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回歸系列（三）| 談?wù)劸€性回歸的殘差和預(yù)測值
2020-09-02
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作者：丁點helper 

來源：丁點幫你

前面兩篇文章，我們聚焦于線性回歸的回歸系數(shù)，理清了樣本與總體回歸方程的區(qū)別、回歸系數(shù)的最小二乘法估計等問題，今天我們重點來看看線性回歸的殘差和預(yù)測值。

回歸分析的殘差

前面我們談到過樣本回歸方程有兩種寫法：

這里，殘差的頭上也有一個“^”(hat)，意味著殘差也有總體與樣本之分。由上面殘差的計算公式也可推知這一點，因為預(yù)測值有樣本與總體之分，所以殘差也自然也是有的。

我們做線性回歸的時候一般需滿足：

1）線性（L）：因變量與自變量之間呈線性關(guān)系；

2）獨立（I）：各觀測值相互獨立；

3）正態(tài)（N）：自變量（X）固定時所對應(yīng)的因變量（Y）服從正態(tài)分布；

4）方差齊（E）：不同自變量取值下因變量的方差相等。

以上四個條件即俗稱的LINE條件。這些條件雖然是針對因變量而言的，但我們卻可以通過對殘差進行分析達到檢驗的目的。一般而言，如果殘差滿足以上四個條件，則稱線性回歸的假設(shè)條件得到滿足。

（有關(guān)回歸診斷的問題，后面我們會專門詳細介紹。）

回歸分析的預(yù)測值

看完殘差，我們再來看看預(yù)測值。這里要指出回歸方程的第三種寫法（一般對于總體回歸）：

看到 μ第一反應(yīng)應(yīng)該是均數(shù)，而且是總體均數(shù)（非樣本均數(shù)），所以 μγ在相關(guān)教材上被稱作“X取某個特定數(shù)值時，Y的條件總體均數(shù)”。

這里的“條件總體均數(shù)”估計會看暈不少人。所謂“條件”，意味著Y的取值是依據(jù)X的取值而定的，“X的取值”是確定Y的前提條件。

由此，嚴格來說， Y應(yīng)該是 μγ 的預(yù)測值。

這意味著給定X的取值，我們通過回歸獲得的是Y的一個平均值。比如前面文章中談到的教育程度（X）和收入（Y）的回歸方程：

當X=15時，可以計算得出 Y=5000，嚴格來講，這里算出的5000并非是某個人的具體收入，而是一群接受了15年教育的人，其收入的平均數(shù)。

因為即便是大家都接受了15年教育，但收入也并不完全相同，有的可能一兩萬，而有的也可能一兩千。而我們通過回歸獲得是收入（Y）在教育程度為15年（X=15）的一個平均數(shù)。

理解了這一層，再看下面這圖應(yīng)該會比較輕松。

回歸線與豎線的交點，即是回歸預(yù)測值，也是這個正態(tài)曲線的均值。均值對應(yīng)著正態(tài)分布的波峰，意味著即使這一群人的實際收入有差距，但大部分人仍然會圍繞5000上下小幅波動（當X=15時）。

這里的正態(tài)分布之所以有四個，是因為在不同X的取值水平下，Y的取值會發(fā)生（系統(tǒng)性）的變化，即Y的均值會隨著X的變化而變化。

這一點其實描述了回歸最本質(zhì)的意義，試想，如果Y的正態(tài)分布不隨X變化，那意味就X不會對Y產(chǎn)生影響，則兩者可能就不存在線性相關(guān)。

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