教程貼：如何用方程式寫(xiě)春聯(lián)_數(shù)據(jù)分析師

如何在春節(jié)坐在電腦前也很有過(guò)年氣氛？尤其是面對(duì)著家里還是 Windows XP 的桌電。我翻到了一篇文章，介紹 GrafEq 這套付費(fèi)但可無(wú)限試用且只支持到 Windows XP 和 OS 9.2 的古董級(jí)數(shù)學(xué)繪圖軟件。

我們這就拿它來(lái)做一點(diǎn)實(shí)驗(yàn)。

首先打入 x^2+y^2<25。會(huì)看到一個(gè)半徑為 5 的圓

若想要這個(gè)圓方一點(diǎn)，可以打 x^6+y^6<25，不過(guò)這就太方了

x^4+y^4<25 倒是剛剛好

現(xiàn)在我想在它身上挖個(gè)洞，于是想到要在不等式左邊減掉一個(gè)在原點(diǎn)值很大、但是出原點(diǎn)就迅速變小的函數(shù)。

例如 1/(x^4+y^4) 就是這樣的函數(shù)，它在 x， y 很小的時(shí)候有很小的分母、所以函數(shù)值很大，但是 x， y 變大之后四次方會(huì)讓分母變大得很快，所以函數(shù)值就變得微不足道地小。

現(xiàn)在 x^4+y^4+1/(x^4+y^4)<25 的圖案長(zhǎng)這樣。

能不能讓洞大一些呢？當(dāng)然可以，把分子的 1 改成 100 就好

x^4+y^4+100/(x^4+y^4)<25 的圖案長(zhǎng)這樣

能不能讓洞只出現(xiàn)在上半部呢？當(dāng)然也可以，將分母的 y 用 2y-2 取代

現(xiàn)在的式子是：x^4+y^4+100/(x^4+ (2y-2)^4)<25

不過(guò)看起來(lái)有點(diǎn)勉強(qiáng)啊，畢竟 100/(x^4+ (2y-2)^4) 在左上角和右上角的地方降得不夠快，和正在變大的 x^4+y^4 相加之后，函數(shù)值比 25 小的地方顯得有點(diǎn)細(xì)（快不見(jiàn)得右上角和左上角）。我們可以從下面這張圖看到在該函數(shù)在 x=y 這條線(xiàn)上的行為，因?yàn)槲覀円囱刂?45 度角這條線(xiàn)上的筆畫(huà)粗細(xì)。

我們現(xiàn)在考慮的是 f (x，y)= x^4+y^4+100/(x^4+ (2y-2)^4) 這個(gè)函數(shù)，要把它畫(huà)出來(lái)需要三維空間，這里卻只有兩維，不得已只好取函數(shù)在 x=y 這條線(xiàn)上面的樣子，于是上圖的縱坐標(biāo)代表 f(x，y)= x^4+y^4+100/(x^4+ (2y-2)^4) 函數(shù)的值，橫坐標(biāo)則是 x=y 這條線(xiàn)，往左是原圖的左下角往右是原圖的右上角，至于淺淺那條橫線(xiàn)代表不等號(hào)右邊的 25，于是在該線(xiàn)下方的函數(shù)值對(duì)應(yīng)到被涂黑的部分，該線(xiàn)上方的函數(shù)值對(duì)應(yīng)到留白的部分。

當(dāng)然，縮放過(guò)了，你知道如何用 GrafEq 畫(huà)出這張圖嗎？

我的答案是

(-5y+2(x/4)^4+100/((x/4)^4+ (2(x/4)-2)^4))(-5y+25)=0

為了讓那個(gè)地方粗一些，我們決定在分母動(dòng)手腳，讓它在左上角和右上角不要增加太快，方法是讓 y=1 附近的分母變大，例如把分母 x^4+ (2y-2)^4 再加上 (2y-1)^2，這會(huì)讓 x=y 上的行為變成

(-5y+2(x/4)^4+100/((x/4)^4+ (2(x/4)-2)^4+ (2(x/4)-1)^2))(-5y+25)=0

而 x^4+y^4+100/(x^4+ (2y-2)^4+ (2y-1)^2)<25 則變成

可愛(ài)多了，忍不住想再戳第二個(gè)洞

x^4+y^4+100/(x^4+ (2y-2)^4+ (2y-1)^2) +100/(x^4+ (2y+2)^4+ (2y+1)^2)<25

一個(gè)「日字」就完成了

可以再畫(huà)其他筆畫(huà)嗎？沒(méi)有問(wèn)題，只要調(diào)整 x， y 前面的系數(shù)與常數(shù)，我們可以在任何位置畫(huà)上任意長(zhǎng)度
例如 -1/((y+3)^4+ (x/15)^4)-1/((y+4)^4+ (x/15)^4)-1/((y+5)^4+ (x/15)^4)<-100

（知道這三條分別對(duì)應(yīng)到哪一項(xiàng)嗎？）

將上式的左邊放到還沒(méi)挖洞的函數(shù)里
x^4+y^4-1/((y+3)^4+ (x/15)^4)-1/((y+4)^4+ (x/15)^4)-1/((y+5)^4+ (x/15)^4)<25
會(huì)發(fā)現(xiàn)這三條的粗細(xì)和長(zhǎng)度都變了，離原點(diǎn)越遠(yuǎn)也就是越下面的筆畫(huà)就會(huì)越細(xì)。這是因?yàn)殡x原點(diǎn)越遠(yuǎn)的話(huà)x^4+y^4 就越大，所以扣掉 XX 分之一之后就越容易超出 25（不等式右式給的邊界），筆畫(huà)就縮水了。

