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首頁大數(shù)據(jù)時(shí)代圖論到底是什么？它的算法又有哪些？
圖論到底是什么？它的算法又有哪些？
2020-07-16
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圖論是什么?關(guān)于圖的理論?下面跟小編具體來了解一下圖論以及簡單的圖論算法吧。

一、圖論起源

18世紀(jì)著名古典數(shù)學(xué)問題之一。在哥尼斯堡的一個(gè)公園里，有七座橋?qū)⑵绽赘駹柡又袃蓚€(gè)島及島與河岸連接起來(如圖)。問是否可能從這四塊陸地中任一塊出發(fā)，恰好通過每座橋一次，再回到起點(diǎn)?歐拉于1736年研究并解決了此問題，他把問題歸結(jié)為如右圖的“一筆畫”問題，證明上述走法是不可能的。

以此，我們來看圖論的概念：

圖論〔Graph Theory〕以圖為研究對(duì)象。在圖論中，一般只存在兩種形態(tài)：節(jié)點(diǎn)和邊。

節(jié)點(diǎn)，也就是上述故事問題引入中的四塊陸地——河的兩岸，兩個(gè)小島。vertex-節(jié)點(diǎn)，因?yàn)槭鬃帜甘荲，所以用V來代表節(jié)點(diǎn)。

邊，也就是上面故事里提到的七座橋。邊(edge)，因首字母為E，所以簡稱E。

在圖論中，我們通常用G來表示圖

所以：G=(V,E)。

二、圖論最簡單算法

1.最短路徑

我們主要考慮單源最短路徑問題，也就是給定一個(gè)賦權(quán)圖G=(V,E)，和一個(gè)特定的頂點(diǎn)s作為輸入，找出從s到G中每一個(gè)其他頂點(diǎn)的最短賦權(quán)路徑。

(1)從一個(gè)特定的頂節(jié)點(diǎn)s出發(fā)，那么從s到s的最短路徑長度就是0;

(2)需要找到和s相鄰的節(jié)點(diǎn)，這些節(jié)點(diǎn)到s的最短距離為1.把這些頂點(diǎn)標(biāo)記，代表著已經(jīng)找到了s到這些節(jié)點(diǎn)的最短路徑。

(3)尋找距離s為2的節(jié)點(diǎn)，從s的鄰點(diǎn)a出發(fā)，找到距離a為1的那些還未標(biāo)記的節(jié)點(diǎn)，那么，理所當(dāng)然的，s到這些頂點(diǎn)的最短路徑為2.對(duì)這些節(jié)點(diǎn)進(jìn)行標(biāo)記。

(4)一直到全部點(diǎn)被標(biāo)記，程序結(jié)束。

2.最小生成樹

簡單來說，對(duì)于一個(gè)有 n 個(gè)點(diǎn)的圖，邊一定是大于等于 n-1 條的，最小生成樹，就是在這些邊中選擇 n-1 條出來連接所有的 n 個(gè)點(diǎn)，且這 n-1 條邊的邊權(quán)之和是所有方案中最小的。

最小生成樹具有以下兩條性質(zhì)：

切割性質(zhì)：連接點(diǎn) x、y 的邊權(quán)最小的邊必定被生成樹包含

回路性質(zhì)：任意回路/環(huán)上的邊權(quán)最大的邊必不被生成樹包含

求最小生成樹一般有 Prim 算法與 Kruskal 算法，其中，Prim 算法時(shí)間復(fù)雜度為 O(V*V)，與圖中邊數(shù)無關(guān)，適合稠密圖;Kruskal 算法時(shí)間復(fù)雜度 為O(ElogE)，需要對(duì)圖的邊進(jìn)行訪問，適合稀疏圖。

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