，效率和醫(yī)院管理的資料中，她創(chuàng)造了一個(gè)非凡的原創(chuàng)圖形展示方式（如下圖所示），這張圖顯示 了人們在1854年7月至次年年底期間死亡的情況。 南丁格爾玫瑰圖類似于餅圖的變形，它可以用轉(zhuǎn)角、扇形面積、以及顏色展現(xiàn)數(shù)據(jù)的不同維度。

四、例題精講

1.在相同或近似相同的時(shí)間點(diǎn)上收集的數(shù)據(jù)稱為（ ）。

A. 觀測數(shù)據(jù)

B. 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

C. 時(shí)間序列數(shù)據(jù)

D. 截面數(shù)據(jù)

答案：D 解析：A項(xiàng)觀測數(shù)據(jù)指通過調(diào)查或觀測而收集到的數(shù)據(jù)；B項(xiàng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是通過實(shí)驗(yàn)中控制實(shí)驗(yàn)對象 以及所處的實(shí)驗(yàn)環(huán)境不同而收集的數(shù)據(jù)；C項(xiàng)時(shí)間序列數(shù)據(jù)指在不同時(shí)間點(diǎn)上收集到的數(shù)據(jù)。

2.只能歸于某一有序類別的非數(shù)字型數(shù)據(jù)稱為（ ）。

A. 數(shù)值型數(shù)據(jù)

B. 數(shù)值型變量

C. 順序數(shù)據(jù)

D. 分類數(shù)據(jù)

答案：C 解析：AB項(xiàng)都屬于數(shù)字型的數(shù)據(jù)；D項(xiàng)數(shù)據(jù)代表一些無序類別；所以答案應(yīng)該選 擇C。

3.下列哪一個(gè)變量屬于分類變量？

A. 年齡

B. 工資

C. 成績等級（優(yōu)、良、中、差）

D. 購買商品時(shí)的支付方式（現(xiàn)金、信用卡、支票）

答案：D 解析：AB項(xiàng)屬于數(shù)值型變量；C項(xiàng)容易混淆，成績本身屬于數(shù)值型變量，劃分為等 級后就代表了某一類別，但此時(shí)由于成績等級有優(yōu)劣關(guān)系，所以其屬于順序變量， 而非分類變量。

4.落在某一特定類別或組中的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)稱為（ ）。

A. 頻數(shù)

B. 頻率

C. 頻數(shù)分布表

D. 累積頻數(shù)

答案：A 解析：B項(xiàng)頻率由某一類的頻數(shù)除以總頻數(shù)得到；C項(xiàng)頻數(shù)分布表是將各組的觀測值個(gè)數(shù)形 成的表格形式；D項(xiàng)累積頻數(shù)是將各有序類別或組的頻數(shù)逐級累加起來得到的頻數(shù)。

5.將比例乘以100得到的數(shù)值稱為（ ）。

A. 頻數(shù)

B. 百分?jǐn)?shù)

C. 比率

D. 比例

答案：B

6.作為電商企業(yè)，以下哪個(gè)圖可以有效地提供不同商品的銷售和趨勢情況？

A. 餅圖

B. 分組直方圖

C. 氣泡圖

D. 條形圖和線圖的組合圖

答案：D 解析：不同商品的銷售狀況，一般是通過數(shù)量或金額的排名獲得，條形圖的計(jì)數(shù) 和百分比可以表達(dá)這個(gè)信息，而趨勢通常看折線圖，所以選D。餅圖適合描述結(jié) 構(gòu)性問題，直方圖用于觀測字段分布，氣泡圖用于觀測字段間的相關(guān)。

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