
1.什么是因子分析?
主成分分析時(shí)一般情況下不能對(duì)主成分所代表含義進(jìn)行業(yè)務(wù)上的解讀,因?yàn)橹鞒煞址较蛏弦话悴粫?huì)恰好某些變量權(quán)重大, 而另外一些變量權(quán)重都小,這也表現(xiàn)在主成分權(quán)重的形成的散點(diǎn)圖會(huì)偏離坐標(biāo)軸。如果可以將主成分的坐標(biāo)軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn), 使一些變量的權(quán)重的絕對(duì)值在一個(gè)主成分上達(dá)到最大,而在其他主成分上絕對(duì)值最小,這樣就達(dá)到了變量分類(lèi)的目的。對(duì) 應(yīng)地,這種維度分析方法被稱(chēng)為因子分析。 因子分析是一類(lèi)常用的連續(xù)變量降維并進(jìn)行維度分析的方法,其經(jīng)常采用主成分法作為其因子載荷矩陣的估計(jì)方法,在特 征向量方向上,使用特征值的平方根進(jìn)行加權(quán),最后通過(guò)因子旋轉(zhuǎn),使得變量的權(quán)重在不同因子上更加兩極分化。常用最 大方差法進(jìn)行因子旋轉(zhuǎn),這種方法是一種正交旋轉(zhuǎn)。
1.正交因子模型
2.因子載荷矩陣
因子載荷矩陣的估計(jì)是因子分析的主要問(wèn)題之一。模型中 L 稱(chēng)為因子載荷矩陣,因子分析是從對(duì) L 的估計(jì)入手的,可 以從兩方面來(lái)理解L 的含義:
(1)將其看做是對(duì)因子進(jìn)行線(xiàn)性組合時(shí)的系數(shù)。假設(shè)相親對(duì)象評(píng)分的因子載荷矩陣如下:
可以得到,父母評(píng)價(jià)X1=0.4*魅力F1+0.5*財(cái)務(wù)F2+0.2*責(zé)任心F3,同事評(píng)價(jià)與此類(lèi)似,是通過(guò)對(duì)三個(gè)因子進(jìn)行線(xiàn)性組 合獲得的,組合的系數(shù)就是因子載荷矩陣L。
(2)因子載荷矩陣L還可以看作是是p維空間的一組單位正交向量,把這組向量當(dāng)做坐標(biāo)軸,隱含的因子F投影到這些 向量上的值即 LF,LF與 X-μ 之間僅相差一個(gè)干擾項(xiàng)。因此如果 X 是標(biāo)準(zhǔn)化過(guò)的 (μ=0),再排除干擾項(xiàng),可以認(rèn)為在L這個(gè)參考系中表示的F與在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系(單位陣)中的表示的X是等價(jià)的。
1.因子分析的計(jì)算過(guò)程大致可分為三步
(1)估計(jì)因子載荷矩陣
(2)進(jìn)行因子旋轉(zhuǎn)
(3)估計(jì)公共因子(因子得分)
2.因子載荷矩陣的估計(jì)
在正交因子模型中,假定公共因子彼此不相關(guān)且具有單位方差,這種情況下,因子載荷矩陣及特殊因子的方差需要滿(mǎn)足下式。
有了因子載荷矩陣,可以根據(jù)其元素值的大小來(lái)判斷變量在公共因子中的負(fù)荷量大小,并以此對(duì)公共因子代表的可能含 義進(jìn)行解釋。假如對(duì)本章引例的評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)進(jìn)行因子分析,得到因子載荷矩陣如下,那怎么使用載荷矩陣的值來(lái)對(duì)公共因 子的業(yè)務(wù)含義做出解釋呢?
