SPSS分析技術(shù):非線性回歸;科學(xué)種田!肥料應(yīng)該用多少合適

非線性回歸

非線性關(guān)系可以分為本質(zhì)是線性關(guān)系的非線性關(guān)系和完全非線性關(guān)系，有點(diǎn)拗口。在曲線回歸總已經(jīng)介紹，可以通過(guò)變量裝換，轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系，并進(jìn)行線性回歸分析的就是本質(zhì)是線性關(guān)系的非線性關(guān)系。如果無(wú)法通過(guò)變量裝換，轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系，無(wú)法進(jìn)行線性回歸分析的叫完全非線性關(guān)系。今天我們介紹的非線性關(guān)系就是完全非線性關(guān)系的回歸分析。

非線性回歸的優(yōu)勢(shì)

曲線估計(jì)只能用于一個(gè)自變量和因變量相關(guān)關(guān)系的模型的分析，而非線性回歸分析可以用來(lái)探討因變量和一組自變量之間的非線性相關(guān)模型。非線性回歸可以估計(jì)因變量和自變量之間任意關(guān)系的模型，可以根據(jù)自身需要隨意設(shè)定估計(jì)方程的具體形式。因此，非線性回歸在實(shí)際應(yīng)用中價(jià)值更大，應(yīng)用范圍更廣。

非線性回歸模型

范例分析

某省農(nóng)科院新培育了一種高產(chǎn)量農(nóng)作物，并在海南的試驗(yàn)田中進(jìn)行實(shí)驗(yàn)種植，現(xiàn)有試驗(yàn)田施肥量及其對(duì)應(yīng)的農(nóng)作物產(chǎn)量數(shù)據(jù)，根據(jù)該數(shù)據(jù)文件推定施肥量與產(chǎn)量之間的關(guān)系。

分析步驟

1、做散點(diǎn)圖，觀察施肥量與農(nóng)作物產(chǎn)量的關(guān)系；選擇菜單【圖形】-【舊對(duì)話框】-【散點(diǎn)/點(diǎn)狀】，將施肥量選為自變量，產(chǎn)量選為因變量。

2、 估計(jì)初始值；根據(jù)上圖，施肥量和產(chǎn)量之間似乎存在線性關(guān)系。但是根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)可知，這種推斷不正確。因?yàn)樽魑锂a(chǎn)量不可能隨著施肥量的增加而一直增加下去，當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到一定水平時(shí)，施肥量的增加不會(huì)帶來(lái)產(chǎn)量的進(jìn)一步提高，二者的關(guān)系可以用漸進(jìn)回歸模型：

要確定回歸方程，首要估算出參數(shù)b1、b2、b3的初始值。由散點(diǎn)圖看出，產(chǎn)量最大值接近13，不妨設(shè)b1=13；x=0時(shí)，y=6，故b2=6-13=-7；b3為散點(diǎn)圖中兩個(gè)分隔較寬的點(diǎn)之間的連線的斜率的倒數(shù)，在此取b3=-1.5。

3、參數(shù)設(shè)置；選擇【分析】-【回歸】-【非線性】菜單，打開(kāi)非線性回歸對(duì)話框。按照下圖輸入數(shù)據(jù)。

4、損失函數(shù)設(shè)置；單擊“損失”，設(shè)置損失函數(shù)。所謂損失函數(shù)是指一個(gè)包括當(dāng)前工作文件中的變量以及所設(shè)定的參數(shù)并通過(guò)計(jì)算法使之最小化的函數(shù)。系統(tǒng)默認(rèn)狀態(tài)下，非線性回歸過(guò)程根據(jù)算法將殘差平方和最小化為損失函數(shù)。如果選擇“用戶定義的損失函數(shù)”，可以再“用戶定義的損失函數(shù)”列表框中鍵入或者粘貼一個(gè)表達(dá)式。字符串常數(shù)必須包含在引號(hào)或撇號(hào)中，數(shù)字常數(shù)必須按以美式格式鍵入，并用句點(diǎn)作為小數(shù)分隔符。本案例選擇系統(tǒng)默認(rèn)設(shè)置。單擊“繼續(xù)”。

5、 參數(shù)約束設(shè)置；單擊“約束，定義參數(shù)約束?！凹s束”是在對(duì)解的迭代搜索過(guò)程中對(duì)參數(shù)所允許值的限制。該對(duì)話框有兩個(gè)設(shè)置選項(xiàng)：“未約束”和“定義參數(shù)約束”。

6、 保存設(shè)置；單擊“保存”，該對(duì)話框提供4種用于保存的數(shù)據(jù)類型，允許作為新變量的觀測(cè)值保存于當(dāng)前文件中。

7、算法選項(xiàng)設(shè)置；單擊“選項(xiàng)”，該對(duì)話框用于設(shè)置參數(shù)估計(jì)的算法和算法的迭代次數(shù)、迭代步長(zhǎng)和收斂條件等。

結(jié)果解釋

1、  如上圖所示，該案例經(jīng)過(guò)多大20步的迭代估計(jì)之后，找到模型的最優(yōu)解，即 b1、b2、b3的參數(shù)估計(jì)值13.348、-10.783和-0.418，此外還得到了三個(gè)參數(shù)值的標(biāo)準(zhǔn)誤差和95%置信區(qū)間，以及三個(gè)參數(shù)估計(jì)值的相關(guān)系數(shù)，可以看出各個(gè)參數(shù)值之間的相關(guān)性很高，尤其是b1和b3的相關(guān)系數(shù)達(dá)到0.968，屬非常顯著的相關(guān)關(guān)系。

2、 根據(jù)上表回歸模型的方差分析結(jié)果，表中回歸行的平方和代表該回歸模型所能解釋的模型的方差變化，而殘差行的平方和代表該非線性回歸模型所不能解釋的方差變化。二者的和即為未修正的總計(jì)，它是總的殘差平方和，而R2=1-（殘差平方和）/（已更正的平方和）=0.907，說(shuō)明該模型能解釋因變量90.7%的變異量，即該非線性模型的擬合優(yōu)度很高。根據(jù)以上分析可以確定，該分析所獲得的回歸模型顯著。

根據(jù)線性回歸模型：

可得回歸方程：

從散點(diǎn)圖可以知道，目前采集到的數(shù)據(jù)還不足夠，因?yàn)閳D中沒(méi)有出現(xiàn)明顯的平緩趨勢(shì)。為了找到最合適的施肥量，可以通過(guò)得到的回歸方程，做出自變量（施肥量）范圍更廣的曲線，找出曲線的平緩位置，這個(gè)位置對(duì)應(yīng)的橫軸值就是合理的施肥量。數(shù)據(jù)分析培訓(xùn)