一、基本概念

1.什么是因子分析？

主成分分析時(shí)一般情況下不能對(duì)主成分所代表含義進(jìn)行業(yè)務(wù)上的解讀，因?yàn)橹鞒煞址较蛏弦话悴粫?huì)恰好某些變量權(quán)重大， 而另外一些變量權(quán)重都小，這也表現(xiàn)在主成分權(quán)重的形成的散點(diǎn)圖會(huì)偏離坐標(biāo)軸。如果可以將主成分的坐標(biāo)軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)， 使一些變量的權(quán)重的絕對(duì)值在一個(gè)主成分上達(dá)到最大，而在其他主成分上絕對(duì)值最小，這樣就達(dá)到了變量分類的目的。對(duì) 應(yīng)地，這種維度分析方法被稱為因子分析。 因子分析是一類常用的連續(xù)變量降維并進(jìn)行維度分析的方法，其經(jīng)常采用主成分法作為其因子載荷矩陣的估計(jì)方法，在特 征向量方向上，使用特征值的平方根進(jìn)行加權(quán)，最后通過因子旋轉(zhuǎn)，使得變量的權(quán)重在不同因子上更加兩極分化。常用最 大方差法進(jìn)行因子旋轉(zhuǎn)，這種方法是一種正交旋轉(zhuǎn)。

二、模型設(shè)置

1.正交因子模型

2.因子載荷矩陣

因子載荷矩陣的估計(jì)是因子分析的主要問題之一。模型中 L 稱為因子載荷矩陣，因子分析是從對(duì) L 的估計(jì)入手的，可 以從兩方面來理解L 的含義：

（1）將其看做是對(duì)因子進(jìn)行線性組合時(shí)的系數(shù)。假設(shè)相親對(duì)象評(píng)分的因子載荷矩陣如下：

可以得到，父母評(píng)價(jià)X1=0.4*魅力F1+0.5*財(cái)務(wù)F2+0.2*責(zé)任心F3，同事評(píng)價(jià)與此類似，是通過對(duì)三個(gè)因子進(jìn)行線性組 合獲得的，組合的系數(shù)就是因子載荷矩陣L。

（2）因子載荷矩陣L還可以看作是是p維空間的一組單位正交向量，把這組向量當(dāng)做坐標(biāo)軸，隱含的因子F投影到這些 向量上的值即 LF，LF與 X-μ 之間僅相差一個(gè)干擾項(xiàng)。因此如果 X 是標(biāo)準(zhǔn)化過的 （μ=0），再排除干擾項(xiàng)，可以認(rèn)為在L這個(gè)參考系中表示的F與在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系（單位陣）中的表示的X是等價(jià)的。

三、算法解析

1.因子分析的計(jì)算過程大致可分為三步

（1）估計(jì)因子載荷矩陣

（2）進(jìn)行因子旋轉(zhuǎn)

（3）估計(jì)公共因子（因子得分）

2.因子載荷矩陣的估計(jì)

在正交因子模型中，假定公共因子彼此不相關(guān)且具有單位方差，這種情況下，因子載荷矩陣及特殊因子的方差需要滿足下式。

有了因子載荷矩陣，可以根據(jù)其元素值的大小來判斷變量在公共因子中的負(fù)荷量大小，并以此對(duì)公共因子代表的可能含 義進(jìn)行解釋。假如對(duì)本章引例的評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)進(jìn)行因子分析，得到因子載荷矩陣如下，那怎么使用載荷矩陣的值來對(duì)公共因 子的業(yè)務(wù)含義做出解釋呢？

注：因子載荷矩陣L，代表了變量X在公共因子F上的“載荷”。

因子分析的目的不僅是要找出公共因子，更重要的是要能解釋每個(gè)公共因子的業(yè)務(wù)意義。通過上面的分析我們可以看到， 如果載荷矩陣的每列中，各元素的絕對(duì)值越向0或1“兩極分化”，那么因子負(fù)載的代表變量就會(huì)比較突出，便于我們進(jìn) 行解釋。相反，如果各元素間差別不大的話，則不易進(jìn)行解釋，例如上例第2列中有不少載荷在0.5附近的中等載荷，進(jìn) 行解釋時(shí)容易導(dǎo)致公共因子的意義含糊不清。因此，為了使載荷矩陣每列元素更加向兩極轉(zhuǎn)化，需要對(duì)因子載荷矩陣施 行旋轉(zhuǎn)變換。

