算法回顧

圖片來(lái)源：https://medium.com/machine-learning-101/chapter-1-supervised-learning-and-naive-bayes-classification-part-1-theory-8b9e361897d5

貝葉斯分類(lèi)算法屬于有監(jiān)督機(jī)器學(xué)習(xí)（Supervised Learning）。貝葉斯分類(lèi)器是一類(lèi)分類(lèi)算法的總稱(chēng)，這類(lèi)算法均以貝葉斯定理為基礎(chǔ)，故統(tǒng)稱(chēng)為貝葉斯分類(lèi)。其中樸素貝葉斯分分類(lèi)是貝葉斯分類(lèi)中最簡(jiǎn)單的，也是最常見(jiàn)的一種分類(lèi)方法。

樸素貝葉斯分類(lèi)算法的核心如下公式：

P(A)：它是先驗(yàn)該率（Prior Probability），是A發(fā)生的概率。

P(B)： 是邊際可能性（Marginal Likelihood）：是B發(fā)生的概率。

P(B|A)：是可能性（likelihood），基于給定的A，B發(fā)生的概率，即已知A發(fā)生，B發(fā)生的概率。

P(A|B)：是后驗(yàn)概率（Posterior Probability）：基于給定的B，A發(fā)生的概率，即已知B發(fā)生，A發(fā)生的概率。

換個(gè)表達(dá)式可能理解的就會(huì)更加透徹：

以下是從Udemy上借鑒的一個(gè)例子：

假設(shè)有兩個(gè)特征，分別為工資（Salary）和年齡（Age），已知有兩種分類(lèi)分別為：步行（Walks）和自駕（Drives），如上圖所示。

當(dāng)有一個(gè)新數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)來(lái)時(shí)（如灰色點(diǎn)），基于給定它的特征工資和年齡，應(yīng)該把它分為哪類(lèi)？

其中，$P(Walks) = {10} \over {30}$，$P(Drives)={20} \over {30}$。

首先計(jì)算P(Walks|X)的概率，可以參見(jiàn)如下公式：

首先，需要自定義一個(gè)參考集，如下圖中虛線所示。

• 先驗(yàn)概率（步行上班發(fā)生的概率）為：$P(Walks)={10} \over {40}$；
• 邊際可能性為：$P(X)={4} \over {30}$；
• 可能性為：$P(X|Walks)={3} \over {10}$；
• 后驗(yàn)概率（給定特征情況下，步行上班發(fā)生的概率）為：$P(Walks|X) = {0.3 * 0.25} \over {4 \over 30} = 0.75$。

計(jì)算$P(Walks|X)$后計(jì)算$P(Drivers|X)$，通過(guò)比較兩個(gè)概率的大小，來(lái)決定灰色點(diǎn)屬于哪類(lèi)（Walks 或者 Drives）。通過(guò)比較不難得出灰色點(diǎn)屬于“步行上班”類(lèi)別（此處省略計(jì)算過(guò)程）。

在機(jī)器學(xué)習(xí)中，樸素貝葉斯分類(lèi)器是基于貝葉斯理論（該理論中有很強(qiáng)的特征間獨(dú)立性假設(shè)）的一個(gè)簡(jiǎn)單“概率分類(lèi)”的家族。因此，樸素貝葉斯分類(lèi)算法屬于概率的機(jī)器學(xué)習(xí)（probabilistic machine learning），并且可應(yīng)用于很多分類(lèi)的任務(wù)中。典型的應(yīng)用有垃圾郵件篩選（filtering spam），分類(lèi)文件（classifying documents），情緒預(yù)測(cè)（sentiment prediction）。

在scikit-learn中，一共提供三種樸素貝葉斯的方法，分別為高斯樸素貝葉斯（Gaussian Naive Bayes）、二項(xiàng)式樸素貝葉斯（Multinomial Naive Bayes），伯努利樸素貝葉斯（Bernoulli Naive Bayes）和補(bǔ)足樸素貝葉斯（Complement Naive Bayes）。官方文檔中給出以高斯樸素貝葉斯為例的代碼，示例如下：

