小編以前簡(jiǎn)單跟大家分享過(guò)方差分析。先來(lái)回顧一下概念：方差分析（ANOVA）又稱(chēng)“變異數(shù)分析”或“F檢驗(yàn)”，是由羅納德·費(fèi)雪爵士發(fā)明的，用于兩個(gè)及兩個(gè)以上樣本均數(shù)差別的顯著性檢驗(yàn)。但是對(duì)于方差分析更深層次的理解，很多剛接觸的小白了解的還不是很多，所以小編今天就跟大家分享一篇文章：從協(xié)方差分析看回歸與方差分析的聯(lián)系，希望對(duì)大家有所幫助。

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作者：丁點(diǎn)helper

無(wú)論是單因素還是雙因素方差分析，我們可以發(fā)現(xiàn)，它們都有一些共性，比如研究的因變量（如前文的硒含量、滿意度得分），都是定量變量；而自變量，即分組變量（如地區(qū)、教育程度、性別）都是定性變量。

現(xiàn)在我們將前文“滿意度得分的例子”繼續(xù)延伸：除了我們關(guān)注的“教育程度”和“性別”外，還有其他變量會(huì)影響人們對(duì)生活的滿意度得分嗎？

當(dāng)然有，比如收入水平！

很顯然，一個(gè)人的工資多少完全可能直接決定他目前對(duì)生活的滿意度。因此，倘若我們忽視了調(diào)查對(duì)象的收入情況，僅研究教育程度和性別的影響，這樣就可能造成結(jié)果產(chǎn)生偏移，也就是說(shuō)可能本來(lái)沒(méi)意義的結(jié)果變成了有意義，從而得出誤導(dǎo)性的判斷。

因此，在這種情況下，“收入”這個(gè)變量就被稱(chēng)為“協(xié)變量”，可以記為“Z”。納入?yún)f(xié)變量的方差分析，即稱(chēng)協(xié)方差分析。

一般而言，進(jìn)行協(xié)方差分析的協(xié)變量為“定量變量”，比如本例中的“人均月收入”，它一般不是研究者重點(diǎn)研究的變量（本例中重點(diǎn)研究的是教育程度和性別），但因?yàn)樗鼤?huì)對(duì)分析結(jié)果造成干擾，因此在分析過(guò)程中必須要將其納入。

所以，協(xié)方差分析仍然是建立在方差分析這個(gè)基本框架之上的，其思想與單因素以及雙因素方差分析區(qū)別也不大，并且在進(jìn)行分析前數(shù)據(jù)需要滿足的條件也都需要。

此外，因?yàn)榧尤肓艘粋€(gè)新的變量——協(xié)變量，所以也有些額外了條件需要滿足。我們今天對(duì)這些條件做些概述。

1）變量的類(lèi)型：一般而言，進(jìn)行協(xié)方差分析，因變量是定量的連續(xù)變量（如本例的“滿意度得分”）；自變量是分類(lèi)變量（可以加入多個(gè)自變量，如本例中的“教育程度”和“性別”）；協(xié)變量是連續(xù)變量（如本例的“收入”）。

2）線性關(guān)系：原則上需要協(xié)變量與因變量存在線性關(guān)系。

3）平行性假設(shè)：分組變量的不同水平下，協(xié)變量與因變量的回歸直線互相平行。

線性假設(shè)和平行性假設(shè)初次看起來(lái)可能比較難理解，但實(shí)際上就是為了排除所謂的交互作用。什么是交互作用呢？

比如我們想研究“教育程度”與“滿意度得分”的關(guān)系，協(xié)變量是收入。在不考慮協(xié)變量時(shí)，發(fā)現(xiàn)隨著教育程度的升高，人們的滿意度得分也逐漸升高，比如教育上升一個(gè)等級(jí)（從“高中畢業(yè)”到“大學(xué)本科”，或者從“大學(xué)本科”升至“研究生及以上”），滿意度得分都會(huì)增加5分。

現(xiàn)在加入“收入”這個(gè)協(xié)變量之后，發(fā)現(xiàn)隨著教育程度升高，滿意度得分也升高，但是不同的學(xué)歷程度，其升高的幅度不一樣。

比如，加入?yún)f(xié)變量之后，從“高中畢業(yè)”升至“大學(xué)本科”，滿意度得分仍增加5分；但如果從“大學(xué)本科”升至“研究生及以上”，滿意度得分僅僅增加3分。這個(gè)時(shí)候，我們就說(shuō)收入與教育程度產(chǎn)生了交互作用。

產(chǎn)生了交互作用，也就意味著收入對(duì)生活滿意度的影響會(huì)隨著教育程度的變化而變化（注意這里的措辭，收入影響的是滿意度和教育程度的相關(guān)關(guān)系，而不僅僅是其中某一個(gè)變量，這是理解交互作用的核心）

這句話也可以反過(guò)來(lái)說(shuō)。教育程度對(duì)生活滿意度的影響會(huì)隨著人們收入不同而不同，用線性回歸的術(shù)語(yǔ)來(lái)表示就是：不同的教育程度下，收入與滿意度得分的回歸直線斜率（β）不同，因此，它們就不會(huì)平行（兩直線平行需要斜率相同）。

所以，想滿足平行線假設(shè)，就需要協(xié)變量與自變量之間不存在交互作用，這個(gè)可以通過(guò)專(zhuān)門(mén)的檢驗(yàn)方法來(lái)判斷。

看到這里，你可能會(huì)疑惑，明明在講方差分析，怎么扯到回歸的內(nèi)容了？

是的，方差分析和回歸分析實(shí)際上可以看做是一回事兒，只是兩者側(cè)重點(diǎn)略有不同，前者主要是比較差異，后者主要是算影響的效應(yīng)值（即回歸系數(shù)β，這一點(diǎn)我們后面詳述）。

一方面對(duì)于多因素或協(xié)方差分析的SPSS操作，我們稱(chēng)作“一般線性模型”；另外在進(jìn)行回歸分析之后軟件也都會(huì)首先彈出一個(gè)方差分析的大表，檢驗(yàn)整個(gè)回歸模型是否有意義。

只不過(guò)我們?cè)谶M(jìn)行回歸分析時(shí)，并沒(méi)有嚴(yán)格區(qū)分自變量和協(xié)變量，而是將它們一股腦地全部納入回歸模型，然后篩選出最終有意義的變量。

因此，我們現(xiàn)在講的方差分析，其實(shí)就是后續(xù)回歸分析的一些特例，從回歸的角度理解方差分析，相信你會(huì)看的更加明了！

回到我們今天的主題，除了上述三個(gè)條件，在進(jìn)行協(xié)方差分析時(shí)也需要注意其他條件，比如常說(shuō)的正態(tài)、獨(dú)立、方差齊等，處理的方法也和普通的方差分析基本相同，暫不贅述。