根據(jù)正交矩陣的性質(zhì)，正交旋轉(zhuǎn)后的因子軸能保持原有的夾角不變，如下所示：

對(duì)主成分法估計(jì)的初始因子載荷進(jìn)行最大方差旋轉(zhuǎn)，結(jié)果如下：

根據(jù)載荷矩陣，以父母評(píng)價(jià)X1為例，可以得到其由因子進(jìn)行綜合的模型為： 父母評(píng)價(jià)X1 = 0.897*F1– 0.0395*F2 – 0.163*F3

四、因子得分

我們獲得了因子載荷矩陣L后，可以對(duì)因子F代表的含義進(jìn)行解釋，但因子F仍然是未知的，因此需要使用樣本對(duì)其進(jìn)行估 計(jì)，這個(gè)估計(jì)值就是所謂因子得分。

如果我們使用主成分法估計(jì)因子載荷矩陣，那么計(jì)算因子得分時(shí)，通常使用最小二乘法，即最小化

德爾菲打分法（Delphi method）是一種通過多位專家的獨(dú)立的反復(fù)主觀判斷，獲得相對(duì)客觀的信息、意見和見解的打 分方法。相比較于因子分析，德爾菲打分法較為主觀。

五、例題精講

1.下列關(guān)于因子分析說法正確的是？

A. 主成分法是常用的因子載荷矩陣的估計(jì)方法

B. 最大方差旋轉(zhuǎn)是應(yīng)用最廣泛的因子旋轉(zhuǎn)方法，這是一種斜交旋轉(zhuǎn)

C. 在選擇合適的因子數(shù)量時(shí)，可以適當(dāng)放寬對(duì)于特征根大小的選擇要求，大于0.7時(shí)就可以考慮保留

D. 因子分析作為維度分析的手段，是構(gòu)造合理的聚類模型和穩(wěn)健的分類模型的必然步驟

答案：ACD 解析：主成分法的得分系數(shù)矩陣中，每個(gè)分量與相應(yīng)特征值的平方根進(jìn)行乘積，組成的新矩陣可以作為因子載荷矩陣的估計(jì)， 這種方法稱為主成分法，因此A正確；因子旋轉(zhuǎn)時(shí)采用最大方差旋轉(zhuǎn)是一種正交旋轉(zhuǎn)，也是最常用的因子旋轉(zhuǎn)方法，因此B錯(cuò) 誤；C結(jié)論為經(jīng)驗(yàn)結(jié)論，因子分析中一般可以放寬對(duì)特征根大小的選擇要求，因此正確；聚類模型往往要保證每個(gè)聚類變量權(quán) 重的平衡，因此事先經(jīng)常采用因子分析對(duì)變量進(jìn)行降維，分類模型中解釋變量的共線性會(huì)導(dǎo)致模型不穩(wěn)定，因此也經(jīng)常事先 對(duì)解釋變量進(jìn)行因子分析。因此D正確。

2.關(guān)于主成分與因子分析闡述正確的是？

A. 因子分析中是把因子表示成各個(gè)變量的線性組合

B. 主成分分析中是把主成分表示成各個(gè)變量的線性組合

C. 因子分析需要構(gòu)造因子模型：用潛在的假想變量和隨機(jī)影響變量的線性組合表示原始變量

D. 因子分析和主成分分析只有在線性表示上是一致的

答案：BC 解析：熟知兩種方法的定義。

3.下列關(guān)于主成分分析與因子分析的異同點(diǎn)描述正確的是？

A. 兩種分析方法都是一種降維、簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)的技術(shù)

B. 主成分分析是從顯在變量去提煉潛在主成分的過程

C. 主成分分析需要構(gòu)造分析模型而因子分析不需要構(gòu)造因子模型

D. 因子分析從本質(zhì)上是將原指標(biāo)進(jìn)行了綜合和歸納

答案：A 解析：主成分分析的本質(zhì)上一種線性變換，是將原指標(biāo)綜合、歸納。而因子分析是從顯在變量去提煉潛在因子的過程，是將原指標(biāo)進(jìn) 行分解、演繹。所以BD錯(cuò)誤。C項(xiàng)中正確的描述是主成分分析不需要構(gòu)造分析模型而因子分析要構(gòu)造因子模型。

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