一、基本概念

1.什么是因子分析？

主成分分析時一般情況下不能對主成分所代表含義進行業(yè)務上的解讀，因為主成分方向上一般不會恰好某些變量權(quán)重大， 而另外一些變量權(quán)重都小，這也表現(xiàn)在主成分權(quán)重的形成的散點圖會偏離坐標軸。如果可以將主成分的坐標軸進行旋轉(zhuǎn)， 使一些變量的權(quán)重的絕對值在一個主成分上達到最大，而在其他主成分上絕對值最小，這樣就達到了變量分類的目的。對 應地，這種維度分析方法被稱為因子分析。 因子分析是一類常用的連續(xù)變量降維并進行維度分析的方法，其經(jīng)常采用主成分法作為其因子載荷矩陣的估計方法，在特 征向量方向上，使用特征值的平方根進行加權(quán)，最后通過因子旋轉(zhuǎn)，使得變量的權(quán)重在不同因子上更加兩極分化。常用最 大方差法進行因子旋轉(zhuǎn)，這種方法是一種正交旋轉(zhuǎn)。

二、模型設置

1.正交因子模型

2.因子載荷矩陣

因子載荷矩陣的估計是因子分析的主要問題之一。模型中 L 稱為因子載荷矩陣，因子分析是從對 L 的估計入手的，可 以從兩方面來理解L 的含義：

（1）將其看做是對因子進行線性組合時的系數(shù)。假設相親對象評分的因子載荷矩陣如下：

可以得到，父母評價X1=0.4*魅力F1+0.5*財務F2+0.2*責任心F3，同事評價與此類似，是通過對三個因子進行線性組 合獲得的，組合的系數(shù)就是因子載荷矩陣L。

（2）因子載荷矩陣L還可以看作是是p維空間的一組單位正交向量，把這組向量當做坐標軸，隱含的因子F投影到這些 向量上的值即 LF，LF與 X-μ 之間僅相差一個干擾項。因此如果 X 是標準化過的 （μ=0），再排除干擾項，可以認為在L這個參考系中表示的F與在標準坐標系（單位陣）中的表示的X是等價的。

三、算法解析

1.因子分析的計算過程大致可分為三步

（1）估計因子載荷矩陣

（2）進行因子旋轉(zhuǎn)

（3）估計公共因子（因子得分）

2.因子載荷矩陣的估計

在正交因子模型中，假定公共因子彼此不相關(guān)且具有單位方差，這種情況下，因子載荷矩陣及特殊因子的方差需要滿足下式。

有了因子載荷矩陣，可以根據(jù)其元素值的大小來判斷變量在公共因子中的負荷量大小，并以此對公共因子代表的可能含 義進行解釋。假如對本章引例的評價數(shù)據(jù)進行因子分析，得到因子載荷矩陣如下，那怎么使用載荷矩陣的值來對公共因 子的業(yè)務含義做出解釋呢？

注：因子載荷矩陣L，代表了變量X在公共因子F上的“載荷”。

因子分析的目的不僅是要找出公共因子，更重要的是要能解釋每個公共因子的業(yè)務意義。通過上面的分析我們可以看到， 如果載荷矩陣的每列中，各元素的絕對值越向0或1“兩極分化”，那么因子負載的代表變量就會比較突出，便于我們進 行解釋。相反，如果各元素間差別不大的話，則不易進行解釋，例如上例第2列中有不少載荷在0.5附近的中等載荷，進 行解釋時容易導致公共因子的意義含糊不清。因此，為了使載荷矩陣每列元素更加向兩極轉(zhuǎn)化，需要對因子載荷矩陣施 行旋轉(zhuǎn)變換。

根據(jù)正交矩陣的性質(zhì)，正交旋轉(zhuǎn)后的因子軸能保持原有的夾角不變，如下所示：

對主成分法估計的初始因子載荷進行最大方差旋轉(zhuǎn)，結(jié)果如下：

根據(jù)載荷矩陣，以父母評價X1為例，可以得到其由因子進行綜合的模型為： 父母評價X1 = 0.897*F1– 0.0395*F2 – 0.163*F3

四、因子得分

我們獲得了因子載荷矩陣L后，可以對因子F代表的含義進行解釋，但因子F仍然是未知的，因此需要使用樣本對其進行估 計，這個估計值就是所謂因子得分。

如果我們使用主成分法估計因子載荷矩陣，那么計算因子得分時，通常使用最小二乘法，即最小化

德爾菲打分法（Delphi method）是一種通過多位專家的獨立的反復主觀判斷，獲得相對客觀的信息、意見和見解的打 分方法。相比較于因子分析，德爾菲打分法較為主觀。

五、例題精講

1.下列關(guān)于因子分析說法正確的是？

A. 主成分法是常用的因子載荷矩陣的估計方法

B. 最大方差旋轉(zhuǎn)是應用最廣泛的因子旋轉(zhuǎn)方法，這是一種斜交旋轉(zhuǎn)

C. 在選擇合適的因子數(shù)量時，可以適當放寬對于特征根大小的選擇要求，大于0.7時就可以考慮保留

D. 因子分析作為維度分析的手段，是構(gòu)造合理的聚類模型和穩(wěn)健的分類模型的必然步驟

答案：ACD 解析：主成分法的得分系數(shù)矩陣中，每個分量與相應特征值的平方根進行乘積，組成的新矩陣可以作為因子載荷矩陣的估計， 這種方法稱為主成分法，因此A正確；因子旋轉(zhuǎn)時采用最大方差旋轉(zhuǎn)是一種正交旋轉(zhuǎn)，也是最常用的因子旋轉(zhuǎn)方法，因此B錯 誤；C結(jié)論為經(jīng)驗結(jié)論，因子分析中一般可以放寬對特征根大小的選擇要求，因此正確；聚類模型往往要保證每個聚類變量權(quán) 重的平衡，因此事先經(jīng)常采用因子分析對變量進行降維，分類模型中解釋變量的共線性會導致模型不穩(wěn)定，因此也經(jīng)常事先 對解釋變量進行因子分析。因此D正確。

2.關(guān)于主成分與因子分析闡述正確的是？

A. 因子分析中是把因子表示成各個變量的線性組合

B. 主成分分析中是把主成分表示成各個變量的線性組合

C. 因子分析需要構(gòu)造因子模型：用潛在的假想變量和隨機影響變量的線性組合表示原始變量

D. 因子分析和主成分分析只有在線性表示上是一致的

答案：BC 解析：熟知兩種方法的定義。

3.下列關(guān)于主成分分析與因子分析的異同點描述正確的是？

A. 兩種分析方法都是一種降維、簡化數(shù)據(jù)的技術(shù)

B. 主成分分析是從顯在變量去提煉潛在主成分的過程

C. 主成分分析需要構(gòu)造分析模型而因子分析不需要構(gòu)造因子模型

D. 因子分析從本質(zhì)上是將原指標進行了綜合和歸納

答案：A 解析：主成分分析的本質(zhì)上一種線性變換，是將原指標綜合、歸納。而因子分析是從顯在變量去提煉潛在因子的過程，是將原指標進 行分解、演繹。所以BD錯誤。C項中正確的描述是主成分分析不需要構(gòu)造分析模型而因子分析要構(gòu)造因子模型。

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