SPSS—非線性回歸(模型表達(dá)式)案例解析

由簡單到復(fù)雜，人生有下坡就必有上坡，有低潮就必有高潮的迭起，隨著SPSS的深入學(xué)習(xí)，已經(jīng)逐漸開始走向復(fù)雜，今天跟大家交流一下，SPSS非線性回歸，希望大家能夠指點(diǎn)一二！

非線性回歸過程是用來建立因變量與一組自變量之間的非線性關(guān)系，它不像線性模型那樣有眾多的假設(shè)條件，可以在自變量和因變量之間建立任何形式的模型
非線性，能夠通過變量轉(zhuǎn)換成為線性模型——稱之為本質(zhì)線性模型，轉(zhuǎn)換后的模型，用線性回歸的方式處理轉(zhuǎn)換后的模型，有的非線性模型并不能夠通過變量轉(zhuǎn)換為線性模型，我們稱之為：本質(zhì)非線性模型

還是以“銷售量”和“廣告費(fèi)用”這個(gè)樣本為例，進(jìn)行研究，前面已經(jīng)研究得出：“二次曲線模型”比“線性模型”能夠更好的擬合“銷售量隨著廣告費(fèi)用的增加而呈現(xiàn)的趨勢變化”，那么“二次曲線”會(huì)不會(huì)是最佳模型呢？

答案是否定的，因?yàn)椤胺蔷€性模型”能夠更好的擬合“銷售量隨著廣告費(fèi)用的增加而呈現(xiàn)的變化趨勢” 下面我們開始研究：

第一步：非線性模型那么多，我們應(yīng)該選擇“哪一個(gè)模型呢？”

1：繪制圖形，根據(jù)圖形的變化趨勢結(jié)合自己的經(jīng)驗(yàn)判斷，選擇合適的模型

點(diǎn)擊“圖形”—圖表構(gòu)建程序—進(jìn)入如下所示界面：

點(diǎn)擊確定按鈕，得到如下結(jié)果：

放眼望去, 圖形的變化趨勢，其實(shí)是一條曲線，這條曲線更傾向于”S” 型曲線，我們來驗(yàn)證一下，看“二次曲線”和“S曲線”相比，兩者哪一個(gè)的擬合度更高！

點(diǎn)擊“分析—回歸—曲線估計(jì)——進(jìn)入如下界面

在“模型”選項(xiàng)中，勾選”二次項(xiàng)“和”S” 兩個(gè)模型，點(diǎn)擊確定，得到如下結(jié)果：

通過“二次”和“S “ 兩個(gè)模型的對比，可以看出S 模型的擬合度 明顯高于“二次”模型的擬合度 （0.912 >0.900）不過，幾乎接近

接著，我們采用S 模型，得到如下所示的結(jié)果：

結(jié)果分析：

1：從ANOVA表中可以看出：總體誤差= 回歸平方和 + 殘差平方和 （共計(jì)：0.782） F統(tǒng)計(jì)量為（240.216）顯著性SIG為（0.000）由于0.000<0.01 （所以具備顯著性，方差齊性相等）

2：從“系數(shù)”表中可以看出：在未標(biāo)準(zhǔn)化的情況下，系數(shù)為（-0.986） 常數(shù)項(xiàng)為2.672

所以 S 型曲線的表達(dá)式為：Y（銷售量）=e^(b0+b1/t) = e^(2.672-0.986/廣告費(fèi)用）

當(dāng)數(shù)據(jù)通過標(biāo)準(zhǔn)化處理后，常數(shù)項(xiàng)被剔除了，所以標(biāo)準(zhǔn)化的S型表達(dá)式為：Y(銷售量） = e^(-0.957/廣告費(fèi)用）

下面，我們直接采用“非線性”模型來進(jìn)行操作

第一步：確定“非線性模型”

從繪圖中可以看出：廣告費(fèi)用在1千萬——4千多萬的時(shí)候，銷售量增加的跨度較大，當(dāng)廣告費(fèi)用超過“4千多萬”的時(shí)候，增加幅度較小，在達(dá)到6千多萬”達(dá)到頂峰，之后呈現(xiàn)下降趨勢。

從圖形可以看出：它符合The asymptotic regression model (漸近回歸模型)

表達(dá)式為：Y(銷售量）= b1 + b2*e∧b3*(廣告費(fèi)用）

當(dāng)b1>0, b2<0, and b3<0,時(shí)，它符合效益遞減規(guī)律，我們稱之為：Mistcherlich’s model

第二步：確定各參數(shù)的初始值

1：b1參數(shù)值的確定，從表達(dá)式可以看出：隨著”廣告費(fèi)用“的增加，銷售量也會(huì)增加，最后達(dá)到一個(gè)峰值，由于：b2<0, b3<0 ，隨著廣告費(fèi)用的增加：b2*e∧b3*(廣告費(fèi)用）會(huì)逐漸趨向于“0” 而此時(shí) Y(銷售量）將接近于 b1值，從上圖可以看出：Y(銷售量）的最大值為12點(diǎn)多，接近13，所以，我們設(shè)定b1的初始值為13

2：b2參數(shù)值確定：當(dāng)Y(銷售量）最小時(shí)，此時(shí)應(yīng)該廣告費(fèi)用最小，基本等于“0”，可以得出：b1+b2= Y(銷售量）此時(shí)Y銷售量最小，從圖中可以看出：第一個(gè)值為6.7左右，接近7這個(gè)值，所以：b2=7-13=-6

