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2020-08-25 閱讀量: 3860
線性代數(shù)相關(guān)筆記整理

1.行列式的性質(zhì)

行列式的轉(zhuǎn)置

將行列四D的行與列互換后得到的行列式,稱為D的轉(zhuǎn)置行列式,記為DT或D’。

性質(zhì)1 將行列式轉(zhuǎn)置,行列式的值不變,即DT=D.

性質(zhì)2 互換行列式的兩行(列),行列式的值變號(hào)。

推論 如果行列式中有兩行(列)的對(duì)應(yīng)元素相同,則此行列式的值為零。

說明 由此性質(zhì)可知,行列式的行具有的性質(zhì),它的列也具有。

性質(zhì)3 用數(shù)k乘行列式的某一行(列),等于以數(shù)k乘此行列式。

推論1 如果行列式某行(列)的所有元素有公因子,則公因子可以提到行列式外面。

推論2 如果行列式有兩行(列)的對(duì)應(yīng)元素成比例,則行列式的值為零。

性質(zhì)4 將行列式某一行(列)的所有元素同乘以數(shù)k后加到另一行(列)對(duì)應(yīng)位置的元素上,行列式的值不變。

2. 矩陣

定義;由m*n個(gè)數(shù)aij(i=1,2,..,n)按一定次序排列成的一個(gè)m行n列的矩形表,稱為一個(gè)m行n列的矩陣,簡稱m*n矩陣,記作

其中,aij稱為矩陣的第i行第j列的元素。

應(yīng)注意的問題

n階矩陣僅僅是由n2個(gè)元素排成的一個(gè)正方表,而與n階行列式不同。

一個(gè)由n階矩陣A的元素按原來排列的形式構(gòu)成的n階行列式,稱為矩陣A的行列式,記作。

矩陣的加法

兩個(gè)m行n列矩陣A=(aij),B=(bij)對(duì)應(yīng)位置元素相加得到的m行n列矩陣,稱為矩陣A與矩陣B的和,記為A+B。

乘法的規(guī)則:前行后列

矩陣的轉(zhuǎn)置性質(zhì):

(1)(ATT=A

(2)(A+B)T=AT+BT

(3)(kA)T=kAT

(4)(AB)T=BTAT

單位矩陣的性質(zhì)

ImAm*n=Am*n?,Am*nIn=Am*n

對(duì)于n階矩陣A,規(guī)定A0=I?

單位矩陣I在矩陣乘法中與數(shù)1在數(shù)的乘法中的性質(zhì)類似

逆矩陣

對(duì)于n階矩陣A,如果存在n階矩陣B,使得

AB=BA=I

I是n階單位矩陣,那么矩陣A稱為可逆矩陣,簡稱A可逆,并稱B為A的逆矩陣。

逆矩陣的性質(zhì)

(1)若矩陣A可逆,則A-1也可逆,且(A-1-1=A。

(2)若矩陣A可逆,數(shù)k<>0,則kA也可逆,且(kA)-1=(1/k)A-1。\

(3)兩個(gè)同階可逆矩陣A、B的乘積是可逆矩陣,且

(AB)-1=B-1A-1

(4)若矩陣A可逆,則A的轉(zhuǎn)置矩陣AT也可逆,且

(AT )-1=(A-1)T


(5)若矩陣A可逆,則|A-1|=|A|-1


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