卡方分布是著名的三大抽樣分布之一，在各種統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)中都有著重要的意義。小編今天就跟大家分享一下有關(guān)卡方分布的一些理論知識(shí)，希望對(duì)于大家有所幫助。

一、什么是卡方分布?

1、卡方分布來(lái)源

卡方分布是阿貝(Abbe)在1863年首次提出的，后來(lái)由海爾墨特(Hermert)以及現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)的奠基人之一的卡·皮爾遜(C.K. Pearson)分別在1875年和1900年推導(dǎo)出來(lái)，是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的非常實(shí)用的一個(gè)有名的分布。

2、卡方分布定義

概率密度

設(shè)X為自由度為的卡方隨機(jī)變量, 那么它的概率密度函數(shù)就是

R代碼繪制：

x <- seq(0, 60, 0.005)

f_nx <- function(x, n){
  x^(n/2-1)*exp(-x/2)/(2^(n/2)*gamma(n/2))
}
## 當(dāng)然你也可以用R自帶的 dchisq()函數(shù)來(lái)計(jì)算概率密度

n <- 1
plot(x, f_nx(x, n), type='l', ylim=c(0, 0.25), ylab=expression(f[n](x)))
text(3, 0.25, paste('n =', n))

n <- 4
lines(x, f_nx(x, n), type='l', col='red')
text(5, 0.17, paste('n =', n) , col='red')

n <- 10
lines(x, f_nx(x, n), type='l', col='blue')
text(12, 0.1, paste('n =', n) , col='blue')

n <- 20
lines(x, f_nx(x, n), type='l', col='purple')
text(20, 0.075, paste('n =', n) , col='purple')

n <- 30
lines(x, f_nx(x, n), type='l', col='green')
text(30, 0.062, paste('n =', n) , col='green')

n <- 40
lines(x, f_nx(x, n), type='l', col='pink')
text(44, 0.05, paste('n =', n) , col='pink')

當(dāng)自由度n越大，概率密度曲線越趨于對(duì)稱

4、χ2 變量性質(zhì):

卡方分布擁有具有k個(gè)自由度的，是一個(gè)由k個(gè)獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的和而構(gòu)成的分布通常用于卡方檢驗(yàn)中。

二、什么是卡方檢驗(yàn)?

1、卡方檢驗(yàn)是一種用途很廣的計(jì)數(shù)資料的假設(shè)檢驗(yàn)方法。屬于非參數(shù)檢驗(yàn)，主要是對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上樣本率( 構(gòu)成比)以及兩個(gè)分類變量的關(guān)聯(lián)性分析進(jìn)行對(duì)比。卡方檢驗(yàn)的根本思想就是比較理論頻數(shù)和實(shí)際頻數(shù)的吻合程度或者擬合優(yōu)度問(wèn)題。/2、卡方檢驗(yàn)的計(jì)算公式為：

其中，A是實(shí)際值，T是理論值。

x2是用于衡量實(shí)際值與理論值的差異程度的，這也是卡方檢驗(yàn)的核心思想，其主要包含了以下兩個(gè)信息：

1. 實(shí)際值與理論值偏差的絕對(duì)大小(由于平方的存在，差異是被放大的)

2. 差異程度與理論值的相對(duì)大小

3、

對(duì)某無(wú)序分類變量各水平在兩組或多組間的分布是否一致進(jìn)行考察可以說(shuō)是卡方檢驗(yàn)最主要的用途了，除此之外.卡方檢驗(yàn)還有很多其他用途。主要可以分為以下幾個(gè)方面：

(1)檢驗(yàn)?zāi)硞€(gè)連續(xù)變量的分布與某種理論分布是否一致。

(2)檢驗(yàn)?zāi)硞€(gè)分類變量各類出現(xiàn)的概率與指定概率是否一致。

(3)檢驗(yàn)?zāi)硟煞N方法的結(jié)果是否保持一致。

(4)檢驗(yàn)?zāi)硟蓚€(gè)分類變量是不是相互獨(dú)立的。

(5)檢驗(yàn)控制某種或者某幾種分類因素的作用之后，判斷兩個(gè)分類變量是不是相互獨(dú)立的。

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