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【從零開始學(xué)統(tǒng)計】4.帶你認(rèn)識最小二乘法
2014-07-04
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在估計方法中，最大似然和最小二乘是經(jīng)常被使用到的，其中的最小二乘更是回歸的基礎(chǔ)。樓主在剛接觸最小二乘的時候曾經(jīng)想過一個問題，為什么非要用平方？絕對值不行么？……很多問題縈繞腦中。最近借著做專題的時間，抽空又看了一下這個知識點，略微整理了一下分享給大家：

1、什么是最小二乘思想？
簡單地說，最小二乘的思想就是要使得觀測點和估計點的距離的平方和達(dá)到最小.這里的“二乘”指的是用平方來度量觀測點與估計點的遠(yuǎn)近（在古漢語中“平方”稱為“二乘”），“最小”指的是參數(shù)的估計值要保證各個觀測點與估計點的距離的平方和達(dá)到最小。從這個上也可以看出，最小二乘也可用于擬合數(shù)據(jù)模型。

這當(dāng)中涉及到如下問題：
①觀測點和距離點的距離：這個距離也被稱為誤差。既然要估計，總希望找到最好的估計值，那么誤差越小越好。
②為什么是距離的平方和：距離的平方和也就是誤差的平方和，既然誤差越小越好，那是否可以用絕對值來代替？；樓主覺得用絕對值代替的這個想法是可以的，只是在之后的運算求值時處理比較復(fù)雜。（樓主隱約記得取絕對值最小的方法好像是最小一乘法）
③為什么平方求解方便呢？那就要從公式講起了（樓主說好不上復(fù)雜公式推導(dǎo)的，好吧，這里就簡單描述一下吧……）
設(shè)擬合直線是 1.jpg ,距離（或誤差）為 2.jpg ，那么最小二乘的思想就是讓等式3.jpg 具有最小值。那么這就需要做求偏導(dǎo)了。（這也就是為什么最小二乘有個要求就是數(shù)據(jù)需要具有二階矩），大致推導(dǎo)過程如下：
4.jpg 
整理后對方程組求解
5.jpg 
2014-5-12 12:01:51 上傳
下載附件 (4.98 KB)

最終解得 6.jpg 

2、什么時候用最小二乘法
在研究兩個變量之間的關(guān)系時，可以用回歸分析的方法進行分析。當(dāng)確定了描述兩個變量之間的回歸模型后，就可以使用最小二乘法估計模型中的參數(shù)，進而建立經(jīng)驗方程。例如，在現(xiàn)實世界中，這樣的情形大量存在著：兩個變量X和Y（比如身高和體重）彼此有一些依賴關(guān)系，由X可以部分地決定Y的值，但這種關(guān)系又是不確定的.人們常常借助統(tǒng)計學(xué)中的回歸模型來尋找兩個變量之間的關(guān)系，而模型的建立當(dāng)然是依據(jù)觀測數(shù)據(jù).首先通過試驗或調(diào)查獲得x和Y的一組對應(yīng)關(guān)系(x1，Y1)，(x2，Y2)，…，(xn，Yn)，然后回答下列5個問題：
1. 這兩個變量是否有關(guān)系？(畫出散點圖，作直觀判斷)
2. 這些關(guān)系是否可以近似用函數(shù)模型來描述？（利用散點圖、已積累的函數(shù)曲線形狀的知識和試驗數(shù)據(jù)，選擇適當(dāng)?shù)幕貧w模型，如一元線性模型，二次函數(shù)模型等）
3. 建立回歸模型.
4. 對模型中的參數(shù)進行估計，最小二乘法是這些參數(shù)的一種常用估計方法.
5. 討論模型的擬合效果.

當(dāng)然參數(shù)的估計還有很多，最小二乘的運用樓主覺得在線性模型中還是非常便捷和實用的。當(dāng)然，他也有很多衍生出的其他方法，咱就不細(xì)說。

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