用 PHP 使 Web 數(shù)據(jù)分析進(jìn)入更高境界(二)

如果對(duì)所研究的總體得出結(jié)論是您做 Web 民意測驗(yàn)的動(dòng)機(jī)（而不是為站點(diǎn)訪問者提供的消遣），那么您應(yīng)該實(shí)現(xiàn)一些技術(shù)，以確保一人一票（所以，他們必須用唯一的標(biāo)識(shí)登錄才能投票），并確保隨機(jī)選擇投票者樣本（例如，隨機(jī)選擇成員的子集，然后給他們發(fā)電子郵件，鼓勵(lì)他們投票）。 最終，目標(biāo)是消除（至少減少）各種偏差，它們可能會(huì)削弱對(duì)所研究總體得出結(jié)論的能力。 檢驗(yàn)假設(shè) 假設(shè)新斯科舍省啤酒消費(fèi)者統(tǒng)計(jì)樣本沒有發(fā)生偏差，您現(xiàn)在能夠得出 Keiths 是最受歡迎品牌這一結(jié)論嗎？ 要回答這個(gè)問題，請考慮一個(gè)相關(guān)的問題：如果您要獲得另一個(gè)新斯科舍省啤酒消費(fèi)者的樣本，您希望看到完全相同的結(jié)果嗎？實(shí)際上，您會(huì)希望不同樣本中所觀察到的結(jié)果有一定的變化。

 考慮這個(gè)預(yù)期的抽樣可變性，您可能懷疑通過隨機(jī)抽樣可變性是否比反映所研究總體中的實(shí)際差異能更好地說明觀察到的品牌偏好。在統(tǒng)計(jì)學(xué)術(shù)語中，這個(gè)抽樣可變性說明被稱為虛假設(shè)（null hypothesis）。（虛假設(shè)由符號(hào) Ho 表示）在本例中，用公式將它表示成這樣的語句：在作出回答的所有類別中，各種回答的期望數(shù)目相同。 Ho：# Keiths = # Olands = # Schooner = # Other 如果您能夠排除虛假設(shè)，那么您在回答 Keiths 是否是最受歡迎品牌這個(gè)最初的問題上取得了一些進(jìn)展。那么，另一個(gè)可接受的假設(shè)是在所研究的總體中，各種回答所占比例不同。 這個(gè)“先檢驗(yàn)虛假設(shè)”邏輯在民意測驗(yàn)數(shù)據(jù)分析中的多個(gè)階段都適用。排除這一虛假設(shè)，這樣數(shù)據(jù)就不會(huì)完全不同，隨后您可以繼續(xù)檢驗(yàn)一個(gè)更具體的虛假設(shè)，即 Keiths 和 Schooner，或者 Keiths 與其它所有品牌之間沒有差別。 您繼續(xù)檢驗(yàn)虛假設(shè)而不是直接評(píng)估另一假設(shè)，是因?yàn)閷?duì)于在虛假設(shè)條件下人們希望觀察到的事物進(jìn)行統(tǒng)計(jì)建模更容易。接下來，我將演示如何對(duì)在虛假設(shè)下所期望的事物建模，這樣我就可以將觀察結(jié)果與在虛假設(shè)條件下所期望的結(jié)果加以比較。 對(duì)虛假設(shè)建模：X 平方分布統(tǒng)計(jì) 到目前為止，您已經(jīng)使用一個(gè)報(bào)告每種回答選項(xiàng)頻率計(jì)數(shù)（和百分比）的表匯總了 Web 民意測驗(yàn)的結(jié)果。要檢驗(yàn)虛假設(shè)（表單元頻率之間不存在差別），計(jì)算每個(gè)表單元與您在虛假設(shè)條件下所期望值的總體偏差度量要容易得多。

 在這個(gè)啤酒歡迎度民意測驗(yàn)的示例中，在虛假設(shè)條件下的期望頻率如下： 期望頻率 = 觀察數(shù)目 / 回答選項(xiàng)的數(shù)目 期望頻率 = 1000 / 4 期望頻率 = 250 要計(jì)算每個(gè)單元中回答的內(nèi)容與期望頻率相差多少的總體度量，您可以將所有的差別總計(jì)到一個(gè)反映觀察頻率與期望頻率相差多少的總體度量中：(285 - 250) + (250 - 250) + (215 - 250) + (250 - 250)。 如果您這么做，您會(huì)發(fā)現(xiàn)期望頻率是 0，因?yàn)槠骄档?a href='/map/piancha/' style='color:#000;font-size:inherit;'>偏差的和永遠(yuǎn)是 0。要解決這個(gè)問題，應(yīng)當(dāng)取所有差值的平方（這就是X 平方分布（Chi Square）中平方的由來）。最后，為了使各樣本（這些樣本具有不同的觀察數(shù)）的這個(gè)值具有可比性（換句話說，使它標(biāo)準(zhǔn)化），將該值除以期望頻率。因此，X 平方分布統(tǒng)計(jì)的公式如下所示（“O”表示“觀察頻率”，“E”等于“期望頻率”）： 圖 1. X 平方分布統(tǒng)計(jì)的公式 如果計(jì)算啤酒歡迎度民意測驗(yàn)數(shù)據(jù)的 X 平方分布統(tǒng)計(jì)，會(huì)得到值 9.80。要檢驗(yàn)虛假設(shè)，需要知道在假設(shè)存在隨機(jī)抽樣可變性的情況下獲得這么一個(gè)極限值的概率。

