在機(jī)器學(xué)習(xí)中，有成千上萬(wàn)甚至幾十萬(wàn)的維度的數(shù)據(jù)需要處理，這種情況下機(jī)器學(xué)習(xí)的資源消耗是不可接受的，并且很大程度上影響著算法的復(fù)雜度，因此對(duì)數(shù)據(jù)降維是必要的。PCA(Principal Component Analysis)是一種常用的數(shù)據(jù)分析方法，也是最基礎(chǔ)的無(wú)監(jiān)督降維算法。通常用于高維數(shù)據(jù)集的探索與可視化，還可以用于數(shù)據(jù)壓縮，數(shù)據(jù)預(yù)處理等。PCA通過(guò)線性變換將原始數(shù)據(jù)變換為一組各維度線性無(wú)關(guān)表示，可用于提取數(shù)據(jù)的主要特征分量及高維數(shù)據(jù)的降維,而轉(zhuǎn)換后的這組變量便是我們所說(shuō)的主成分。

均值和零均值化

均值

在PCA降維過(guò)程中，我們所求的均值是每個(gè)維度的均值。

零均值化

然后將每個(gè)維度的數(shù)據(jù)進(jìn)行零均值化，所謂零均值化就是讓均值為0.即每個(gè)數(shù)據(jù)都減去均值。

進(jìn)行去均值的原因是如果不去均值的話會(huì)容易擬合。在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，如果特征值x比較大的時(shí)候，會(huì)導(dǎo)致W*x+b的結(jié)果也會(huì)很大，這樣進(jìn)行激活函數(shù)(如relu)輸出時(shí)，會(huì)導(dǎo)致對(duì)應(yīng)位置數(shù)值變化量相對(duì)來(lái)說(shuō)太小，進(jìn)行反向傳播時(shí)因?yàn)橐褂眠@里的梯度進(jìn)行計(jì)算，所以會(huì)導(dǎo)致梯度消散問(wèn)題，導(dǎo)致參數(shù)改變量很小，也就會(huì)易于擬合，效果不好。

特征向量和特征值

定義

若A為n階矩陣，若數(shù)λ和n維非0列向量X滿足AX=λX，那么數(shù)λ稱為A的特征值，X稱為A的對(duì)應(yīng)于特征值λ的特征向量

在PCA降維過(guò)程中，本質(zhì)就是把原有數(shù)據(jù)投影到新的一個(gè)空間，我們也就可以看做是在原有數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上求解特征向量和特征值

性質(zhì)

特征值和特征向量具有以下性質(zhì)：

1.同一個(gè)矩陣的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量是線性無(wú)關(guān)的

2.對(duì)于同一個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量的非零線性組合仍是該特征值對(duì)應(yīng)的特征向量

3.矩陣的特征向量總是相對(duì)于矩陣的特征值而言，一個(gè)特征值具有特征向量不唯一，一個(gè)特征向量不能對(duì)應(yīng)不同特征值

從特征向量和特征值的性質(zhì)我們就可以發(fā)現(xiàn)正好符合PCA降維過(guò)程中取方差較大和線性不相關(guān)的前k維數(shù)據(jù)作為降維后數(shù)據(jù)的目的

方差

方差是是用來(lái)表示數(shù)據(jù)的離散程度的，方差越大，離散程度越大，也就是數(shù)據(jù)波動(dòng)就越大。

方差的計(jì)算：前面已經(jīng)說(shuō)了，需要先對(duì)每個(gè)維度的數(shù)據(jù)做零均值化，那么方差就是去均值后的平方和的均值

PCA中方差的意義：PCA的本質(zhì)就是找一些投影方向，使得數(shù)據(jù)在這些投影方向上的方差最大，而且這些投影方向是相互正交的(即：相關(guān)性幾乎為0)。這其實(shí)就是找新的正交基的過(guò)程，計(jì)算原始數(shù)據(jù)在這些正交基上投影的方差，方差越大，就說(shuō)明在對(duì)應(yīng)正交基上包含了更多的信息量，對(duì)數(shù)據(jù)特征影響更大，我們暫且把這些信息量可以記為特征值。原始數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的特征值越大，對(duì)應(yīng)的方差越大，在對(duì)應(yīng)的特征向量上投影的信息量就越大。反之，如果特征值較小，則說(shuō)明數(shù)據(jù)在這些特征向量上投影的信息量很小，可以將小特征值對(duì)應(yīng)方向的數(shù)據(jù)刪除，從而達(dá)到了降維的目的。

協(xié)方差

協(xié)方差可以計(jì)算不同變量之間的相關(guān)性：

如果cov(x,y)=-1.變量之間完全負(fù)相關(guān)

如果cov(x,y)=1.變量之間完全正相關(guān)

如果cov(x,y)=0.變量之間完全不相關(guān)

而當(dāng)x和y相等時(shí)，協(xié)方差的值就等于方差，所以也可以看作方差是協(xié)方差的一種特殊情況

在PCA的過(guò)程中我們是對(duì)原始數(shù)據(jù)做過(guò)零均值化處理的，故，協(xié)方差可以變?yōu)椋?

那么每個(gè)維度之間的相關(guān)性計(jì)算方式為：

協(xié)方差矩陣

協(xié)方差只能表示兩個(gè)維度變量之間的相互關(guān)系，如果有多個(gè)維度隨機(jī)變量，就需要使用協(xié)方差矩陣，我們假設(shè)現(xiàn)在又三個(gè)維度隨機(jī)變量x,y,z,那么對(duì)應(yīng)的協(xié)方差矩陣則為：

矩陣對(duì)角化定義

對(duì)角矩陣(diagonal matrix)是一個(gè)主對(duì)角線之外的元素皆為0的矩陣。對(duì)角線上的元素可以為0或其他值

如果存在一個(gè)可逆矩陣 P 使得 P-1AP 是對(duì)角矩陣，則矩陣A就被稱為可對(duì)角化矩陣

如果一個(gè)矩陣與一個(gè)對(duì)角矩陣相似，我們就稱這個(gè)矩陣可經(jīng)相似變換對(duì)角化，簡(jiǎn)稱可對(duì)角化;與之對(duì)應(yīng)的線性變換就稱為可對(duì)角化的線性變換

協(xié)方差矩陣對(duì)角化

上文我們已經(jīng)說(shuō)明了協(xié)方差矩陣是一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣，由實(shí)對(duì)稱矩陣和相似矩陣性質(zhì)我們可以得出協(xié)方差矩陣C具有的性質(zhì)：

和C相似的對(duì)角矩陣，其對(duì)角元素為各特征向量對(duì)應(yīng)的特征值(可能有重復(fù))即：C的特征值就是相似對(duì)角矩陣的對(duì)角元素

我們假設(shè)C的相似對(duì)角矩陣為A，那么如果存在一個(gè)矩陣P使得P-1CP=A，根據(jù)對(duì)角矩陣的特點(diǎn)，我們就可以發(fā)現(xiàn)矩陣P的每一行就是我們所要找的協(xié)方差矩陣的特征向量，而特征值就是對(duì)角矩陣的對(duì)角元素，現(xiàn)在我們離整個(gè)PCA過(guò)程還有一步，先把每一個(gè)特征向量變成單位向量，然后再按照特征值的大小進(jìn)行排序，取前K行特征值對(duì)應(yīng)的單位向量組成的矩陣和標(biāo)準(zhǔn)化后數(shù)據(jù)相乘，就得到了我們需要的降維后的數(shù)據(jù)矩陣。

至此，整個(gè)PCA降維過(guò)程涉及到的數(shù)學(xué)理論就完成了。