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【從零開始學(xué)統(tǒng)計(jì)】5.假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)切┦?/h5>
2014-07-04
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1、什么是假設(shè)檢驗(yàn)？
       個人理解，假設(shè)檢驗(yàn)就是利用反證法和小概率事件對原假設(shè)（Null Hypothesis）和備選假設(shè)（Alternative Hypothesis）進(jìn)行選擇。首先，假設(shè)原假設(shè)成立，那么就可以利用原假設(shè)的一些條件，如統(tǒng)計(jì)量的概率分布。然后，選定顯著性水平α和對應(yīng)的拒絕域（一個區(qū)間），一般選擇α= 5%或α= 1%。接下來，根據(jù)樣本和假設(shè)的統(tǒng)計(jì)量，計(jì)算P值（P Value）。如果P值對應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量在顯著性水平以內(nèi)，那么就拒原假設(shè)。直觀的理解，因?yàn)棣帘容^小，屬于小概率事件，一般不可能發(fā)生，但是現(xiàn)在卻發(fā)生了，那么原假設(shè)有問題，所以拒絕原假設(shè)，接受備選假設(shè)。

2、為什么要做假設(shè)檢驗(yàn)
       假設(shè)檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)中常用的手段，大家比較熟悉的t檢驗(yàn)、方差分析、卡方檢驗(yàn)等都是假設(shè)檢驗(yàn)的范疇。為什么要做假設(shè)檢驗(yàn)呢？實(shí)際上原因就在于抽樣的問題。如果我們不抽樣，直接比較總體，那就無需做假設(shè)檢驗(yàn)。假設(shè)檢驗(yàn)都是對樣本做的，目的是通過樣本推理總體。
       例如，想比較兩個班的學(xué)生身高是否有差異，有兩個方法：一是把兩個班級的學(xué)生都測量身高，然后比較兩個班的均數(shù)。二是從每個班抽樣一部分學(xué)生測量身高，然后比較抽樣的兩個樣本均數(shù)，推理是否兩個班的身高不同。
       第一種方法當(dāng)然最理想，直接就知道是不是有差異，但是也有一個問題，如果不是比較2個班，而是兩個省，那測量起來就有點(diǎn)麻煩。所以在很多情況下第一種方法難以實(shí)施。
       第二種方法實(shí)際上就是假設(shè)檢驗(yàn)的思想，通過樣本推理總體。比如，兩個班均100人，從每個班各抽樣30人測量身高，然后比較他們的身高是否有差異。
       但是，這也有個問題，那就是，我每個班選擇的30人是否代表了這個班的身高（也正是前面所說抽樣誤差的問題）。
       如果最終比較這兩個班的60人，發(fā)現(xiàn)身高不同，我是否可以通過這60人的結(jié)果來說這2個班的身高就不同呢？這就需要一個概率的問題，也就是我根據(jù)現(xiàn)有的數(shù)據(jù)（也就是這60人）作出的推斷有多大的可信程度？如果有95%以上的把握認(rèn)為我的結(jié)果是可靠的，那我就可以比較放心地說，這兩個班級的學(xué)生身高就是不同。如果我的把握度沒有這么高，我是否能說的理直氣壯呢？到底多高才算高呢？所以就需要一個標(biāo)準(zhǔn)，目前國際上公認(rèn)的標(biāo)準(zhǔn)就是95%。95%只是一個標(biāo)準(zhǔn)，并不是說我非要P<0.05才算結(jié)果理想，P<0.05表示我的把握度大于95%，但是如果P=0.06，那我的把握度=94%難道就不行嗎？所以現(xiàn)在的文章要求列出確切的P值，結(jié)論是不是可靠，審稿人看看P值到底有多大，心里自然有數(shù)。如果單純寫個P>0.05，那P=0.06也是大于0.05，P=0.96也是大于0.05，但是之間的差距那是一目了然。所以，建議還是寫上具體的P值是最好。


需要指出的是，無論是否拒絕原假設(shè)，都不能保證100%正確，只能在一定程度上估計(jì)這件事情可能性。而且檢驗(yàn)結(jié)果很大程度上取決于樣本，所以一旦樣本出現(xiàn)偏倚（Biased），會直接影響檢驗(yàn)結(jié)果。


