用 PHP 使 Web 數(shù)據(jù)分析進(jìn)入更高境界(二)

如果對所研究的總體得出結(jié)論是您做 Web 民意測驗的動機（而不是為站點訪問者提供的消遣），那么您應(yīng)該實現(xiàn)一些技術(shù)，以確保一人一票（所以，他們必須用唯一的標(biāo)識登錄才能投票），并確保隨機選擇投票者樣本（例如，隨機選擇成員的子集，然后給他們發(fā)電子郵件，鼓勵他們投票）。 最終，目標(biāo)是消除（至少減少）各種偏差，它們可能會削弱對所研究總體得出結(jié)論的能力。 檢驗假設(shè) 假設(shè)新斯科舍省啤酒消費者統(tǒng)計樣本沒有發(fā)生偏差，您現(xiàn)在能夠得出 Keiths 是最受歡迎品牌這一結(jié)論嗎？ 要回答這個問題，請考慮一個相關(guān)的問題：如果您要獲得另一個新斯科舍省啤酒消費者的樣本，您希望看到完全相同的結(jié)果嗎？實際上，您會希望不同樣本中所觀察到的結(jié)果有一定的變化。

 考慮這個預(yù)期的抽樣可變性，您可能懷疑通過隨機抽樣可變性是否比反映所研究總體中的實際差異能更好地說明觀察到的品牌偏好。在統(tǒng)計學(xué)術(shù)語中，這個抽樣可變性說明被稱為虛假設(shè)（null hypothesis）。（虛假設(shè)由符號 Ho 表示）在本例中，用公式將它表示成這樣的語句：在作出回答的所有類別中，各種回答的期望數(shù)目相同。 Ho：# Keiths = # Olands = # Schooner = # Other 如果您能夠排除虛假設(shè)，那么您在回答 Keiths 是否是最受歡迎品牌這個最初的問題上取得了一些進(jìn)展。那么，另一個可接受的假設(shè)是在所研究的總體中，各種回答所占比例不同。 這個“先檢驗虛假設(shè)”邏輯在民意測驗數(shù)據(jù)分析中的多個階段都適用。排除這一虛假設(shè)，這樣數(shù)據(jù)就不會完全不同，隨后您可以繼續(xù)檢驗一個更具體的虛假設(shè)，即 Keiths 和 Schooner，或者 Keiths 與其它所有品牌之間沒有差別。 您繼續(xù)檢驗虛假設(shè)而不是直接評估另一假設(shè)，是因為對于在虛假設(shè)條件下人們希望觀察到的事物進(jìn)行統(tǒng)計建模更容易。接下來，我將演示如何對在虛假設(shè)下所期望的事物建模，這樣我就可以將觀察結(jié)果與在虛假設(shè)條件下所期望的結(jié)果加以比較。 對虛假設(shè)建模：X 平方分布統(tǒng)計 到目前為止，您已經(jīng)使用一個報告每種回答選項頻率計數(shù)（和百分比）的表匯總了 Web 民意測驗的結(jié)果。要檢驗虛假設(shè)（表單元頻率之間不存在差別），計算每個表單元與您在虛假設(shè)條件下所期望值的總體偏差度量要容易得多。

 在這個啤酒歡迎度民意測驗的示例中，在虛假設(shè)條件下的期望頻率如下： 期望頻率 = 觀察數(shù)目 / 回答選項的數(shù)目 期望頻率 = 1000 / 4 期望頻率 = 250 要計算每個單元中回答的內(nèi)容與期望頻率相差多少的總體度量，您可以將所有的差別總計到一個反映觀察頻率與期望頻率相差多少的總體度量中：(285 - 250) + (250 - 250) + (215 - 250) + (250 - 250)。 如果您這么做，您會發(fā)現(xiàn)期望頻率是 0，因為平均值的偏差的和永遠(yuǎn)是 0。要解決這個問題，應(yīng)當(dāng)取所有差值的平方（這就是X 平方分布（Chi Square）中平方的由來）。最后，為了使各樣本（這些樣本具有不同的觀察數(shù)）的這個值具有可比性（換句話說，使它標(biāo)準(zhǔn)化），將該值除以期望頻率。因此，X 平方分布統(tǒng)計的公式如下所示（“O”表示“觀察頻率”，“E”等于“期望頻率”）： 圖 1. X 平方分布統(tǒng)計的公式 如果計算啤酒歡迎度民意測驗數(shù)據(jù)的 X 平方分布統(tǒng)計，會得到值 9.80。要檢驗虛假設(shè)，需要知道在假設(shè)存在隨機抽樣可變性的情況下獲得這么一個極限值的概率。