要得出這一概率，需要理解 X 平方分布的抽樣分布是什么樣的。 觀察 X 平方分布的抽樣分布 圖 2. X 平方分布圖 在每幅圖中，橫軸表示所得到的 X 平方分布值大?。▓D中所示范圍從 0 到 10）?？v軸顯示各 X 平方分布值的概率（或稱為出現(xiàn)的相對(duì)頻率）。 當(dāng)您研究這些 X 平方分布圖時(shí)，請注意，當(dāng)您在實(shí)驗(yàn)中改變自由度（即 df）時(shí)，概率函數(shù)的形狀會(huì)改變。對(duì)于民意測驗(yàn)數(shù)據(jù)的示例，自由度是這樣計(jì)算的：記下民意測驗(yàn)中的回答選項(xiàng)（k）的數(shù)目，然后用這個(gè)值減 1（df = k - 1）。 通常，當(dāng)您在實(shí)驗(yàn)中增加回答選項(xiàng)的數(shù)目時(shí)，獲得較大 X 平方分布值的概率會(huì)下降。這是因?yàn)楫?dāng)增加回答選項(xiàng)時(shí)，就增加了方差值的數(shù)目 ― (觀察值 - 期望值)2 ― 您可以求它的總數(shù)。因此，當(dāng)您增加回答選項(xiàng)時(shí)，獲得大的 X 平方分布值的統(tǒng)計(jì)概率應(yīng)該增加，而獲得較小 X 平方分布值的概率會(huì)減少。這就是為什么 X 平方分布的抽樣分布的形狀隨著 df 值的不同而變化的原因。 

此外，要注意到通常人們對(duì) X 平方分布結(jié)果的小數(shù)點(diǎn)部分不感興趣，而是對(duì)位于所獲得的值右邊曲線的總計(jì)部分感興趣。該尾數(shù)概率告訴您獲取一個(gè)象您觀察到的極限值是可能（如一個(gè)大的尾數(shù)區(qū)域）還是不可能（小的尾數(shù)區(qū)域）。（實(shí)際上，我不使用這些圖來計(jì)算尾數(shù)概率，因?yàn)槲铱梢詫?shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)函數(shù)來返回給定 X 平方分布值的尾數(shù)概率。我在本文后面討論的 X 平方分布程序中會(huì)采用這種做法。） 要進(jìn)一步了解這些圖是如何派生出來的，可以看看如何模擬與 df = 2（它表示 k = 3）對(duì)應(yīng)的圖的內(nèi)容。想象把數(shù)字 1、2 和 3 放進(jìn)帽子里，搖一搖，選一個(gè)數(shù)字，然后記錄所選的數(shù)字作為一次嘗試。

對(duì)這個(gè)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行 300 次嘗試，然后計(jì)算 1、2 和 3 出現(xiàn)的頻率。 每次您做這個(gè)實(shí)驗(yàn)時(shí)，都應(yīng)當(dāng)期望結(jié)果有稍微不同的頻率分布，這一分布反映了抽樣的可變性，同時(shí)，這個(gè)分布又不會(huì)真正偏離可能的概率范圍。 下面的 Multinomial 類實(shí)現(xiàn)了這一想法。您可以用以下值初始化該類：要做實(shí)驗(yàn)的次數(shù)、每個(gè)實(shí)驗(yàn)中所做嘗試的次數(shù)，以及每次試驗(yàn)的選項(xiàng)數(shù)目。每個(gè)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果記錄在一個(gè)名為 Outcomes 的數(shù)組中。 清單 1. Multinomial 類的內(nèi)容 <?php // Multinomial.php // Copyright 2003, Paul Meagher // Distributed under LGPL  class Multinomial {  var $NExps;  var $NTrials;  var $NOptions;  var $Outcomes = array();  function Multinomial($NExps, $NTrials, $NOptions) {   $this->NExps  = $NExps;   $this->NTrials = $NTrials;   $this->NOptions = $NOptions;   for ($i=0; $i < $this->NExps; $i++) {    $this->Outcomes[$i] = $this->runExperiment();      }  }    function runExperiment() {   $Outcome = array();   for ($i = 0; $i < $this->NExps; $i++){    $choice = rand(1,$this->NOptions);    $Outcome[$choice]++;   }   return $Outcome;  }      } ?> 請注意，runExperiment 方法是該腳本中非常重要的一部分，它保證在每次實(shí)驗(yàn)中所做出的選擇是隨機(jī)的，并且跟蹤到目前為止在模擬實(shí)驗(yàn)中做出了哪些選擇。 

為了找到 X 平方分布統(tǒng)計(jì)的抽樣分布，只需獲取每次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，并且計(jì)算該結(jié)果的 X 平方分布統(tǒng)計(jì)。由于隨機(jī)抽樣的可變性，因此這個(gè) X 平方分布統(tǒng)計(jì)會(huì)隨實(shí)驗(yàn)的不同而不同。