3: b3參數(shù)值確定：可以用圖中兩個(gè)分離點(diǎn)的斜率來確定b3的值，例如?。▁1=2.29,y1=8.71) 和（ x2=5.75, y2=12.74) 通過公式 y2-y1/x2-x1=1.16，（此處可以去整數(shù)估計(jì)值來算b3的值）

確定參數(shù)初始值和參數(shù)范圍的方法如下所示：

1：通過圖形確定參數(shù)的取值范圍，然后在這個(gè)范圍里選擇初始值。
2：根據(jù)非線性方程的數(shù)學(xué)特性進(jìn)行某些變換后，再通過圖形幫助判斷初始值的范圍。
3：先使用固定的數(shù)代替某些參數(shù)，以此來確定其它參數(shù)的取值范圍。
4：通過變量轉(zhuǎn)換，使用線性回歸模型來估計(jì)參數(shù)的初始值
第三步：建立模型表達(dá)式和選擇損失函數(shù)

點(diǎn)擊“分析”—回歸——非線性，進(jìn)入如下所示界面：

如上圖中，點(diǎn)擊參數(shù)，分別添加b1,b2,b3進(jìn)入?yún)?shù)框內(nèi)，在模型表達(dá)式中輸入：b1 + b2*Exp(b3*廣告費(fèi)用）（步驟為：選擇“函數(shù)組”—算術(shù)——Exp函數(shù)），將“銷售量”變量拖入“因變量”框內(nèi)

“損失函數(shù)”默認(rèn)選項(xiàng)為“殘差平方和” 如果有特需要求，可以自行定義

點(diǎn)擊“約束”進(jìn)入如下所示的界面：

點(diǎn)擊“繼續(xù)”按鈕，此時(shí)會(huì)彈出警告信息，提示用戶是否接受建議, 建議內(nèi)容為：將采用序列二次編程進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，點(diǎn)擊確定，接受建議即可

參數(shù)的取值范圍指在迭代過程中，將參數(shù)限制在有意義的范圍區(qū)間內(nèi)，提供兩種對參數(shù)范圍約束的方法：

1：線性約束，在約束表達(dá)式里只有對參數(shù)的線性運(yùn)算
2：非線性約束，在約束表達(dá)式里，至少有一個(gè)參數(shù)與其它參數(shù)進(jìn)行了乘，除運(yùn)算，或者自身的冪運(yùn)算

在“保存”選項(xiàng)中，勾選“預(yù)測值”和“殘差”即可，點(diǎn)擊繼續(xù)

點(diǎn)擊“選項(xiàng)”得到如下所示的界面：

此處的“估計(jì)方法”選擇“序列二次編程”的方法，此方法主要利用的是雙重迭代法進(jìn)行求解，每一步迭代都建立一個(gè)二次規(guī)劃算法，以此確定優(yōu)化的方向，把估計(jì)參數(shù)不斷的帶入損失函數(shù)進(jìn)行求值運(yùn)算，直到滿足指定的收斂條件為止

點(diǎn)擊繼續(xù)，再點(diǎn)擊“確定”得到如下所示的結(jié)果：

上圖結(jié)果分析：

1：從“迭代歷史記錄”表中可以看出：迭代了17次后，迭代被終止，已經(jīng)找到最優(yōu)解

此方法是不斷地將“參數(shù)估計(jì)值”代入”損失函數(shù)“求解，而損失函數(shù)采用的是”殘差平方和“最小，在迭代17次后，殘差平方和達(dá)到最小值，最小值為（6.778）此時(shí)找到最優(yōu)解，迭代終止

2：從參數(shù)估計(jì)值”表中可以看出：
b1= 12.904 （標(biāo)準(zhǔn)誤為0.610，比較小，說明此估計(jì)值的置信度較高） b2=-11.268 （標(biāo)準(zhǔn)誤為：1.5881，有點(diǎn)大，說明此估計(jì)值的置信度不太高） b3=-0.496（標(biāo)準(zhǔn)誤為：0.138，很小，說明此估計(jì)值的置信度很高）

非線性模型表達(dá)式為：Y(銷售量）= 12.904-11.268*e^(-0.496*廣告費(fèi)用）

3：從“參數(shù)估計(jì)值的相關(guān)性”表中可以看出：b1 和 b3的相關(guān)性較強(qiáng)，b2和b1或b3的相關(guān)性都相對弱一些，其中b1和b2的相關(guān)性最弱

4：從anova表中可以看出：R方 = 1- （殘差平方和）/（已更正的平方和） = 0.909，擬合度為0.909，說明此模型能夠解釋90多的變異，擬合度已經(jīng)很高了

前面已經(jīng)提到過，S行曲線的擬合度更高，為（0.916）那到底哪個(gè)更合適呢？如果您的數(shù)據(jù)樣本容量夠大，我想應(yīng)該是“非線性模型”的擬合度會(huì)更高！

其實(shí)想想，我們是否可以將“非線性”轉(zhuǎn)換為“線性”后，再利用線性模型進(jìn)行分析了？后期有時(shí)間的話，將還是以本例為說明，如何將“非線性”轉(zhuǎn)換為“線性”后進(jìn)行分析?。?