最小二乘法，相信大家都不陌生，統(tǒng)計(jì)學(xué)中很是常見，而且其理論相對簡單，用途也很廣泛。今天小編就給大家具體介紹一下最小二乘法。

一、最小二乘概念

最小二乘，或者也可以叫做最小平方和，它目的就是通過最小化誤差的平方和，使得擬合對象無限接近目標(biāo)對象。也就意味著，最小二乘法可以用于對函數(shù)的擬合。

最小二乘法是勒讓德( A. M. Legendre)于1805年在其著作《計(jì)算慧星軌道的新方法》中提出的。

在線性回歸中，最小二乘法就是試圖找到一條直線，使所有樣本到直線的歐氏距離之和最小。更直觀的解釋：

假設(shè)有一條直線y=ax+b，要在這條直線上找到一點(diǎn)，距離(x0.y0)這個(gè)點(diǎn)的距離最短。如果用絕對值的方法尋找，也就是取min(|y?y0|+|x?x0|)，由于絕對值最小為0.所以最小的情況就是x=x0或者y=y0處。

如果用平方和的方法尋找，就是取min(y?y0)2+(x?x0)2.可以看出該式是兩點(diǎn)間距離公式，也就是距離的概念。那么最短的距離，就是點(diǎn)到直線的垂線。

二、最小二乘核心思想

最小二乘的主要思想就是求解未知參數(shù)，使得理論值與觀測值之差(即誤差，或者說殘差)的平方和達(dá)到最小：

三、直線擬合/多元線性回歸

求導(dǎo)計(jì)算最小值是通用解法，但矩陣法比代數(shù)法要簡潔，且矩陣運(yùn)算可以取代循環(huán)，所以現(xiàn)在很多書和機(jī)器學(xué)習(xí)庫都是用的矩陣法來做最小二乘法。

故損失函數(shù)定義為：(系數(shù)1/2是為了簡化計(jì)算添加的，求跡前和求跡后值不變)

應(yīng)用矩陣跡的計(jì)算公式：

四、最小二乘法的適用場景

當(dāng)樣本量m很少，小于特征數(shù)n的時(shí)候，這時(shí)擬合方程是欠定的，需要使用LASSO。當(dāng)m=n時(shí)，用方程組求解。當(dāng)m>n時(shí)，擬合方程是超定的，可以使用最小二乘法。

但是同時(shí)最小二乘也具有局限性：

1.最小二乘法需要計(jì)算(XTX)?1逆矩陣，有可能逆矩陣不存在，這樣就沒有辦法直接用最小二乘法。

2.如果是樣本特征n非常的大的情況，計(jì)算逆矩陣是一個(gè)極為耗時(shí)的工作，甚至是不可行，通常不超過10000個(gè)特征。

3.若擬合函數(shù)不是線性的，則無法使用最小二乘法，這時(shí)就需要通過一些技巧轉(zhuǎn)化為線性才能使用。

五、最小二乘實(shí)現(xiàn)

/*
最小二乘法的實(shí)現(xiàn)
C++版
命令行輸入數(shù)據(jù)文件
最后輸入x得到預(yù)測的y值
*/
#include<iostream>
#include<fstream>
#include<vector>
using namespace std;

class LeastSquare {
	double b0, b1;
public:
	LeastSquare(const vector<double>& x, const vector<double>& y)
	{
		double t1 = 0, t2 = 0, t3 = 0, t4 = 0;
		for (int i = 0; i<x.size(); ++i)
		{
			t1 += x[i] * x[i];
			t2 += x[i];
			t3 += x[i] * y[i];
			t4 += y[i];
		}
		
		b0 = (t1*t4 - t2*t3) / (t1*x.size() - t2*t2);        // 求得 B0
		b1 = (t3*x.size() - t2*t4) / (t1*x.size() - t2*t2);  // 求得 B1 
	}

	double getY(const double x) const
	{
		return b0+b1*x;
	}

	void print() const
	{
		if (b1>=0)
			cout << "y = " << b0 << "+" << b1 << 'x' << "\n";
		else
			cout << "y = " << b0 << "" << b1 << 'x' << "\n";
	}

};

int main(int argc, char *argv[])
{
	if (argc != 2)
	{
		cout << " data.txt don't exit " << endl;
		return -1;
	}
	else
	{
		vector<double> x;
		vector<double> y;
		int count = 1;
		ifstream in(argv[1]);
		for (double d; in >> d; count++)
			if (count % 2 == 1)
				x.push_back(d);
			else
				y.push_back(d);
		LeastSquare ls(x, y);
		ls.print();

		cout << "Input x:\n";
		double x0;
		while (cin >> x0)
		{
			cout << "y = " << ls.getY(x0) << endl;
			cout << "Input x:\n";
		}
	}
	int endline;
	cin >> endline;
}