話(huà)又說(shuō)回來(lái)，這像不像旭日東升呢？

還是說(shuō)象形字看起來(lái)比較有感覺(jué)？

x^4+y^4+100/(x^4+ (2y-2)^4+ (2y-1)^2) +100/(x^4+ (2y+2)^4+ (2y+1)^2)-1/((y+3)^4+ (x/15)^4)-1/((y+4)^4+ (x/15)^4)-1/((y+5)^4+ (x/15)^4)<25

抑或是 x=0 的截面比較有啟發(fā)性？

(-50x+y^4+100/((2y-2)^4+ (2y-1)^2) +100/((2y+2)^4+

(2y+1)^2)-1/((y+3)^4)-1/((y+4)^4)-1/((y+5)^4))(-50x+25)=0

下一題：要怎么畫(huà)出斜的筆畫(huà)？畢竟調(diào)常數(shù)只會(huì)平移圖形，調(diào)整系數(shù)頂多讓矮胖的變瘦高的，那要怎么調(diào)整「角度」呢？

這就要用到所謂「線(xiàn)性變換」的概念了，例如將

-1/(4(x+4)^4+ ((y+1)/5)^4)<-100

套用變換「 x ? x+y 、 y ? x-y 」會(huì)得到

-1/(4(x+y+4)^4+ ((x-y+1)/5)^4)<-100

那么再下一個(gè)問(wèn)題：要怎么畫(huà)出彎的筆畫(huà)？

這可是再多線(xiàn)性變換都做不到的事，窮途末路的我們回想起圓弧是彎的 (x-19)^2+ (y+12)^2=400 ，所以我們只要設(shè)定「到圓弧的距離夠小」，或者說(shuō)「到圓心的距離界在某兩個(gè)數(shù)中間」就好了吧！((x-19)^2+ (y+12)^2-400)^2<100

不過(guò)等等，這筆一畫(huà)下去可就是整個(gè)圓了，能不能只取其中一段呢？

我想只靠一個(gè)圓大概不夠，那你有沒(méi)有試第二個(gè)？

((x-4)^2+ (y+5)^2-13)((x-19)^2+ (y+12)^2-400)=0

也許設(shè)定「到兩個(gè)圓的距離都?jí)蛐　箷?huì)有意外收獲

((x-4)^2+ (y+5)^2-13)^2+ ((x-19)^2+ (y+12)^2-400)^2<100

唉呀，為了把這筆畫(huà)整合到本來(lái)的圖形里，我們需要把「夠靠近零」的部分放到分母，變成一個(gè)「夠大」的條件

-100/(((x-4)^2+ (y+5)^2-13)^2+ ((x-19)^2+ (y+12)^2-400)^2)<-1

（需要看看它的樣子嗎？我猜是不用。）

不過(guò)它其實(shí)還是有點(diǎn)脆弱，根據(jù)努力嘗試的結(jié)果，我建議狠下心來(lái)將分子分母同時(shí)平方四次，這樣該大的才會(huì)大 ，該小的才會(huì)小。

-100^16/(((x-4)^2+ (y+5)^2-13)^2+ ((x-19)^2+ (y+12)^2-400)^2)^16<-100

（這個(gè)圖形和前一個(gè)一樣嗎？）（如果不，那它為什么和前一個(gè)那么像？）

最后將所有這些東西通通加在一起

x^4+y^4+100/(x^4+ (2y-2)^4+ (2y-1)^2) +100/(x^4+ (2y+2)^4+ (2y+1)^2)-1/((y+3)^4+ (x/15)^4)-1/((y+4)^4+ (x/15)^4)-1/((y+5)^4+ (x/15)^4)-1/(4(x+y+4)^4+ ((x-y+1)/5)^4)-100^16/(((x-4)^2+ (y+5)^2-13)^2+ ((x-19)^2+ (y+12)^2-400)^2)^16<25

就得到了：

至于紅色的春聯(lián)紙?jiān)趺串?huà)呢？我希望字出現(xiàn)在正中間，所以應(yīng)該要有些平移，我希望它夠尖，所以指數(shù)部分應(yīng)該夠大，我希望它是 45 度的，所以需要線(xiàn)性變換，就決定是你了 (x+y+2)^100+ (x-y-2)^100<7^100

這就是結(jié)果啦

最后，就來(lái)道規(guī)規(guī)矩矩的練習(xí)題讓大家試試吧：

祝福各位新年快樂(lè)！

編按：如果以上這串你有看沒(méi)有懂沒(méi)關(guān)系，為了犒賞你能夠閱讀這篇文章到底，把以下式子貼入 google 搜索，會(huì)有意想不到的驚喜哦！

x^4+y^4+100/(x^4+ (2y-2)^4+ (2y-1)^2) +100/(x^4+ (2y+2)^4+ (2y+1)^2)-1/((y+3)^4+ (x/15)^4)-1/((y+4)^4+ (x/15)^4)-1/((y+5)^4+ (x/15)^4)-1/(4(x+y+4)^4+ ((x-y+1)/5)^4)-100^16/(((x-4)^2+ (y+5)^2-13)^2+ ((x-19)^2+ (y+12)^2-400)^2)^16-25

關(guān)于GrafEq

古董級(jí)函數(shù)作圖軟件—— GrafEq 。這個(gè)軟件只有 2M 大小，它的功能就只有一個(gè)：作出形如 x2 + y2 = 1 的二元等式或者不等式的圖像。令人驚嘆的是，這個(gè)軟件的圖像繪制能力異常強(qiáng)大， Mathematica 等大型專(zhuān)業(yè)數(shù)學(xué)軟件完全不是它的對(duì)手。