注:因子載荷矩陣L,代表了變量X在公共因子F上的“載荷”。
因子分析的目的不僅是要找出公共因子,更重要的是要能解釋每個(gè)公共因子的業(yè)務(wù)意義。通過(guò)上面的分析我們可以看到, 如果載荷矩陣的每列中,各元素的絕對(duì)值越向0或1“兩極分化”,那么因子負(fù)載的代表變量就會(huì)比較突出,便于我們進(jìn) 行解釋。相反,如果各元素間差別不大的話(huà),則不易進(jìn)行解釋?zhuān)缟侠?列中有不少載荷在0.5附近的中等載荷,進(jìn) 行解釋時(shí)容易導(dǎo)致公共因子的意義含糊不清。因此,為了使載荷矩陣每列元素更加向兩極轉(zhuǎn)化,需要對(duì)因子載荷矩陣施 行旋轉(zhuǎn)變換。
根據(jù)正交矩陣的性質(zhì),正交旋轉(zhuǎn)后的因子軸能保持原有的夾角不變,如下所示:
對(duì)主成分法估計(jì)的初始因子載荷進(jìn)行最大方差旋轉(zhuǎn),結(jié)果如下:
根據(jù)載荷矩陣,以父母評(píng)價(jià)X1為例,可以得到其由因子進(jìn)行綜合的模型為: 父母評(píng)價(jià)X1 = 0.897*F1– 0.0395*F2 – 0.163*F3
我們獲得了因子載荷矩陣L后,可以對(duì)因子F代表的含義進(jìn)行解釋?zhuān)蜃覨仍然是未知的,因此需要使用樣本對(duì)其進(jìn)行估 計(jì),這個(gè)估計(jì)值就是所謂因子得分。
如果我們使用主成分法估計(jì)因子載荷矩陣,那么計(jì)算因子得分時(shí),通常使用最小二乘法,即最小化
德?tīng)柗拼蚍址ǎ―elphi method)是一種通過(guò)多位專(zhuān)家的獨(dú)立的反復(fù)主觀(guān)判斷,獲得相對(duì)客觀(guān)的信息、意見(jiàn)和見(jiàn)解的打 分方法。相比較于因子分析,德?tīng)柗拼蚍址ㄝ^為主觀(guān)。
1.下列關(guān)于因子分析說(shuō)法正確的是?
A. 主成分法是常用的因子載荷矩陣的估計(jì)方法
B. 最大方差旋轉(zhuǎn)是應(yīng)用最廣泛的因子旋轉(zhuǎn)方法,這是一種斜交旋轉(zhuǎn)
C. 在選擇合適的因子數(shù)量時(shí),可以適當(dāng)放寬對(duì)于特征根大小的選擇要求,大于0.7時(shí)就可以考慮保留
D. 因子分析作為維度分析的手段,是構(gòu)造合理的聚類(lèi)模型和穩(wěn)健的分類(lèi)模型的必然步驟
答案:ACD 解析:主成分法的得分系數(shù)矩陣中,每個(gè)分量與相應(yīng)特征值的平方根進(jìn)行乘積,組成的新矩陣可以作為因子載荷矩陣的估計(jì), 這種方法稱(chēng)為主成分法,因此A正確;因子旋轉(zhuǎn)時(shí)采用最大方差旋轉(zhuǎn)是一種正交旋轉(zhuǎn),也是最常用的因子旋轉(zhuǎn)方法,因此B錯(cuò) 誤;C結(jié)論為經(jīng)驗(yàn)結(jié)論,因子分析中一般可以放寬對(duì)特征根大小的選擇要求,因此正確;聚類(lèi)模型往往要保證每個(gè)聚類(lèi)變量權(quán) 重的平衡,因此事先經(jīng)常采用因子分析對(duì)變量進(jìn)行降維,分類(lèi)模型中解釋變量的共線(xiàn)性會(huì)導(dǎo)致模型不穩(wěn)定,因此也經(jīng)常事先 對(duì)解釋變量進(jìn)行因子分析。因此D正確。
2.關(guān)于主成分與因子分析闡述正確的是?
A. 因子分析中是把因子表示成各個(gè)變量的線(xiàn)性組合
B. 主成分分析中是把主成分表示成各個(gè)變量的線(xiàn)性組合
C. 因子分析需要構(gòu)造因子模型:用潛在的假想變量和隨機(jī)影響變量的線(xiàn)性組合表示原始變量
D. 因子分析和主成分分析只有在線(xiàn)性表示上是一致的
答案:BC 解析:熟知兩種方法的定義。
3.下列關(guān)于主成分分析與因子分析的異同點(diǎn)描述正確的是?
A. 兩種分析方法都是一種降維、簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)的技術(shù)
B. 主成分分析是從顯在變量去提煉潛在主成分的過(guò)程
C. 主成分分析需要構(gòu)造分析模型而因子分析不需要構(gòu)造因子模型
D. 因子分析從本質(zhì)上是將原指標(biāo)進(jìn)行了綜合和歸納
答案:A 解析:主成分分析的本質(zhì)上一種線(xiàn)性變換,是將原指標(biāo)綜合、歸納。而因子分析是從顯在變量去提煉潛在因子的過(guò)程,是將原指標(biāo)進(jìn) 行分解、演繹。所以BD錯(cuò)誤。C項(xiàng)中正確的描述是主成分分析不需要構(gòu)造分析模型而因子分析要構(gòu)造因子模型。
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