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【從零開(kāi)始學(xué)統(tǒng)計(jì)】3.置信度置信的到底是什么？
2014-07-04
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前兩期樓主分別作了均值和擬合優(yōu)度的專(zhuān)題，今天就來(lái)說(shuō)說(shuō)置信度。

要說(shuō)置信度，首先老師肯定會(huì)在此前已經(jīng)介紹過(guò)了點(diǎn)估計(jì)了，那么引入這個(gè)概念的目的自然是為了配合一個(gè)叫做區(qū)間估計(jì)，估算置信區(qū)間。通常都是用點(diǎn)估計(jì)（點(diǎn)估計(jì)一般就是用概率論導(dǎo)出的一個(gè)估計(jì)值）算出來(lái)的數(shù)據(jù)加上一個(gè)變動(dòng)幅度形成一個(gè)區(qū)間。在這個(gè)變動(dòng)幅度里，涉及到一個(gè)參數(shù)就是置信度。
  • 首先我們要問(wèn)為什么要用區(qū)間估計(jì)？
咱來(lái)看個(gè)例子：你打槍打10次，你可以得到一個(gè)平均值，比如是8.那么我問(wèn)你，總體的期望是不是就是8呢？你要說(shuō)是，那就太草率了吧，因?yàn)槟阍俅?0次可能就是7了，那么總體的期望就變成7了嘛？當(dāng)然不是，總體的期望是客觀(guān)存在不會(huì)變的。實(shí)際上均值等于期望的概率是0啊，所以說(shuō)，以點(diǎn)估點(diǎn)是不準(zhǔn)確的。但是既然樣本是從總體中抽出來(lái)的，那么樣本的均值和總體的期望應(yīng)該差的不遠(yuǎn)吧？你射擊的均值是8，總體的期望總不能是1吧？所以，你若換句話(huà)說(shuō)打槍的平均環(huán)數(shù)是[6,8]，那么相信的人就會(huì)很多了。可見(jiàn)，雖然擴(kuò)大了總體均值的取值范圍，但是可信度明顯高了。

當(dāng)然你不能簡(jiǎn)單無(wú)限度擴(kuò)大區(qū)間范圍，畢竟統(tǒng)計(jì)也要講究一定的精度。所以咱就有了置信度，也就是說(shuō)，你測(cè)得的均值，和總體真實(shí)情況的差距小于這個(gè)給定的值的概率，說(shuō)你測(cè)得的均值就是總體期望是很草率的，但是說(shuō)，我有95%的把握認(rèn)為我測(cè)得的均值，非常接近總體的期望了，聽(tīng)起來(lái)就靠譜的多。
  • 平時(shí)我們常說(shuō)的95%置信度到底是什么意思呢？
要理解置信度，就要理解好置信區(qū)間。要理解置信區(qū)間，就要從統(tǒng)計(jì)學(xué)最基本最核心的思想去思考，那就是用樣本估計(jì)總體。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，非常容易把概念模糊化，很容易把95%置信區(qū)間理解成為在這個(gè)區(qū)間內(nèi)有95%的概率包含真值。
但是這里有兩個(gè)容易混淆的地方
1.真值指得是樣本參數(shù)還是總體參數(shù)？這個(gè)問(wèn)題的答案是總體參數(shù)，我們?nèi)〉臄?shù)據(jù)是樣本數(shù)據(jù)，點(diǎn)估計(jì)是樣本參數(shù)的真實(shí)值，我們要估計(jì)總體參數(shù)。
2.95%的概率，變動(dòng)的是誰(shuí)？這里95%的概率，變動(dòng)的是置信區(qū)間。
錯(cuò)誤理解：假如有100個(gè)考生，100個(gè)學(xué)生中有95個(gè)考分落在（70,80）這個(gè)區(qū)間內(nèi)。這就是95%置信度。
這是非常錯(cuò)誤的理解，樣本與總體的關(guān)系沒(méi)有思考清楚。置信區(qū)間是估測(cè)總體參數(shù)的真值，這個(gè)值只有一個(gè)，且不會(huì)變動(dòng)。
那正確的應(yīng)該怎么理解呢？
樣本數(shù)目不變的情況下，做一百次試驗(yàn)，有95個(gè)置信區(qū)間包含了總體真值。置信度為95%。換言之，若擴(kuò)大樣本容量，考100次試，這100名學(xué)生的成績(jī)組成改的區(qū)間有95次包含了總體真正的均值，那這才是95%置信度。說(shuō)白了，我們有95%的把握說(shuō)總體的真值在這個(gè)區(qū)間內(nèi)。
  • 那么還有一個(gè)問(wèn)題，是不是置信度越高越好？
這個(gè)問(wèn)題就要看你需要統(tǒng)計(jì)的是什么？經(jīng)濟(jì)效益是什么？通常情況下，95%被作為常用的置信度，原理就在于3西格瑪控制（在一些嚴(yán)格的領(lǐng)域甚至?xí)玫?西格瑪），此時(shí)已經(jīng)有很高的置信度了，那在往上去，隨著置信度的上升，置信區(qū)間的跨度也就越大，對(duì)參數(shù)估計(jì)的精度必定降低。點(diǎn)估計(jì)就一個(gè)值，精度高，但置信度則低，精度與置信度相互的取舍則要全由分析者自行選擇了。

樓主tips:置信度這個(gè)問(wèn)題，其實(shí)核心問(wèn)題就是要理解我們的核心思想是用樣本估計(jì)總體，保證的是總體參數(shù)的精確度，這個(gè)區(qū)間是為總體設(shè)計(jì)的即可。


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