要得出這一概率，需要理解 X 平方分布的抽樣分布是什么樣的。 觀察 X 平方分布的抽樣分布 圖 2. X 平方分布圖 在每幅圖中，橫軸表示所得到的 X 平方分布值大?。▓D中所示范圍從 0 到 10）?？v軸顯示各 X 平方分布值的概率（或稱為出現(xiàn)的相對頻率）。 當(dāng)您研究這些 X 平方分布圖時，請注意，當(dāng)您在實驗中改變自由度（即 df）時，概率函數(shù)的形狀會改變。對于民意測驗數(shù)據(jù)的示例，自由度是這樣計算的：記下民意測驗中的回答選項（k）的數(shù)目，然后用這個值減 1（df = k - 1）。 通常，當(dāng)您在實驗中增加回答選項的數(shù)目時，獲得較大 X 平方分布值的概率會下降。這是因為當(dāng)增加回答選項時，就增加了方差值的數(shù)目 ― (觀察值 - 期望值)2 ― 您可以求它的總數(shù)。因此，當(dāng)您增加回答選項時，獲得大的 X 平方分布值的統(tǒng)計概率應(yīng)該增加，而獲得較小 X 平方分布值的概率會減少。這就是為什么 X 平方分布的抽樣分布的形狀隨著 df 值的不同而變化的原因。 

此外，要注意到通常人們對 X 平方分布結(jié)果的小數(shù)點部分不感興趣，而是對位于所獲得的值右邊曲線的總計部分感興趣。該尾數(shù)概率告訴您獲取一個象您觀察到的極限值是可能（如一個大的尾數(shù)區(qū)域）還是不可能（小的尾數(shù)區(qū)域）。（實際上，我不使用這些圖來計算尾數(shù)概率，因為我可以實現(xiàn)數(shù)學(xué)函數(shù)來返回給定 X 平方分布值的尾數(shù)概率。我在本文后面討論的 X 平方分布程序中會采用這種做法。） 要進(jìn)一步了解這些圖是如何派生出來的，可以看看如何模擬與 df = 2（它表示 k = 3）對應(yīng)的圖的內(nèi)容。想象把數(shù)字 1、2 和 3 放進(jìn)帽子里，搖一搖，選一個數(shù)字，然后記錄所選的數(shù)字作為一次嘗試。

對這個實驗進(jìn)行 300 次嘗試，然后計算 1、2 和 3 出現(xiàn)的頻率。 每次您做這個實驗時，都應(yīng)當(dāng)期望結(jié)果有稍微不同的頻率分布，這一分布反映了抽樣的可變性，同時，這個分布又不會真正偏離可能的概率范圍。 下面的 Multinomial 類實現(xiàn)了這一想法。您可以用以下值初始化該類：要做實驗的次數(shù)、每個實驗中所做嘗試的次數(shù)，以及每次試驗的選項數(shù)目。每個實驗的結(jié)果記錄在一個名為 Outcomes 的數(shù)組中。 清單 1. Multinomial 類的內(nèi)容 <?php // Multinomial.php // Copyright 2003, Paul Meagher // Distributed under LGPL  class Multinomial {  var $NExps;  var $NTrials;  var $NOptions;  var $Outcomes = array();  function Multinomial($NExps, $NTrials, $NOptions) {   $this->NExps  = $NExps;   $this->NTrials = $NTrials;   $this->NOptions = $NOptions;   for ($i=0; $i < $this->NExps; $i++) {    $this->Outcomes[$i] = $this->runExperiment();      }  }    function runExperiment() {   $Outcome = array();   for ($i = 0; $i < $this->NExps; $i++){    $choice = rand(1,$this->NOptions);    $Outcome[$choice]++;   }   return $Outcome;  }      } ?> 請注意，runExperiment 方法是該腳本中非常重要的一部分，它保證在每次實驗中所做出的選擇是隨機的，并且跟蹤到目前為止在模擬實驗中做出了哪些選擇。 

為了找到 X 平方分布統(tǒng)計的抽樣分布，只需獲取每次實驗的結(jié)果，并且計算該結(jié)果的 X 平方分布統(tǒng)計。由于隨機抽樣的可變性，因此這個 X 平方分布統(tǒng)計會隨實驗的不同而不同。