1.行列式的性質(zhì)

行列式的轉(zhuǎn)置

將行列四D的行與列互換后得到的行列式，稱為D的轉(zhuǎn)置行列式，記為D^T或D’。

性質(zhì)1 將行列式轉(zhuǎn)置，行列式的值不變，即D^T=D.

性質(zhì)2 互換行列式的兩行（列），行列式的值變號(hào)。

推論 如果行列式中有兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素相同，則此行列式的值為零。

說(shuō)明 由此性質(zhì)可知，行列式的行具有的性質(zhì)，它的列也具有。

性質(zhì)3 用數(shù)k乘行列式的某一行（列），等于以數(shù)k乘此行列式。

推論1 如果行列式某行（列）的所有元素有公因子，則公因子可以提到行列式外面。

推論2 如果行列式有兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素成比例，則行列式的值為零。

性質(zhì)4 將行列式某一行（列）的所有元素同乘以數(shù)k后加到另一行（列）對(duì)應(yīng)位置的元素上，行列式的值不變。

2. 矩陣

定義；由m*n個(gè)數(shù)a_ij（i=1,2,..,n）按一定次序排列成的一個(gè)m行n列的矩形表，稱為一個(gè)m行n列的矩陣，簡(jiǎn)稱m*n矩陣，記作

其中，a_ij稱為矩陣的第i行第j列的元素。

應(yīng)注意的問(wèn)題

n階矩陣僅僅是由n²個(gè)元素排成的一個(gè)正方表，而與n階行列式不同。

一個(gè)由n階矩陣A的元素按原來(lái)排列的形式構(gòu)成的n階行列式，稱為矩陣A的行列式，記作。

矩陣的加法

兩個(gè)m行n列矩陣A=（a_ij）,B=（b_ij）對(duì)應(yīng)位置元素相加得到的m行n列矩陣，稱為矩陣A與矩陣B的和，記為A+B。

乘法的規(guī)則：前行后列

矩陣的轉(zhuǎn)置性質(zhì)：

（1）（A^T）^T=A

（2）（A+B）^T=A^T+B^T

（3）（kA）^T=kA^T

（4）（AB）^T=B^TA^T

單位矩陣的性質(zhì)

ImAm*n=Am*n?，Am*nIn=Am*n

對(duì)于n階矩陣A，規(guī)定A⁰=I?

單位矩陣I在矩陣乘法中與數(shù)1在數(shù)的乘法中的性質(zhì)類似

逆矩陣

對(duì)于n階矩陣A，如果存在n階矩陣B，使得

AB=BA=I

I是n階單位矩陣，那么矩陣A稱為可逆矩陣，簡(jiǎn)稱A可逆，并稱B為A的逆矩陣。

逆矩陣的性質(zhì)

（1）若矩陣A可逆，則A^-1也可逆，且（A^-1）^-1=A。

（2）若矩陣A可逆，數(shù)k<>0，則kA也可逆，且（kA）^-1=(1/k)A^-1。\

（3）兩個(gè)同階可逆矩陣A、B的乘積是可逆矩陣，且

(AB)^-1=B^-1A^-1

（4）若矩陣A可逆，則A的轉(zhuǎn)置矩陣A^T也可逆，且

(A^T )^-1=(A^-1)^T

（5）若矩陣A可逆，則|A^-1|=|A|^-1