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【從零開(kāi)始學(xué)統(tǒng)計(jì)】4.帶你認(rèn)識(shí)最小二乘法
2014-07-04
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在估計(jì)方法中，最大似然和最小二乘是經(jīng)常被使用到的，其中的最小二乘更是回歸的基礎(chǔ)。樓主在剛接觸最小二乘的時(shí)候曾經(jīng)想過(guò)一個(gè)問(wèn)題，為什么非要用平方？絕對(duì)值不行么？……很多問(wèn)題縈繞腦中。最近借著做專題的時(shí)間，抽空又看了一下這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，略微整理了一下分享給大家：

1、什么是最小二乘思想？
簡(jiǎn)單地說(shuō)，最小二乘的思想就是要使得觀測(cè)點(diǎn)和估計(jì)點(diǎn)的距離的平方和達(dá)到最小.這里的“二乘”指的是用平方來(lái)度量觀測(cè)點(diǎn)與估計(jì)點(diǎn)的遠(yuǎn)近（在古漢語(yǔ)中“平方”稱為“二乘”），“最小”指的是參數(shù)的估計(jì)值要保證各個(gè)觀測(cè)點(diǎn)與估計(jì)點(diǎn)的距離的平方和達(dá)到最小。從這個(gè)上也可以看出，最小二乘也可用于擬合數(shù)據(jù)模型。

這當(dāng)中涉及到如下問(wèn)題：
①觀測(cè)點(diǎn)和距離點(diǎn)的距離：這個(gè)距離也被稱為誤差。既然要估計(jì)，總希望找到最好的估計(jì)值，那么誤差越小越好。
②為什么是距離的平方和：距離的平方和也就是誤差的平方和，既然誤差越小越好，那是否可以用絕對(duì)值來(lái)代替？；樓主覺(jué)得用絕對(duì)值代替的這個(gè)想法是可以的，只是在之后的運(yùn)算求值時(shí)處理比較復(fù)雜。（樓主隱約記得取絕對(duì)值最小的方法好像是最小一乘法）
③為什么平方求解方便呢？那就要從公式講起了（樓主說(shuō)好不上復(fù)雜公式推導(dǎo)的，好吧，這里就簡(jiǎn)單描述一下吧……）
設(shè)擬合直線是 1.jpg ,距離（或誤差）為 2.jpg ，那么最小二乘的思想就是讓等式3.jpg 具有最小值。那么這就需要做求偏導(dǎo)了。（這也就是為什么最小二乘有個(gè)要求就是數(shù)據(jù)需要具有二階矩），大致推導(dǎo)過(guò)程如下：
4.jpg 
整理后對(duì)方程組求解
5.jpg 
2014-5-12 12:01:51 上傳
下載附件 (4.98 KB)

最終解得 6.jpg 

2、什么時(shí)候用最小二乘法
在研究?jī)蓚€(gè)變量之間的關(guān)系時(shí)，可以用回歸分析的方法進(jìn)行分析。當(dāng)確定了描述兩個(gè)變量之間的回歸模型后，就可以使用最小二乘法估計(jì)模型中的參數(shù)，進(jìn)而建立經(jīng)驗(yàn)方程。例如，在現(xiàn)實(shí)世界中，這樣的情形大量存在著：兩個(gè)變量X和Y（比如身高和體重）彼此有一些依賴關(guān)系，由X可以部分地決定Y的值，但這種關(guān)系又是不確定的.人們常常借助統(tǒng)計(jì)學(xué)中的回歸模型來(lái)尋找兩個(gè)變量之間的關(guān)系，而模型的建立當(dāng)然是依據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù).首先通過(guò)試驗(yàn)或調(diào)查獲得x和Y的一組對(duì)應(yīng)關(guān)系(x1，Y1)，(x2，Y2)，…，(xn，Yn)，然后回答下列5個(gè)問(wèn)題：
1. 這兩個(gè)變量是否有關(guān)系？(畫出散點(diǎn)圖，作直觀判斷)
2. 這些關(guān)系是否可以近似用函數(shù)模型來(lái)描述？（利用散點(diǎn)圖、已積累的函數(shù)曲線形狀的知識(shí)和試驗(yàn)數(shù)據(jù)，選擇適當(dāng)?shù)幕貧w模型，如一元線性模型，二次函數(shù)模型等）
3. 建立回歸模型.
4. 對(duì)模型中的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，最小二乘法是這些參數(shù)的一種常用估計(jì)方法.
5. 討論模型的擬合效果.

當(dāng)然參數(shù)的估計(jì)還有很多，最小二乘的運(yùn)用樓主覺(jué)得在線性模型中還是非常便捷和實(shí)用的。當(dāng)然，他也有很多衍生出的其他方法，咱就不細(xì)說(shuō)。

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