>>> from sklearn.datasets import load_iris
>>> from sklearn.model_selection import train_test_split
>>> from sklearn.naive_bayes import GaussianNB
>>> X, y = load_iris(return_X_y=True)
>>> X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.5, random_state=0)
>>> gnb = GaussianNB()
>>> y_pred = gnb.fit(X_train, y_train).predict(X_test)
>>> print("Number of mislabeled points out of a total %d points : %d"
...       % (X_test.shape[0], (y_test != y_pred).sum()))
Number of mislabeled points out of a total 75 points : 4 

概率校正

分類(lèi)概率在一些機(jī)器模型中應(yīng)用廣泛，在scikit-learn中，大多數(shù)機(jī)器學(xué)習(xí)算法通過(guò)使用predict_proba函數(shù)，允許計(jì)算樣本各類(lèi)別的概率。這個(gè)功能對(duì)于一些情況下是極為有效的，例如，如果某一類(lèi)的模型預(yù)測(cè)概率是大于歐90%的。但是，包括樸素貝葉斯等模型，它的模型預(yù)測(cè)概率與現(xiàn)實(shí)中的概率不盡相同。例如，函數(shù)predict_proba預(yù)測(cè)某個(gè)樣本屬于某類(lèi)的樣本概率是70%，而實(shí)際只有0.1或者0.99。尤其對(duì)于樸素貝葉斯模型而言，盡管不同目標(biāo)類(lèi)的預(yù)測(cè)概率有效（valid），但原始概率往往采用接僅0和1的極端值。

為了得到有意義的預(yù)測(cè)概率，需要采用模型“校正”（calibration）。在scikit-learn中，使用CalibratedClassifierCV分類(lèi)，通過(guò)k折交叉驗(yàn)證（k-fold cross-validation）來(lái)生成“好的”校正的預(yù)測(cè)概率。在CalibratedClassifierCV中，訓(xùn)練集用于訓(xùn)練模型，測(cè)試集用于矯正模型預(yù)測(cè)概率。返回的預(yù)測(cè)概率是k-fold的均值。詳見(jiàn)參考 文章。

代碼示例如下：

# 導(dǎo)入相關(guān)的庫(kù) 
from sklearn import datasets
from sklearn.naive_bayes import GaussianNB
from sklearn.calibration import CalibratedClassifierCV 

# 載入鶯尾花數(shù)據(jù)集 
iris = datasets.load_iris()
X = iris.data
y = iris.target 

# 構(gòu)建樸素貝葉斯分類(lèi)對(duì)象 
clf = GaussianNB() 

# 構(gòu)建校正器 
clf_sigmoid = CalibratedClassifierCV(clf, cv=2, method='sigmoid') 

# 構(gòu)建帶有校正概率的分類(lèi)器 
clf_sigmoid.fit(X, y) 

# 構(gòu)建新樣本 
new_observation = [[ 2.6,  2.6,  2.6,  0.4]]

# 得到矯正后的概率 
clf_sigmoid.predict_proba(new_observation) 

根據(jù)Alexandru和Rich在2005年發(fā)表的題為“Predicting Good Probabilities With Supervised Learning”論文[1]中指出：對(duì)于樸素貝葉斯模型而言，對(duì)于不同校正集合的大小，Isotonic Regression的表現(xiàn)都優(yōu)于Platt Scaling方法（在CalibratedClassifierCV中，用參數(shù)method定義）。因此，這對(duì)樸素貝葉斯模型的參數(shù)設(shè)置，可以?xún)?yōu)先考慮Isotonic Regression方法。

參考文章：

[1] Niculescu-Mizil, A., & Caruana, R. (2005, August). Predicting good probabilities with supervised learning. In Proceedings of the 22nd international conference on Machine learning (pp. 625-632).