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【從零開始學(xué)統(tǒng)計】2.可決系數(shù)真的決定一切么？
2014-07-04
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       前幾天逛知乎的時候看到一個帖子，學(xué)計量的和學(xué)統(tǒng)計的在爭論關(guān)于anova里的可決系數(shù)的問題。突然萌生了一個念頭，想聽聽大家對這個R2是怎么理解的。（引用的知乎鏈接，大家可以前去看看http://www.zhihu.com/question/22935472；當(dāng)然本壇里也展開過一個關(guān)于計量和統(tǒng)計兩學(xué)科區(qū)別的討論，大家也可看看http://bbs.pinggu.org/thread-2930588-1-1.html）

       那我先來說說我對這個R2的理解吧：

       R2是什么？它就是可決系數(shù)（coefficient of determination），也被稱為擬合優(yōu)度。說到擬合優(yōu)度一般理解為回歸直線與觀測值的一個擬合程度，請看圖：

1.png

       如果樣本回歸線對樣本觀測值擬合程度越好，各樣本觀測點與回歸線靠得越近，由樣本回歸做出解釋的離差平方和與總離差平方和越相近；反之，擬合程度越差，相差越大。（說的更簡單點，R2越大，自變量對因變量的解釋程度越高,自變量引起的變動占總變動的百分比高。觀察點在回歸直線附近越密集）。既然是平方那么可決系數(shù)的取值范圍在0到1之間，它是一個非負統(tǒng)計量。試想如果所有的點都在直線上，一點也沒有離開直線，那就說明擬合度很好，是1。就是能夠完全解釋。

       而現(xiàn)實情況肯定沒有這樣的。就比如你的努力程度和歷次考試成績，雖然越努力成績越好，但是你不能保證自己沒有失誤啊。這個失誤就是殘差，但是失誤肯定不是主要部分，所以R2還是很大的。

       R2沒有很明確的界限，說什么就是好什么就是不好，有的時候時間序列的擬合程度都不是很好，甚至只有0.3到0.4，所以要綜合來看，沒有很確定的界限。例如，考慮這樣一個例子。在冬季的幾個月里，人們經(jīng)常通過燃油取暖，因為取暖用的燃油在冬季的銷售額比在夏天的銷售額要高。同樣，滑雪設(shè)備的銷售額在冬季也比夏天要高。事實上，如果我們打算運行一個以滑雪設(shè)備的銷售額作為自變量x以及取暖用的燃油的銷售額作為因變量y的回歸模型，那么產(chǎn)生的模型將是很好的模型，并具有很高的R2數(shù)值。不過，我們知道滑雪設(shè)備的銷售額并沒有造成人們購買更多的家用取暖的燃油。

       當(dāng)然還有其他情況，比如當(dāng)回歸直線是平行于x軸，并且與原始數(shù)據(jù)的散點圖擬合度也非常高，但R2=0.說明一個低的R2數(shù)值，并不一定意味著回歸模型缺乏可信度。（極端舉例）又或者，一個高的R2數(shù)值但原始數(shù)據(jù)的散點圖表明因變量y的觀測值用一條曲線擬合比用一條直線擬合的效果可能會更好。（這是我們也會考慮參考其他擬合指標(biāo)，比如AIC準(zhǔn)則……）

       So，樓主覺得R2數(shù)值有時會給出有關(guān)線性回歸模型對數(shù)據(jù)擬合程度好的誤導(dǎo)信息。一般說來，較高的R2數(shù)值比較低的R2數(shù)值要好。接受回歸模型足夠好的R2數(shù)值的決定因素主要取決于這個模型的應(yīng)用目的以及經(jīng)驗和良好的管理知識。
  
       在擴展一下，擬合優(yōu)度檢驗和F檢驗有區(qū)別嗎？
       還是有區(qū)別的，擬合優(yōu)度是指這個模型對于數(shù)據(jù)來說，解釋變量能夠解釋被解釋變量的程度，F(xiàn)說明的是整個模型中所有的解釋變量的顯著程度，和T值是對應(yīng)的。

       在問，那R2與R的關(guān)系呢？
       撇開平方不說，R指的是線性相關(guān)系數(shù)，也就是說因變量和自變量之間的線性相關(guān)程度（注意強調(diào)的是線性?。?，如果兩者關(guān)系很大，那么自然用他們做出的模型當(dāng)然比較好用自變量解釋因變量。（當(dāng)然這又要引申出多重共線的問題了……這就不深究了）

       樓主也希望聽聽大家的見解，特別是看到知乎上的那位學(xué)計量的高票答案，有些確實說的有道理，但可能作為學(xué)統(tǒng)計的我，確實有些地方也不太能完全贊同吧，不知大家怎樣覺得？

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