3、假設(shè)檢驗(yàn)，形式化的可以總結(jié)為以下6步：
  • 確定原假設(shè)H0和備選假設(shè)H1
  • 根據(jù)H0，確定統(tǒng)計(jì)量的概率分布和相關(guān)參數(shù)
  • 確定顯著性水平α和拒絕域
  • 根據(jù)步驟2的參數(shù)，求出P值
  • 查看P值是否位于拒絕域以內(nèi)
  • 做出判斷，如果P值在拒絕域以內(nèi)，那么拒絕H0接受H1。否則接受H0拒絕H1。

下面的圖是雙側(cè)和單側(cè)檢驗(yàn)的拒絕域：

1.gif

上面提到，假設(shè)檢驗(yàn)不會100%確保檢驗(yàn)結(jié)果正確，會出現(xiàn)上面的兩類錯誤：
第一類錯誤：錯誤的拒絕原假設(shè)。原假設(shè)正確，但是卻錯誤的拒絕了，發(fā)生此事件的概率為α，也就是顯著性水平。所以顯著性水平越高，越容易發(fā)生。
第二類錯誤：錯誤的接受原假設(shè)。原假設(shè)錯誤，但是卻接受了原假設(shè)。發(fā)生此事件的概率需要根據(jù)統(tǒng)計(jì)量的分布，和被選項(xiàng)假設(shè)具有具體值來確定，這里先略過（《Head First Statistics》假設(shè)檢驗(yàn)這一章中舉了一個例子描述如何求解其概率）。

  • 同時引申出一個問題如何選擇顯著性水平α：
       顯著性水平α一般為0.05，但是根據(jù)需要可以設(shè)為0.1或者0.01。當(dāng)α較大時，第一類錯誤的概率增大，第二類錯誤的概率減少；α較小時，則相反。下面舉幾個例子：
       例1 一個汽車制造商正在考核新零件，該零件對車輛安全至關(guān)重要。目前正在抽樣檢測，你覺得α應(yīng)該如何指定。
解答H0：新配件與原始配件的安全性能相同。H1：新配件比原始配件更安全。由于此配件關(guān)系用戶聲明安全，所以需要盡量使用較安全的配件，拒絕假設(shè)H0，那么可以設(shè)將α設(shè)置高一點(diǎn)，比如 0.1。
       例2 一個機(jī)器中，有一個配件，替換成本十分高，但是如果該配件損壞了，對機(jī)器影響不大，請問顯著性水平應(yīng)該如何選取。
解答 H0：配件正常工作。H1：配件損壞。由于替換成本較高，所以需要確保零配件的確損壞才能替換，可以將α設(shè)置較小，比如0.01。


再往外說點(diǎn)，來說說區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)的關(guān)系（前面不是剛弄過置信度和最小二乘估計(jì)么，略微結(jié)合一下）
主要區(qū)別：
區(qū)間估計(jì)通常求得的是一樣本估計(jì)值為中心的雙側(cè)置信區(qū)間，而假設(shè)檢驗(yàn)以假設(shè)總體參數(shù)值為基準(zhǔn)，不僅有雙側(cè)檢驗(yàn)也有單側(cè)檢驗(yàn)
區(qū)間估計(jì)立足于大概率，通常以較大的置信水平（1-α）去保證總體參數(shù)的置信區(qū)間。而假設(shè)檢驗(yàn)立足于小概率，通常是給定很小的顯著性水平（α）去檢驗(yàn)對總體參數(shù)的先驗(yàn)假設(shè)是否成立。
那些剪不斷的聯(lián)系：
兩者的推斷結(jié)果都有一定的可信程度也有相應(yīng)的風(fēng)險；
對同一問題的參數(shù)進(jìn)行推斷，使用同一種樣本，同一統(tǒng)計(jì)量和分布，所以兩者可以互相轉(zhuǎn)換。也就是說區(qū)間估計(jì)問題可以轉(zhuǎn)換成假設(shè)問題，區(qū)間估計(jì)中的置信區(qū)間對應(yīng)假設(shè)檢驗(yàn)中的接受域，置信區(qū)間以外的就是其拒絕域。

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