統(tǒng)計(jì)之 - 方差分析(ANOVA)_數(shù)據(jù)分析師

方差分析(Analysisof Variance，簡(jiǎn)稱(chēng)ANOVA)，又稱(chēng)“變異數(shù)分析”或“F檢驗(yàn)”，是R.A.Fisher發(fā)明的，用于兩個(gè)及兩個(gè)以上樣本均數(shù)差別的顯著性檢驗(yàn)。由于各種因素的影響，研究所得的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)波動(dòng)狀。造成波動(dòng)的原因可分成兩類(lèi)，一是不可控的隨機(jī)因素，另一是研究中施加的對(duì)結(jié)果形成影響的可控因素。

簡(jiǎn)介

方差分析是用于兩個(gè)及兩個(gè)以上樣本均數(shù)差別的顯著性檢驗(yàn)。由于各種因素的影響，研究所得的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)波動(dòng)狀，造成波動(dòng)的原因可分成兩類(lèi)，一是不可控的隨機(jī)因素，另一是研究中施加的對(duì)結(jié)果形成影響的可控因素。

方差分析是從觀測(cè)變量的方差入手，研究諸多控制變量中哪些變量是對(duì)觀測(cè)變量有顯著影響的變量。

原理

方差分析的基本原理是認(rèn)為不同處理組的均數(shù)間的差別基本來(lái)源有兩個(gè)：

隨機(jī)誤差，如測(cè)量誤差造成的差異或個(gè)體間的差異，稱(chēng)為組內(nèi)差異，用變量在各組的均值與該組內(nèi)變量值之偏差平方和的總和表示，記作SSw。組內(nèi)自由度記為dfw，其概念稍后會(huì)說(shuō)到。

實(shí)驗(yàn)條件，即不同的處理造成的差異，稱(chēng)為組間差異。用變量在各組的均值與總均值之偏差平方和表示，記作SSb。組間自由度記做dfb，其概念稍后會(huì)說(shuō)到。

總偏差平方和SSt = SSb + SSw。

組內(nèi)SSw、組間SSb除以各自的自由度(組內(nèi)dfw=n-m，組間dfb=m-1，其中n為樣本總數(shù)，m為組數(shù))，得到其均方MSw和MSb，一種情況是處理沒(méi)有作用，即各組樣本均來(lái)自同一總體，MSb/MSw≈1。另一種情況是處理確實(shí)有作用，組間均方是由于誤差與不同處理共同導(dǎo)致的結(jié)果，即各樣本來(lái)自不同總體。那么，MSb>>MSw(遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于)。

MSb/MSw比值構(gòu)成F分布。用F值與其臨界值比較，推斷各樣本是否來(lái)自相同的總體。

基本思想

方差分析的基本思想是：通過(guò)分析研究不同來(lái)源的變異對(duì)總變異的貢獻(xiàn)大小，從而確定可控因素對(duì)研究結(jié)果影響力的大小。

舉例分析：

下面我們用一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明方差分析的基本思想：

如某克山病區(qū)測(cè)得11例克山病患者和13名健康人的血磷值（mmol/L）如下：

患者：0.84 1.05 1.20 1.20 1.39 1.53 1.67 1.80 1.87 2.07 2.11

健康人：0.54 0.64 0.64 0.75 0.76 0.81 1.16 1.20 1.34 1.35 1.48 1.56 1.87

問(wèn)該地克山病患者與健康人的血磷值是否不同？從以上資料可以看出，24個(gè)個(gè)體中患者與健康人的血磷值各不相同，如果用離均差平方和（SS）描述其圍繞總均值的變異情況，則總變異有以下兩個(gè)來(lái)源：

組內(nèi)變異，即該24個(gè)個(gè)體來(lái)自同一總體，但由于隨機(jī)誤差的原因使得各組內(nèi)部的血磷值各不相等；

組間變異，即該24個(gè)個(gè)體來(lái)自?xún)蓚€(gè)不同的總體-即健康人跟患者的血磷脂從本質(zhì)上是有差別的，它們是兩個(gè)不同的總體。

