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回歸系列（三）| 談?wù)劸€性回歸的殘差和預(yù)測(cè)值
2020-09-02
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作者：丁點(diǎn)helper 

來源：丁點(diǎn)幫你

前面兩篇文章，我們聚焦于線性回歸的回歸系數(shù)，理清了樣本與總體回歸方程的區(qū)別、回歸系數(shù)的最小二乘法估計(jì)等問題，今天我們重點(diǎn)來看看線性回歸的殘差和預(yù)測(cè)值。

回歸分析的殘差

前面我們談到過樣本回歸方程有兩種寫法：

這里，殘差的頭上也有一個(gè)“^”(hat)，意味著殘差也有總體與樣本之分。由上面殘差的計(jì)算公式也可推知這一點(diǎn)，因?yàn)轭A(yù)測(cè)值有樣本與總體之分，所以殘差也自然也是有的。

我們做線性回歸的時(shí)候一般需滿足：

1）線性（L）：因變量與自變量之間呈線性關(guān)系；

2）獨(dú)立（I）：各觀測(cè)值相互獨(dú)立；

3）正態(tài)（N）：自變量（X）固定時(shí)所對(duì)應(yīng)的因變量（Y）服從正態(tài)分布；

4）方差齊（E）：不同自變量取值下因變量的方差相等。

以上四個(gè)條件即俗稱的LINE條件。這些條件雖然是針對(duì)因變量而言的，但我們卻可以通過對(duì)殘差進(jìn)行分析達(dá)到檢驗(yàn)的目的。一般而言，如果殘差滿足以上四個(gè)條件，則稱線性回歸的假設(shè)條件得到滿足。

（有關(guān)回歸診斷的問題，后面我們會(huì)專門詳細(xì)介紹。）

回歸分析的預(yù)測(cè)值

看完殘差，我們?cè)賮砜纯搭A(yù)測(cè)值。這里要指出回歸方程的第三種寫法（一般對(duì)于總體回歸）：

看到 μ第一反應(yīng)應(yīng)該是均數(shù)，而且是總體均數(shù)（非樣本均數(shù)），所以 μγ在相關(guān)教材上被稱作“X取某個(gè)特定數(shù)值時(shí)，Y的條件總體均數(shù)”。

這里的“條件總體均數(shù)”估計(jì)會(huì)看暈不少人。所謂“條件”，意味著Y的取值是依據(jù)X的取值而定的，“X的取值”是確定Y的前提條件。

由此，嚴(yán)格來說， Y應(yīng)該是 μγ 的預(yù)測(cè)值。

這意味著給定X的取值，我們通過回歸獲得的是Y的一個(gè)平均值。比如前面文章中談到的教育程度（X）和收入（Y）的回歸方程：

當(dāng)X=15時(shí)，可以計(jì)算得出 Y=5000，嚴(yán)格來講，這里算出的5000并非是某個(gè)人的具體收入，而是一群接受了15年教育的人，其收入的平均數(shù)。

因?yàn)榧幢闶谴蠹叶冀邮芰?5年教育，但收入也并不完全相同，有的可能一兩萬，而有的也可能一兩千。而我們通過回歸獲得是收入（Y）在教育程度為15年（X=15）的一個(gè)平均數(shù)。

理解了這一層，再看下面這圖應(yīng)該會(huì)比較輕松。

回歸線與豎線的交點(diǎn)，即是回歸預(yù)測(cè)值，也是這個(gè)正態(tài)曲線的均值。均值對(duì)應(yīng)著正態(tài)分布的波峰，意味著即使這一群人的實(shí)際收入有差距，但大部分人仍然會(huì)圍繞5000上下小幅波動(dòng)（當(dāng)X=15時(shí)）。

這里的正態(tài)分布之所以有四個(gè)，是因?yàn)樵诓煌琗的取值水平下，Y的取值會(huì)發(fā)生（系統(tǒng)性）的變化，即Y的均值會(huì)隨著X的變化而變化。

這一點(diǎn)其實(shí)描述了回歸最本質(zhì)的意義，試想，如果Y的正態(tài)分布不隨X變化，那意味就X不會(huì)對(duì)Y產(chǎn)生影響，則兩者可能就不存在線性相關(guān)。

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