而且：SS總=SS組間+SS組內(nèi) v總=v組間+v組內(nèi)

如果用均方（離差平方和除以自由度）代替離差平方和以消除各組樣本數(shù)不同的影響，則方差分析就是用組間均方去除組內(nèi)均方的商（即F值）與1相比較，若F值接近1，則說(shuō)明各組均值間的差異沒(méi)有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，若F值遠(yuǎn)大于1，則說(shuō)明各組均值間的差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。實(shí)際應(yīng)用中檢驗(yàn)假設(shè)成立條件下F值大于特定值的概率可通過(guò)查閱F界值表（方差分析用）獲得。

利用統(tǒng)計(jì)軟件分析結(jié)果如下：

data a;

input type num@@;

cards;

1 0.84 1 1.05 11.20 1 1.20 1 1.39 1 1.53 1 1.67 1 1.80 1 1.87 1 2.07 1 2.11

2 0.54 2 0.64 20.64 2 0.75 2 0.76 2 0.81 2 1.16 2 1.20 2 1.34 2 1.35 2 1.48 2 1.56 2 1.87

;

run;

proc anova;

class type;

model num=type;

means type;

run;

應(yīng)用

方差分析主要用途：①均數(shù)差別的顯著性檢驗(yàn)，②分離各有關(guān)因素并估計(jì)其對(duì)總變異的作用，③分析因素間的交互作用，④方差齊性檢驗(yàn)。

在科學(xué)實(shí)驗(yàn)中常常要探討不同實(shí)驗(yàn)條件或處理方法對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響。通常是比較不同實(shí)驗(yàn)條件下樣本均值間的差異。例如醫(yī)學(xué)界研究幾種藥物對(duì)某種疾病的療效；農(nóng)業(yè)研究土壤、肥料、日照時(shí)間等因素對(duì)某種農(nóng)作物產(chǎn)量的影響；不同化學(xué)藥劑對(duì)作物害蟲(chóng)的殺蟲(chóng)效果等，都可以使用方差分析方法去解決。

一個(gè)復(fù)雜的事物，其中往往有許多因素互相制約又互相依存。方差分析的目的是通過(guò)數(shù)據(jù)分析找出對(duì)該事物有顯著影響的因素，各因素之間的交互作用，以及顯著影響因素的最佳水平等。方差分析是在可比較的數(shù)組中，把數(shù)據(jù)間的總的“變差”按各指定的變差來(lái)源進(jìn)行分解的一種技術(shù)。對(duì)變差的度量，采用離差平方和。方差分析方法就是從總離差平方和分解出可追溯到指定來(lái)源的部分離差平方和，這是一個(gè)很重要的思想。

經(jīng)過(guò)方差分析若拒絕了檢驗(yàn)假設(shè)，只能說(shuō)明多個(gè)樣本總體均值不相等或不全相等。若要得到各組均值間更詳細(xì)的信息，應(yīng)在方差分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行多個(gè)樣本均值的兩兩比較。

多個(gè)樣本均值間兩兩比較

多個(gè)樣本均值間兩兩比較常用q檢驗(yàn)的方法，即Newman-keuls法，其基本步驟為：建立檢驗(yàn)假設(shè)-->樣本均值排序-->計(jì)算q值-->查q界值表判斷結(jié)果。

多個(gè)實(shí)驗(yàn)組與一個(gè)對(duì)照組均值間兩兩比較

多個(gè)實(shí)驗(yàn)組與一個(gè)對(duì)照組均值間兩兩比較，若目的是減小第II類(lèi)錯(cuò)誤，最好選用最小顯著差法（LSD法）；若目的是減小第I類(lèi)錯(cuò)誤，最好選用新復(fù)極差法，前者查t界值表，后者查q'界值表。